2.4: El significado de la medida

Objetivos de aprendizaje

• Dé un ejemplo de un valor numérico medido, y explique qué lo distingue de un número “puro”.
• Dar ejemplos de errores aleatorios y sistemáticos en las mediciones.
• Encuentra el valor medio de una serie de medidas similares.
• Indicar los principales factores que afectan la diferencia entre el valor medio de una serie de mediciones, y el “valor verdadero” de la cantidad que se mide.
• Calcular las precisiones absolutas y relativas de una medida dada, y explicar por qué esta última es generalmente más útil.
• Distinguir entre la exactitud y la precisión de un valor medido, y en los roles de error aleatorio y sistemático.

En la ciencia, hay números y hay “números”. Lo que normalmente pensamos como un “número” y nos referiremos aquí como un número puro es precisamente eso: una expresión de un valor preciso. El primero de estos que alguna vez aprendiste fueron los números de conteo, o enteros; más tarde, te introdujeron los números decimales, y los números racionales, que incluyen números como 1/3 y π (pi) que no pueden expresarse como valores decimales exactos. El otro tipo de cantidad numérica que encontramos en las ciencias naturales es un valor medido de algo: la longitud o el peso de un objeto, el volumen de un fluido, o tal vez la lectura en un instrumento. Si bien expresamos estos valores numéricamente, sería un error considerarlos como el tipo de números puros descritos anteriormente.

¿Confuso? Supongamos que nuestro instrumento tiene un indicador como el que ve aquí. El puntero se mueve hacia arriba y hacia abajo para mostrar el valor medido en esta escala. ¿Qué número escribirías en tu cuaderno al grabar esta medición? Claramente, el valor está en algún lugar entre 130 y 140 en la escala, pero las graduaciones nos permiten ser más exactos y situar el valor entre 134 y 135. El indicador apunta más de cerca a este último valor, y podemos dar un paso más estimando el valor tal vez como 134.8, por lo que este es el valor que reportarías para esta medición.

Ahora bien, aquí está lo importante a entender: aunque “134.8” es en sí mismo un número, la cantidad que estamos midiendo casi con certeza no es 134.8 —al menos, no exactamente. El motivo es obvio si observa que la escala del instrumento es tal que apenas somos capaces de distinguir entre 134.7, 134.8 y 134.9. Al reportar el valor 134.8 efectivamente estamos diciendo que el valor probablemente esté en algún lugar con el rango de 134.75 a 134.85. Es decir, hay una incertidumbre de ±0.05 unidad en nuestra medida.

Todas las mediciones de cantidades que pueden asumir un rango continuo de valores (longitudes, masas, volúmenes, etc.) constan de dos partes: el valor reportado en sí (nunca un número exactamente conocido), y la incertidumbre asociada a la medición. Por “error”, no nos referimos solo a errores descarados, como el uso incorrecto de un instrumento o la falta de lectura adecuada de una escala; aunque a veces ocurren errores tan groseros, suelen arrojar resultados lo suficientemente inesperados como para llamar la atención sobre sí mismos.

Error de lectura de escala

Cuando se mide un volumen o peso, se observa una lectura en una escala de algún tipo, como la ilustrada anteriormente. Las escalas, por su propia naturaleza, se limitan a incrementos fijos de valor, indicados por las marcas de división. Las cantidades reales que estamos midiendo, en contraste, pueden variar continuamente, por lo que existe una limitación inherente en cuán finamente podemos discriminar entre dos valores que caen entre las divisiones marcadas de la escala de medición. El error de lectura de escala a menudo se clasifica como error aleatorio (ver más abajo), pero ocurre tan comúnmente que lo tratamos por separado aquí.

El mismo problema persiste si sustituimos un instrumento por una pantalla digital; siempre habrá un punto en el que algún valor que se encuentre entre las dos divisiones más pequeñas debe alternar arbitrariamente entre dos números en la pantalla de lectura. Esto introduce un elemento de aleatoriedad en el valor que observamos, aunque el valor “verdadero” permanezca sin cambios. Cuanto más sensible sea el instrumento de medición, menos probable es que dos mediciones sucesivas de una misma muestra den resultados idénticos. En el ejemplo que discutimos anteriormente, distinguir entre los valores 134.8 y 134.9 puede ser demasiado difícil de hacer de manera consistente, por lo que dos observadores independientes pueden registrar valores diferentes incluso al visualizar la misma lectura.

Error de paralaje

Una forma de error de lectura de escala que a menudo afecta a los principiantes en el laboratorio de ciencias es la falta de alinear correctamente el ojo con la parte de la escala que estás leyendo. Esto da lugar al error de paralaje. Parallax se refiere al cambio en la posición aparente de un objeto cuando se ve desde diferentes puntos.

El ejemplo más notorio que se encuentra en el laboratorio introductorio de química es la falta de lectura adecuada del volumen de un líquido en un cilindro graduado o bureta. Capacitar a todos sus alumnos para asegurarse de que su ojo esté nivelado con la parte inferior del menisco es la esperanza y la desesperación de los instructores de laboratorio.

El uso adecuado de un dispositivo de medición puede ayudar a reducir la posibilidad de error de paralaje. Por ejemplo, una escala de longitud debe estar en contacto directo con el objeto (izquierda), no por encima de él como a la derecha.

Los medidores analógicos (aquellos que tienen agujas de puntero) son más precisos cuando se leen a aproximadamente 2/3 de la longitud de la escala. Los medidores de tipo analógico, a diferencia de los que tienen lecturas digitales, también están sujetos a error de paralaje. Aquellos destinados a aplicaciones de alta precisión a menudo tienen un arco espejado a lo largo de la escala en el que se puede ver un reflejo de la aguja indicadora si el espectador no está alineado correctamente con el instrumento.

• Error aleatorio (indeterminado): Cada medición también está influenciada por una miríada de eventos menores, como vibraciones del edificio, fluctuaciones eléctricas, movimientos del aire y fricción en cualquier parte móvil del instrumento. Estas diminutas influencias constituyen una especie de “ruido” que también tiene un carácter aleatorio. Seamos conscientes de ello o no, todos los valores medidos contienen un elemento de error aleatorio.
• Error sistemático: Supongamos que usted se pesa en una báscula de baño, sin darse cuenta de que el dial dice “1.5 kg” incluso antes de haber colocado su peso sobre ella. De manera similar, podrías usar una regla vieja con un extremo desgastado para medir la longitud de una pieza de madera. En ambos ejemplos, todas las mediciones posteriores, ya sea del mismo objeto o de diferentes, estarán apagadas en una cantidad constante. A diferencia del error aleatorio, que es imposible de eliminar, estos errores sistemáticos (también conocidos como error determinado) suelen ser bastante fáciles de evitar o compensar, pero solo por un esfuerzo consciente en la realización de la observación, generalmente mediante una adecuada puesta a cero y calibración de la medición instrumento. Sin embargo, una vez que el error sistemático ha encontrado su camino en los datos, puede ser muy difícil de detectar.

Exactitud y precisión

Tendemos a usar estos dos términos indistintamente en nuestra conversación ordinaria, pero en el contexto de la medición científica, tienen significados muy diferentes:

• La precisión se refiere a qué tan cerca corresponde el valor medido de una cantidad a su valor “verdadero”.
• La precisión expresa el grado de reproducibilidad, o concordancia entre mediciones repetidas.

La precisión, por supuesto, es el objetivo que buscamos en las mediciones científicas. Desafortunadamente, sin embargo, no hay una manera obvia de saber lo cerca que lo hemos logrado; el valor “verdadero”, ya sea de una cantidad bien definida como la masa de un objeto en particular, o una media que pertenece a una colección de objetos, nunca puede conocerse —y así nunca podremos reconocerlo si estamos lo suficientemente afortunados como para encontrarla.

Cuatro Escenarios

Un objetivo en un tablero de dardos sirve como una analogía conveniente. Los resultados de cuatro conjuntos de mediciones (o cuatro juegos de dardos) se ilustran a continuación. Cada conjunto se compone de diez observaciones (o lanzamientos de dardos.) Cada punto rojo corresponde al punto en el que un dardo ha dado en el blanco, o alternativamente, al valor de una observación individual. Para las mediciones, supongamos que el valor verdadero de la cantidad que se mide se encuentra en el centro de cada objetivo. Ahora considere los siguientes cuatro conjuntos de resultados:

¡Justo en! Ganas el juego de dardos y obtienes una calificación A en tus resultados de medición.

Tus resultados son maravillosamente replicables, pero es posible que tu dispositivo de medición no se haya calibrado correctamente o que tus observaciones sufran algún tipo de error sistemático. Precisión: F, Precisión, A; grado general C.

Extremadamente improbable, y probablemente debido a pura suerte; la única razón de la media precisa es que tus errores en su mayoría cancelados. Grado D.

Bastante triste; considera cambiar a la música o a la política —o que te examinen los ojos.

Nota

Cuando hacemos mediciones reales, no hay tablero de dardos ni objetivo que permita juzgar inmediatamente la calidad del resultado. Si hacemos solo unas pocas observaciones, es posible que no podamos distinguir entre ninguno de estos escenarios.

El “verdadero valor” de una medición deseada puede ser bastante esquivo, y puede que ni siquiera sea definible en absoluto. Esta es una dificultad muy común tanto en las ciencias sociales (como en las encuestas de opinión), en la medicina (evaluar la eficacia de un fármaco u otro tratamiento), como en todas las demás ciencias naturales. El tratamiento adecuado de tales problemas es hacer múltiples observaciones de instancias individuales de lo que se está midiendo, y luego usar métodos estadísticos para evaluar los resultados. En esta unidad introductoria sobre la medición, vamos a diferir la discusión de conceptos como desviación estándar e intervalos de confianza que se vuelven esenciales en cursos de segundo año y más allá. Restringiremos nuestro tratamiento aquí a las consideraciones elementales que probablemente sean necesarias en un curso típico de primer año.

¿Cuántas medidas necesito?

Una medición puede ser suficiente. Si deseas medir tu altura al centímetro o pulgada más cercano, o el volumen de un ingrediente líquido para cocinar al 1/8 “taza” más cercano, normalmente no te preocupes por un error aleatorio. El error seguirá estando presente, pero su magnitud será una fracción tan pequeña del valor que no afectará significativamente a lo que estemos tratando de lograr. Por lo tanto, el error aleatorio no es algo que nos preocupe en nuestra vida cotidiana. En el laboratorio científico, hay muchos contextos en los que una sola observación de un volumen, masa o lectura de instrumentos tiene perfecto sentido; parte del “arte” de la ciencia radica en hacer un juicio informado de cuán exacta debe ser una medición dada. Si estamos midiendo una cantidad directamente observable como el peso de un sólido o volumen de un líquido, entonces una sola medición, cuidadosamente hecha y reportada con una precisión que sea consistente con la del instrumento de medición, generalmente será suficiente.

Sin embargo, se necesitan más mediciones cuando no hay un valor “verdadero” claramente definido. Una colección de objetos (o de personas) se conoce en la estadística como población. A menudo es necesario determinar alguna cantidad que describa una colección de objetos. Por ejemplo, un investigador farmacéutico necesitará determinar el tiempo requerido para que el cuerpo elimine la mitad de una dosis estándar de cierto medicamento, o un fabricante de bombillas podría querer saber cuántas horas operará un determinado tipo de bombilla antes de que se queme. En estos casos se puede determinar un valor para cualquier muestra individual con bastante facilidad, pero como no hay dos muestras (pacientes o bombillas) idénticas, nos vemos obligados a repetir la misma medición en múltiples objetos. Y, naturalmente, obtenemos una variedad de resultados, generalmente referidos como dispersión. Incluso para un solo objeto, puede que no haya un valor “verdadero” claramente definido.

Supongamos que desea determinar el diámetro de cierto tipo de moneda. Haces una medición y registras los resultados. Si luego realiza una medición similar a lo largo de una sección transversal diferente de la moneda, probablemente obtendrá un resultado diferente. Lo mismo sucederá si haces mediciones sucesivas en otras monedas del mismo tipo.

Aquí nos encontramos ante dos tipos de problemas. Primero, está la limitación inherente del dispositivo de medición: nunca podemos medir de manera confiable más finamente que las divisiones marcadas en la regla. En segundo lugar, no podemos suponer que la moneda sea perfectamente circular; una inspección cuidadosa probablemente revelará alguna distorsión resultante de una ligera imperfección en el proceso de fabricación. En estos casos, resulta que no hay un valor único, verdadero de la cantidad que estamos tratando de medir.

Media, mediana y rango de una serie de observaciones

Existen diversas formas de expresar el promedio, o tendencia central de una serie de mediciones, siendo la media (más precisamente, la media aritmética) la más comúnmente empleada. Nuestro uso ordinario del término “promedio” también se refiere a la media. Estos conceptos suelen ser todo lo que necesitas como primer paso en el análisis de datos que probablemente recopiles en un curso de laboratorio de química de primer año.

La media y su significado

En nuestro discurso ordinario, el término “promedio” es sinónimo de “media”. En estadística, sin embargo, “promedio” es un término más general que puede referirse a la mediana, modo y rango, así como a la media. Cuando obtenemos más de un resultado para una medición dada (ya sea hecha repetidamente en una sola muestra, o más comúnmente, en diferentes muestras del mismo material), el procedimiento más simple es reportar la media, o valor promedio. La media se define matemáticamente como la suma de los valores, dividida por el número de mediciones:

\[ x_m = \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\]

Si no estás familiarizado con esta notación, ¡no dejes que te asuste! No es diferente del promedio con el que probablemente ya estés familiarizado. Tómate un momento para ver cómo expresa la oración anterior; si hay\(n\) medidas, cada una dando un valor xi, entonces sumamos sobre todas\(i\) y dividimos por\(n\) para obtener el valor medio\(x_m\). Por ejemplo, si solo hay dos medidas, x ₁ y x ₁, entonces la media es

\[ x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\]

El problema general de determinar la incertidumbre de un resultado calculado resulta ser bastante más complicado de lo que piensas, y no será tratado aquí. Hay, sin embargo, algunas reglas muy simples que son suficientes para la mayoría de los propósitos prácticos.

Incertidumbre absoluta y relativa

Si pesa 74.1 mg de una muestra sólida en una balanza de laboratorio que es precisa dentro de 0.1 miligramos, entonces es probable que el peso real de la muestra caiga en algún lugar en el rango de 74.0 a 74.2 mg; la incertidumbre absoluta en el peso que observa es 0.2 mg, o ±0.1 mg. Si usa la misma balanza para pesar 3.2914 g de otra muestra, el peso real está entre 3.2913 g y 3.2915 g, y la incertidumbre absoluta sigue siendo ±0.1 mg.

Si bien las incertidumbres absolutas en estos dos ejemplos son idénticas, probablemente consideraríamos que la segunda medición es más precisa porque la incertidumbre es una fracción menor del valor medido. Las incertidumbres relativas de los dos resultados serían

0.2 ÷ 74.1 = 0.0027 (aproximadamente 3 partes en 1000 (PPT), o 0.3%)

0.0002 ÷ 3.2913 = 0.000084 (aproximadamente 0.8 PPT, o 0.008%)

Las incertidumbres relativas son ampliamente utilizadas para expresar la confiabilidad de las mediciones, incluso las de una sola observación, en cuyo caso la incertidumbre es la del dispositivo de medición. Las incertidumbres relativas se pueden expresar como partes por cien (por ciento), por mil (PPT), por millón, (PPM), y así sucesivamente.

Preguntas

1. Suma y resta, ambos números tienen incertidumbres

El método más sencillo es simplemente sumar las incertidumbres absolutas.

Ejemplo: (6.3 ± 0.05 cm) — (2.1 ± 0.05 cm) = 4.2 ± 0.10 cm
Sin embargo, esto tiende a sobreestimar la incertidumbre asumiendo el peor caso posible en el que el error en una de las cantidades está en su valor positivo máximo, mientras que el de la otra cantidad está en su máximo valor mínimo.

La teoría estadística nos informa que un valor más realista para la incertidumbre de una suma o diferencia es sumar los cuadrados de cada incertidumbre absoluta, para luego tomar la raíz cuadrada de esta suma. Aplicando esto a los valores anteriores, tenemos

[(.05) ² + (.05) ²] ^½ = 0.07, por lo que el resultado es 4.2 ± 0.07 cm.

2. Multiplicación o división, ambos números tienen incertidumbres.

Convertir las incertidumbres absolutas en incertidumbres relativas, y sumarlas. O mejor, sumar sus cuadrados y tomar la raíz cuadrada de la suma.

Ejemplo de problema 3

Estimar el error absoluto en la densidad calculada dividiendo (12.7 ± .05 g) por (10.0 ± 0.02 mL).

Solución: Incertidumbre relativa de la masa: 0.05/12.7 = 0.0039 = 0.39% Incertidumbre
relativa del volumen: 0.02/10.0 = 0.002 = 0.2% Incertidumbre
relativa de la densidad: [(.39) ² + (0.2) ²] ^½ = 0.44%
Masa ÷ volumen: (12.7 g) ÷ (10.0 mL) = 1.27 g mL ^—1 Incertidumbre
absoluta de la densidad: (± 0.044) x (1.27 g mL ^—1) = ±0.06 g mL ^—1

3. Multiplicación o división por un número puro

Caso trivial; multiplicar o dividir la incertidumbre por el número puro.