5.1: Primer sobre Teoría Cuántica

Parte 1: Partículas y ondas

Q1. ¿Qué es una partícula?

Una partícula es una unidad discreta de materia que tiene los atributos de masa, impulso (y por lo tanto energía cinética) y opcionalmente de carga eléctrica.

Q2. ¿Qué es una ola?

Una onda es una variación periódica de alguna cantidad en función de la ubicación o el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de onda de una cuerda de guitarra vibrante se define por el desplazamiento de la cuerda desde su centro en función de la distancia a lo largo de la cuerda. Una onda sonora consiste en variaciones en la presión con ubicación.

Una onda se caracteriza por su longitud de onda\( λ\) (lambda) y frecuencia\ (\ nu\) (nu), las cuales están conectadas por la relación

\ [\ lmabda =\ dfrac {u} {\ nu}

en el que u es la velocidad de propagación de la perturbación en el medio.

Ejemplo

La velocidad del sonido en el aire es de 330 m s ^—1. ¿Cuál es la longitud de onda del A440 en el teclado del piano?

Solución

\[ \lambda =\dfrac{330\, m S^{-1}}{440 \,s^{-1}} = 0.75\,m\]

Otros dos atributos de las olas son la amplitud (la altura de las crestas de ola con respecto a la línea base) y la fase, que mide la posición de una cresta con respecto a algún punto fijo. El cuadrado de la amplitud da la intensidad de la onda: la energía transmitida por unidad de tiempo).

Una propiedad única de las olas es su capacidad para combinarse de manera constructiva o destructiva, dependiendo de las fases relativas de las ondas combinantes.

Q3. ¿Qué es la luz?

Formular la pregunta de esta manera refleja el modo determinista del pensamiento occidental que asume que algo no puede “ser” dos cosas muy diferentes al mismo tiempo. La breve respuesta a esta pregunta es que todo lo que sabemos sobre la luz (o cualquier otra cosa, para el caso) son los resultados de experimentos, y que algunos tipos de experimentos muestran que la luz se comporta como partículas, y que otros experimentos revelan que la luz tiene las propiedades de las ondas.

Q4. ¿Cuál es la teoría de ondas de la luz?

A principios del siglo XIX, el científico inglés Thomas Young llevó a cabo el famoso experimento de dos rendijas que demostró que un haz de luz, cuando se divide en dos haces y luego se recombina, mostrará efectos de interferencia que solo pueden explicarse asumiendo que la luz es una perturbación ondulada. Para 1820, Augustin Fresnel había puesto esta teoría sobre una base matemática sólida, pero la naturaleza exacta de las ondas permaneció poco clara hasta la década de 1860 cuando James Clerk Maxwell desarrolló su teoría electromagnética.

De las leyes de la inducción electromagnética que fueron descubiertas en el periodo 1820-1830 por Hans Christien Oersted y Michael Faraday, se supo que una carga eléctrica móvil da lugar a un campo magnético, y que un campo magnético cambiante puede inducir a que se muevan cargas eléctricas. Maxwell demostró teóricamente que cuando se acelera una carga eléctrica (al hacerse oscilar dentro de un trozo de alambre, por ejemplo), se perderá energía eléctrica, y una cantidad equivalente de energía se irradia al espacio, extendiéndose como una serie de ondas que se extienden en todas las direcciones.

¿Qué es “ondear” en la radiación electromagnética? Según Maxwell, son las fortalezas de los campos eléctricos y magnéticos a medida que viajan por el espacio. Los dos campos están orientados en ángulo recto entre sí y con la dirección de desplazamiento.

A medida que cambia el campo eléctrico, induce un campo magnético, que luego induce un nuevo campo eléctrico, etc., permitiendo que la onda se propague por el espacio

Estas ondas consisten en variaciones periódicas en las intensidades de los campos electrostáticos y electromagnéticos. Estas variaciones ocurren en ángulo recto entre sí. Cada componente electrostático de la onda induce un componente magnético, que luego crea un nuevo componente electrostático, de modo que la onda, una vez formada, continúa propagándose a través del espacio, alimentándose esencialmente sobre sí misma. En uno de los desarrollos matemáticos más brillantes de la historia de la ciencia, Maxwell expuso una teoría detallada, e incluso mostró que estas ondas deberían viajar a aproximadamente 3E8 m s ^—1, valor que las observaciones experimentales habían mostrado correspondía a la velocidad de la luz. En 1887, el físico alemán Heinrich Hertz demostró que una carga eléctrica oscilante (en lo que en esencia fue la primera antena transmisora de radio del mundo) en realidad produce radiación electromagnética tal como Maxwell había predicho, y que estas ondas se comportan exactamente como la luz.

Ahora se entiende que la luz es radiación electromagnética que cae dentro de un rango de longitudes de onda que pueden ser percibidas por el ojo. Todo el espectro electromagnético va desde ondas de radio en el extremo de longitud de onda larga, a través del calor, la luz, los rayos X y la radiación gamma.

Parte 2: Teoría cuántica de la luz

Q5. ¿Cómo surgió la teoría cuántica de la luz?

No surgió de ningún intento de explicar el comportamiento de la luz misma; para 1890 se aceptó generalmente que la teoría electromagnética podría explicar todas las propiedades de la luz que entonces se conocían.

Sin embargo, ciertos aspectos de la interacción entre la luz y la materia que se observaron durante la próxima década resultaron bastante problemáticos. La relación entre la temperatura de un objeto y la longitud de onda máxima emitida por él fue establecida empíricamente por Wilhelm Wien en 1893. Esto puso sobre una base cuantitativa lo que todos saben: cuanto más caliente es el objeto, más “azul” es la luz que emite.

Q6. ¿Qué es la radiación del cuerpo negro?

Todos los objetos por encima de la temperatura del cero absoluto emiten radiación electromagnética que consiste en un amplio rango de longitudes de onda descritas por una curva de distribución cuya longitud de onda pico l a temperatura absoluta T para un “radiador perfecto” conocido como cuerpo negro está dada por la ley de Viena.

\[ \lambda_{peak} (cm) = 0.0029\,m\,K\]

A temperaturas ordinarias esta radiación se encuentra completamente en la región infrarroja del espectro, pero a medida que la temperatura sube por encima de aproximadamente 1000K, se emite más energía en la región de longitud de onda visible y el objeto comienza a brillar, primero con luz roja, y luego desplazándose hacia el azul a medida que aumenta la temperatura .

Este tipo de radiación tiene dos características importantes. En primer lugar, el espectro es continuo, lo que significa que todas las longitudes de onda son emitidas, aunque con intensidades que varían suavemente con la longitud de onda. La otra curiosa propiedad de la radiación del cuerpo negro es que es independiente de la composición del objeto; lo único que importa es la temperatura.

Q7. ¿Cómo condujo la radiación del cuerpo negro a la física cuántica?

La radiación de cuerpo negro, como toda radiación electromagnética, debe originarse a partir de oscilaciones de cargas eléctricas que en este caso se suponía que eran los electrones dentro de los átomos de un objeto que actuaba algo como osciladores hertzianos en miniatura. Se presumió que dado que todas las longitudes de onda parecían estar presentes en el espectro continuo de un cuerpo resplandeciente, estos diminutos osciladores podían enviar o recibir cualquier porción de su energía total. Sin embargo, todos los intentos de predecir la forma real del espectro de emisión de un objeto brillante sobre la base de la teoría física clásica resultaron inútiles.

En 1900, el gran físico alemán Max Planck (quien a principios de ese mismo año había elaborado una fórmula empírica dando la forma detallada del espectro de emisión del cuerpo negro) demostró que la forma del espectro observado podría predecirse exactamente si las energías emitidas o absorbidas por cada oscilador fueran restringido a valores integrales de hν, donde ν (“nu”) es la frecuencia y h es una constante 6.626E—34 J s que ahora conocemos como Constante de Planck. Se cuantifican las energías permisibles de cada oscilador, pero el espectro de emisión del cuerpo permanece continuo debido a las diferencias de frecuencia entre los incontables números de osciladores que contiene.Esta modificación de la teoría clásica, el primer uso del concepto cuántico, fue tan inédita como lo fue simple, y sentaba las bases para el desarrollo de la física cuántica moderna.

Q8. ¿Cuál es el efecto fotoeléctrico?

Poco después de que los experimentos de J.J. Thompson condujeran a la identificación de las partículas cargadas elementales que ahora conocemos como electrones, se descubrió que la iluminación de una superficie metálica por la luz puede provocar la emisión de electrones desde la superficie. Este fenómeno, el efecto fotoeléctrico, se estudia iluminando una de las dos placas metálicas en un tubo evacuado.

La energía cinética de los fotoelectrones hace que se muevan hacia el electrodo opuesto, completando así el circuito y produciendo una corriente medible. Sin embargo, si se impone un potencial opuesto (el potencial retardador) entre las dos placas, la energía cinética se puede reducir a cero para que se detenga la corriente electrónica. Observando el valor del potencial retardante V _r, la energía cinética de los fotoelectrones se puede calcular a partir de la carga de electrones e, su masa m y la frecuencia de la luz incidente:

Estos dos diagramas son tomados de una página web de Joseph Alward, de la Universidad del Pacífico.

La gráfica de la derecha muestra cómo la energía cinética de los fotoelectrones cae a cero a la longitud de onda crítica correspondiente a la frecuencia f ₀.

Q9. ¿Qué peculiaridad del efecto fotoeléctrico llevó al fotón?

Si bien el número de electrones expulsados de la superficie metálica por segundo depende de la intensidad de la luz, como se esperaba, las energías cinéticas de estos electrones (según se determina midiendo el potencial retardador necesario para detenerlos) no, y esto definitivamente no se esperaba. Así como una perturbación física más intensa producirá ondas de mayor energía en la superficie del océano, se suponía que un haz de luz más intenso conferiría mayor energía a los fotoelectrones. Pero lo que se encontró, para sorpresa de todos, es que la energía fotoelectrónica está controlada por la longitud de onda de la luz, y que hay una longitud de onda crítica por debajo de la cual no se emiten fotoelectrones en absoluto.

Albert Einstein rápidamente vio que si la energía cinética de los fotoelectrones depende de la longitud de onda de la luz, entonces también debe hacerlo su energía. Además, si Planck tenía razón al suponer que la energía debe intercambiarse en paquetes restringidos a ciertos valores, entonces la luz debe organizarse de manera similar en paquetes de energía. Pero un rayo de luz consiste en campos eléctricos y magnéticos que se extienden de manera uniforme y continua; ¿cómo puede un frente de onda continuamente variable intercambiar energía en cantidades discretas? La respuesta de Einstein fue que la energía contenida en cada paquete de la luz debe concentrarse en una pequeña región del frente de onda. Esto equivale a decir que la luz tiene la naturaleza de una partícula cuantificada cuya energía viene dada por el producto de la constante de Planck y la frecuencia:

La publicación de esta explicación por parte de Einstein en 1905 llevó a la rápida aceptación de la idea de Planck de cuantificación de energía, que anteriormente no había atraído mucho apoyo de la comunidad física de la época. Es interesante señalar, sin embargo, que esto no hizo feliz a Planck en absoluto. Planck, siempre conservador, se había mostrado reacio a aceptar que su propia hipótesis de energía cuantificada era mucho más que un artificio para explicar la radiación de cuerpo negro; extenderla a la luz parecía un absurdo que negaría la teoría electromagnética bien establecida y haría que la ciencia retrocediera a la época anterior Maxwell.

Q10. ¿Dónde entra la relatividad?

La teoría especial de la relatividad de Einstein surgió de su intento de entender por qué las leyes de la física que describen la corriente inducida en un conductor fijo cuando un imán pasa por él no se formulan de la misma manera que las que describen el campo magnético producido por un conductor móvil. Los detalles de este desarrollo no son relevantes para nuestro propósito inmediato, pero algunas de las conclusiones a las que esta línea de pensamiento condujo muy definitivamente lo son. Einstein demostró que la velocidad de la luz, a diferencia de la de un cuerpo material, tiene el mismo valor sin importar la velocidad que tenga el observador. Además, la masa de cualquier objeto material, que anteriormente había sido considerado como un absoluto, es en sí misma una función de la velocidad del cuerpo relativa a la del observador (de ahí la “relatividad”), estando dada la relación por

en el que m _o es la masa restante de la partícula, v es su velocidad con respecto al observador, y c es la velocidad de la luz.

Según esta fórmula, la masa de un objeto aumenta sin límite a medida que la velocidad se acerca a la de la luz. ¿De dónde viene la masa incrementada? La respuesta de Einstein fue que la masa incrementada es la de la energía cinética del objeto; es decir, la energía misma tiene masa, por lo que la masa y la energía son equivalentes según la famosa fórmula

La única partícula que puede moverse a la velocidad de la luz es el propio fotón, debido a su masa de reposo cero.

Q11. ¿Puede el fotón sin masa tener impulso?

Aunque el fotón no tiene masa de reposo, su energía, dada por, le confiere una masa efectiva de

y un impulso de

Q12. Si las ondas pueden ser partículas, ¿las partículas pueden ser ondas?

En 1924, el físico francés Louis de Broglie propuso (en su tesis doctoral) que así como la luz posee propiedades parecidas a partículas, así deberían las partículas de materia exhibir un carácter ondulante. En dos años esta hipótesis había sido confirmada experimentalmente al observar la difracción (un efecto de interferencia de onda) producida por un haz de electrones ya que estaban dispersos por la fila de átomos en la superficie de un metal.

DeBroglie demostró que la longitud de onda de una partícula es inversamente proporcional a su momento:

Observe que la longitud de onda de una partícula estacionaria es infinitamente grande, mientras que la de una partícula de gran masa se acerca a cero. Para la mayoría de los propósitos prácticos, la única partícula de interés para la química que es suficientemente pequeña para exhibir un comportamiento de onda es el electrón (masa 9.11E31 kg).

Q13. Exactamente, ¿qué es lo que está “ondeando”?

Señalamos anteriormente que una ola es un cambio que varía con la ubicación de manera periódica, repetitiva. ¿Qué tipo de cambio trazan las crestas y huecos de una “ola de materia”? La respuesta es que la onda representa el valor de una cantidad cuyo cuadrado es una medida de la probabilidad de encontrar la partícula en esa ubicación particular. En otras palabras, lo que es “ondulación” es el valor de una función matemática de probabilidad.

Q14. ¿Cuál es el principio de incertidumbre?

En 1927, Werner Heisenberg propuso que ciertos pares de propiedades de una partícula no pueden tener simultáneamente valores exactos. En particular, la posición y el impulso de una partícula han asociado con ellos las incertidumbres x y p dadas por

Al igual que con la longitud de onda de las partículas de Broglie, esto tiene consecuencias prácticas sólo para electrones y otras partículas de masa muy pequeña. Es muy importante entender que estas “incertidumbres” no son meramente limitaciones relacionadas con el error experimental o la técnica observacional, sino que expresan un hecho subyacente de que la Naturaleza no permite que una partícula posea valores definidos de posición e impulso al mismo tiempo. Este principio (que sería mejor descrito por el término “indeterminación” que por “incertidumbre”) ha sido minuciosamente verificado y tiene consecuencias prácticas de largo alcance que se extienden a la unión química y la estructura molecular.

Q15. ¿El principio de incertidumbre es consistente con las ondas de partículas?

Sí; cualquiera de los dos implica realmente el otro. Considera los siguientes dos casos limitantes: · Una partícula cuya velocidad se conoce dentro de una incertidumbre muy pequeña tendrá una energía nítida (debido a que se conoce su energía cinética) que puede ser representada por una onda de probabilidad que tiene una frecuencia única y nítida. Una onda “monocromática” de este tipo debe extenderse infinitamente en el espacio:

Pero si los picos de la ola representan ubicaciones en las que es más probable que la partícula se manifieste, nos vemos obligados a concluir que puede “estar” prácticamente en cualquier lugar, ¡ya que el número de tales picos es infinito! Ahora piensa en el extremo opuesto: una partícula cuya ubicación es muy conocida. Tal partícula sería descrita por un tren de ondas cortas que tiene un solo pico, cuanto menor sea la incertidumbre en la posición, más estrecho será el pico.

Para ayudarle a ver cómo se combinan las formas de onda de diferentes longitudes de onda, dos de estas combinaciones se muestran a continuación:

Es evidente que a medida que se mezclan más ondas de diferente frecuencia, las regiones en las que se agregan disminuyen constructivamente en extensión. El caso extremo sería un tren de ondas en el que se producen interferencias destructivas en todas las ubicaciones excepto en una, resultando en un solo pulso:

¿Es posible tal onda, y si es así, cuál es su longitud de onda? Tal onda es posible, pero sólo como la suma (interferencia) de otras ondas cuyas longitudes de onda son todas ligeramente diferentes. Cada onda componente posee su propia energía (momentum), y agrega ese valor al rango de momentos portados por la partícula, aumentando así la incertidumbre δ p. En el caso extremo de una partícula cuántica cuya ubicación se conoce exactamente, la ondícula de probabilidad tendría un ancho cero, lo que solo podría lograrse combinando ondas de todas las longitudes de onda, un número infinito de longitudes de onda y, por lo tanto, un rango infinito de momentum dp y, por lo tanto, energía cinética.

Q16. ¿Son partículas o son ondas?

Supongamos que dirigimos un haz de fotones (o electrones; el experimento funciona con ambos) hacia una pieza de metal que tiene una abertura estrecha. En el otro lado hay dos aberturas más, o hendiduras. Finalmente las partículas chocan sobre una placa fotográfica o algún otro dispositivo de grabación. Teniendo en cuenta su carácter ondular, esperaríamos que las ondas de probabilidad produzcan un patrón de interferencia del tipo que es bien conocido por las ondas sonoras y de luz, y esto es exactamente lo que se observa; la placa registra una serie de bandas alternas de oscuridad y luz, demostrando así más allá de toda duda que los electrones y la luz tienen el carácter de ondas.

Ahora reduzcamos la intensidad de la luz para que solo un fotón a la vez pase por el aparato (es experimentalmente posible contar fotones individuales, por lo que este es un experimento práctico). Cada fotón pasa por la primera hendidura, y luego a través de una u otra del segundo conjunto de hendiduras, eventualmente golpeando la película fotográfica donde crea un pequeño punto. Si desarrollamos la película después de que haya pasado un número suficiente de fotones, encontramos el mismo patrón de interferencia que obtuvimos anteriormente.

Aquí hay algo extraño. Cada fotón, actuando como partícula, debe pasar por una u otra del par de hendiduras, por lo que esperaríamos obtener sólo dos grupos de manchas en la película, cada una opuesta a una de las dos rendijas. En cambio, parece que cada partícula, al pasar por una hendidura, “conoce” a la otra, y ajusta su trayectoria final para construir un patrón de interferencia en forma de onda.

Se vuelve aún más extraño: supongamos que configuramos un detector para determinar a qué hendidura se dirige un fotón, y luego bloqueamos la otra hendidura con un obturador. Encontramos que el fotón navega recto a través de la hendidura abierta y sobre la película sin tratar de crear ningún tipo de patrón de interferencia. Al parecer, cualquier intento de observar el fotón como una partícula discreta hace que se comporte como tal.

La única conclusión posible es que las partículas cuánticas no tienen caminos bien definidos; cada fotón (o electrón) parece tener infinidad de caminos que se abren paso a través del espacio, buscando y recolectando información sobre todas las rutas posibles, y luego ajustando su comportamiento para que su trayectoria final, cuando combinado con el de otros, produce el mismo efecto general que veríamos de un tren de ondas de longitud de onda λ= h/mv.

Parte 3: Electrones en átomos

Q17. ¿Qué son los espectros de línea?

Ya hemos visto que un cuerpo resplandeciente (o en realidad, cualquier cuerpo cuya temperatura esté por encima del cero absoluto) emite y absorbe radiación de toda la longitud de onda en un espectro continuo. En contraste llamativo está el espectro de luz que se produce cuando ciertas sustancias se volatilizan en una llama, o cuando se hace pasar una descarga eléctrica a través de un tubo que contiene átomos gaseosos de un elemento. La luz emitida por tales fuentes consiste enteramente en longitudes de onda discretas. Este tipo de emisión se conoce como espectro discreto o espectro lineal (las “líneas” que aparecen en las imágenes fotográficas del espectro son realmente imágenes de la hendidura por la que pasa la luz antes de ser dispersada por el prisma en el espectrógrafo).

Cada elemento tiene su propio espectro lineal que sirve como una herramienta sensible y útil para detectar la presencia y abundancia relativa del elemento, no solo en muestras terrestres sino también en estrellas. (De hecho, el elemento helio fue descubierto en el sol, a través de su espectro lineal, antes de que se hubiera encontrado en la Tierra). En algunos elementos, la mayor parte de la energía en la parte visible del espectro de emisión se concentra en unas pocas líneas, dando a sus colores característicos de luz: amarillo-naranja para el sodio, azul-verde para el mercurio (estos se ven comúnmente en las luces de la calle) y naranja para el neón.

Los espectros lineales fueron bien conocidos a principios del siglo XIX y fueron ampliamente utilizados para el análisis de minerales y metales. El espectroscopista alemán R.W. Bunsen, ahora famoso por su quemador de gas, fue entonces mejor conocido por descubrir dos nuevos elementos, el rubidio y el cesio, del espectro lineal que obtuvo de muestras de aguas minerales de manantial.

Q18. ¿Cómo se organizan los espectros de línea?

Hasta 1885, los espectros de líneas eran poco más que “huellas dactilares” de los elementos; extremadamente útiles en sí mismos, pero incapaces de revelar más que la identificación de los átomos individuales de los que surgen. En ese año un maestro de escuela suizo llamado Johann Balmer publicó una fórmula que relacionaba de manera sencilla las longitudes de onda de las cuatro líneas conocidas en el espectro de emisión de hidrógeno. La fórmula de Balmer no estaba basada en la teoría; probablemente fue un caso de corte y prueba, pero funcionó: fue capaz de predecir la longitud de onda de una quinta línea de emisión de hidrógeno, aún por descubrir, y a medida que mejoraron las técnicas espectroscópicas y astronómicas (la única manera de observar átomos de hidrógeno altamente excitados en el tiempo era observar el espectro solar durante un eclipse), se descubrieron un total de 35 líneas, todas con longitudes de onda dadas por la fórmula que escribimos de la manera moderna como

en la que m = 2 y R es una constante (la constante de Rydberg, después del espectroscopista sueco) cuyo valor es 1.09678E7 m ^—1. La variable n es un entero cuyos valores 1, 2, etc. dan las longitudes de onda de las diferentes líneas.

Pronto se descubrió que al reemplazar m con números enteros distintos a 2, podrían contabilizarse otras series de líneas de hidrógeno. Estas series, que abarcan la región de longitud de onda desde el ultravioleta hasta el infrarrojo, llevan el nombre de sus descubridores.

nombre de la serie	cuando se descubre	valor de m
Lyman	1906-14	1
Balmer	1885	2
Paschen	1908	3
Brackett	1922	4
Pfund	1924	5

Los intentos de adaptar la fórmula de Balmer para describir los espectros de átomos distintos al hidrógeno generalmente fallaron, aunque ciertas líneas de algunos de los espectros parecían ajustarse a este mismo esquema, con el mismo valor de R.

Q19. ¿Qué tan grande puede ser n?

No hay límite; se han observado valores por cientos, aunque hacerlo es muy difícil debido al espaciamiento cada vez más estrecho de los niveles sucesivos a medida que n se vuelve grande. Se dice que los átomos excitados a valores muy altos de n están en los estados de Rydberg.

Q20. ¿Por qué los espectros de línea se vuelven continuos a longitudes de onda cortas?

A medida que n se hace más grande, el espaciamiento entre los niveles vecinos disminuye y las líneas discretas se fusionan en un continuo. Esto solo puede significar una cosa: los niveles de energía convergen a medida que n se acerca al infinito. Este límite de convergencia corresponde a la energía requerida para eliminar completamente el electrón del átomo; es la energía de ionización.

A energías superiores a esto, el electrón ya no está ligado al resto del átomo, que ahora es por supuesto un ion positivo. Pero un sistema no unido no se cuantifica; la energía cinética del ion y del electrón ahora puede tener cualquier valor superior a la energía de ionización. Cuando tal par de iones y electrones se recombinan para formar un nuevo átomo, la luz emitida tendrá una longitud de onda que cae en la región del continuo del espectro. La observación espectroscópica del límite de convergencia es un método importante para medir las energías de ionización de los átomos.

Q21. ¿Cuáles fueron los problemas con el modelo planetario del átomo?

La demostración de Rutherford de que la masa y la carga positiva del átomo se concentra principalmente en una región muy pequeña llamada núcleo, obligó a la cuestión de cómo se disponen los electrones fuera del núcleo. Por analogía con el sistema solar, se sugirió un modelo planetario: si los electrones estuvieran orbitando el núcleo, habría una fuerza centrífuga que podría oponerse a la atracción electrostática y así evitar que los electrones caigan al núcleo. Esto por supuesto es similar a la forma en que la fuerza centrífuga producida por un planeta en órbita equilibra exactamente la fuerza debido a su atracción gravitacional hacia el sol.

El modelo planetario sufre de una debilidad fatal: los electrones, a diferencia de los planetas, están cargados eléctricamente. Una carga eléctrica que gira en una órbita está continuamente experimentando un cambio de dirección, es decir, aceleración. Es bien sabido desde la época de Hertz que una carga eléctrica acelerada irradia energía. Por lo tanto, esperaríamos que todos los átomos actuaran como estaciones de radio en miniatura. Peor aún, la conservación de la energía requiere que cualquier energía que se irradie sea a expensas de la energía cinética del movimiento orbital del electrón. Así el electrón se ralentizaría, reduciendo la fuerza centrífuga y permitiendo que el electrón se enroscara cada vez más cerca del núcleo, eventualmente cayendo en él. En definitiva, ningún átomo que opere según el modelo planetario duraría lo suficiente como para que habláramos de ello.

Por si esto no fuera suficiente, el modelo planetario fue totalmente incapaz de explicar ninguna de las propiedades observadas de los átomos, incluyendo sus espectros lineales.

Q22. ¿Cómo salvó la teoría de Bohr el modelo planetario... por un tiempo?

Niels Bohr nació en el mismo año (1885) que Balmer publicó su fórmula para el espectro lineal del hidrógeno. A partir de 1913, el brillante físico danés publicó una serie de artículos que finalmente derivarían la fórmula de Balmer a partir de los primeros principios.

La primera tarea de Bohr fue explicar por qué el electrón orbitante no irradia energía a medida que se mueve alrededor del núcleo. Esta pérdida de energía, en caso de que ocurriera en absoluto, lo haría de manera gradual y sin problemas. Pero Planck había demostrado que la radiación del cuerpo negro sólo podía explicarse si los cambios de energía se limitaban a saltos en lugar de cambios graduales. Si esta fuera una característica universal de la energía- es decir, si todos los cambios de energía fueran cuantificados, entonces serían imposibles cambios muy pequeños en la energía, de manera que el electrón en efecto quedaría “encerrado” a su órbita.

A partir de esto, Bohr pasó a proponer que existen ciertas órbitas estables en las que el electrón puede existir sin irradiar y así sin caer en una “espiral de muerte”. Esta suposición era atrevida en su momento porque era inconsistente con la física clásica, y la teoría que eventualmente le prestaría apoyo no llegaría hasta la obra de Broglie y Heisenberg más de diez años después.

Dado que los cuantos de Planck llegaron en múltiplos de h, Bohr restringió sus órbitas permitidas a aquellas en las que el producto del radio r y el impulso del electrón mv (que tiene las mismas unidades que h, J—s) son múltiplos integrales de h:

2π rmv = nh (n = 1,2,3,.)

Cada órbita corresponde a una energía diferente, ocupando normalmente el electrón que tiene la energía más baja, que sería la órbita más interna del átomo de hidrógeno.

Tomando la delantera de la explicación de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico, Bohr asumió que cada línea espectral emitida por un átomo que ha sido excitado por la absorción de energía de una descarga eléctrica o una llama representa un cambio en la energía dado por Δ E = hn = hc /λ, la energía perdida cuando el electrón cae de una órbita superior (valor de n) a una más baja.

Finalmente, como triunfo coronador, Bohr derivó una expresión dando el radio de la enésima órbita para el electrón en hidrógeno como

La sustitución de los valores observados de la masa y carga electrónica en esta ecuación arrojó un valor de 0.529E10 m para el radio de la primera órbita, valor que corresponde al radio del átomo de hidrógeno obtenido experimentalmente a partir de la teoría cinética de los gases. Bohr también pudo derivar una fórmula dando el valor de la constante de Rydberg, y así en efecto predecir todo el espectro de emisión del átomo de hidrógeno.

Q23. ¿Cuáles fueron los principales problemas con la teoría de Bohr?

Había dos tipos de dificultades. Primero, estaba la limitación práctica de que solo funciona para átomos que tienen un electrón, es decir, para H, He ⁺, Li ^{2 +}, etc. El segundo problema fue que Bohr no pudo proporcionar ninguna justificación teórica para su suposición de que los electrones en órbitas descritas por la ecuación anterior no perdería energía por radiación. Esto refleja la dificultad fundamental subyacente: debido a que la imagen de las ondas de materia de Broglie no llegaría hasta una década después, Bohr tuvo que considerar al electrón como una partícula clásica atravesando una trayectoria orbital definida.

Q24. ¿Cómo salvó la imagen ondulada del electrón a la teoría de Bohr?

Una vez que se hizo evidente que el electrón debía tener un carácter ondulante, las cosas comenzaron a caer en su lugar. Los posibles estados de un electrón confinado a un espacio fijo son en muchos sentidos análogos a los estados permitidos de una cuerda de guitarra vibratoria. Estos estados se describen como ondas estacionarias que deben poseer números integrales de nodos. Los estados de vibración de la cuerda son descritos por una serie de números integrales n = 1,2,... que llamamos el fundamental, primer armónico, segundo armónico, etc. La energía de vibración es proporcional a n ². Cada modo de vibración contiene una onda más completa que la que está debajo de ella.

Exactamente de la misma manera, la función matemática que define la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier ubicación dada dentro de un espacio confinado posee n picos y corresponde a estados en los que la energía es proporcional a n ².

El electrón en un átomo de hidrógeno está unido al núcleo por su carga electrostática esféricamente simétrica, y por lo tanto debe exhibir un tipo similar de comportamiento de onda. Esto se visualiza más fácilmente en una sección transversal bidimensional que corresponde a la órbita electrónica convencional. Pero si la imagen de partículas es reemplazada por la onda de probabilidad de de Broglie, esta onda debe seguir una trayectoria circular, y -lo más importante de todo- su longitud de onda (y consecuentemente su energía) se restringe a múltiplos integrales n = 1,2,.. de la circunferencia 2π r = n λ.

pues de lo contrario la ola colapsaría debido a la autointerferencia. Es decir, se debe cuantificar la energía del electrón; lo que Bohr había tomado como una suposición atrevida pero arbitraria ahora se veía como un requisito fundamental. De hecho, la ecuación anterior se puede derivar de manera muy simple combinando la condición cuántica de Bohr 2π r mv = nh con la expresión mv = h/λ para la longitud de onda DeBroglie de una partícula.

Ver el electrón como un patrón de onda estacionaria también explica su fracaso en la pérdida de energía al irradiar. La teoría clásica predice que una carga eléctrica acelerada actuará como un radiotransmisor; un electrón que viaja alrededor de un cable circular ciertamente actuaría de esta manera, y también lo haría uno girando en una órbita alrededor del núcleo. En una onda estacionaria, sin embargo, la carga se distribuye sobre el espacio de manera regular e inmutable; no hay movimiento de la carga en sí, y por lo tanto no hay radiación.

Q25. ¿Qué es un orbital?

Porque la visión clásica de un electrón como una partícula localizable se ve ahora como insostenible, también lo es el concepto de una trayectoria definida, o “órbita”. En cambio, ahora usamos la palabra orbital para describir el estado de existencia de un electrón. Un orbital no es realmente más que una función matemática que describe la onda estacionaria que da la probabilidad de que el electrón se manifieste en cualquier ubicación dada en el espacio. Más comúnmente (y vagamente) usamos la palabra para describir la región del espacio en la que es probable que se encuentre un electrón. Cada tipo de orbital se caracteriza por un conjunto de números cuánticos n, l y m Estos se relacionan, respectivamente, con la distancia promedio del electrón desde el núcleo, con la forma del orbital, y con su orientación en el espacio.

Q26. Si el electrón no puede localizarse, ¿puede estar moviéndose?

En su estado más bajo en el átomo de hidrógeno (en el que l =0) el electrón tiene un momento angular cero, por lo que los electrones en s orbitales no están en movimiento. En orbitales para los que l >0 el electrón sí tiene un momento angular efectivo, y dado que el electrón también tiene una masa de reposo definida m _e = 9.11E31 kg, debe poseer una velocidad efectiva. Su valor puede estimarse a partir del Principio de Incertidumbre; si el volumen en el que está confinado el electrón es de aproximadamente ^{10 —10} m, entonces la incertidumbre en su momento es al menos h/(^{10 10}) = 6.6E—24 kg m s ^—1, lo que implica una velocidad de alrededor de 10 ⁷ m s ^—1, o casi una décima parte de la velocidad de la luz.

Cuanto más fuerte es la fuerza electrostática de atracción por el núcleo, más rápida es la velocidad efectiva de los electrones. De hecho, los electrones más internos de los elementos más pesados tienen velocidades efectivas tan altas que se establecen efectos relativistas; es decir, la masa efectiva del electrón excede significativamente su masa de reposo. Esto tiene efectos químicos directos; es la causa, por ejemplo, del bajo punto de fusión del mercurio metálico y del color del oro.

Q27. ¿Por qué el electrón no cae en el núcleo?

El electrón cargado negativamente es atraído por la carga positiva del núcleo. ¿Qué impide que caiga? Esta pregunta puede ser respondida de diversas maneras en diversos niveles. Todo comienza con la afirmación de que el electrón, al ser una partícula cuántica, tiene un carácter dual y no puede ser tratado únicamente por las leyes de la mecánica newtoniana.

Vimos arriba que en su apariencia ondulada, el electrón existe como una onda estacionaria que debe rodear el núcleo a una distancia suficiente para permitir que al menos una longitud de onda encaje en su circunferencia. Esto significa que cuanto menor sea el radio del círculo, más corta debe ser la longitud de onda del electrón y, por lo tanto, mayor es la energía. Así termina “costando” la energía de los electrones si se acerca demasiado al núcleo. El radio orbital normal representa el equilibrio entre la fuerza electrostática que intenta atraer al electrón, y lo que podríamos llamar la “energía de confinamiento” que se opone a la energía electrostática. Esta energía de confinamiento puede estar relacionada tanto con el carácter de partícula como de onda del electrón.

Si el electrón como partícula se acercara al núcleo, la incertidumbre en su posición se volvería tan pequeña (debido al volumen muy pequeño de espacio cercano al núcleo) que el impulso, y por lo tanto la energía, tendría que llegar a ser muy grande. El electrón, en efecto, sería “expulsado” de la región nuclear por la energía de confinamiento.

Los patrones de onda estacionaria de un electrón en una caja se pueden calcular con bastante facilidad. Para un recinto esférico de diámetro d, la energía viene dada por

en el que n = 1,2,3. etc.

Q28. ¿Qué es el espín electrónico?

Cada electrón en un átomo tiene asociado a él un campo magnético cuya dirección se cuantifica; solo hay dos valores posibles que apuntan en direcciones opuestas. Generalmente nos referimos a estos como “arriba” y “abajo”, pero las direcciones reales son paralelas y antiparalelas al campo magnético local asociado con el movimiento orbital del electrón.

El término espín implica que este momento magnético es producido por la carga de electrones a medida que el electrón gira alrededor de su propio eje. Si bien esto transmite una vívida imagen mental de la fuente del magnetismo, el electrón no es un cuerpo extendido y su rotación carece de sentido. El espín electrónico no tiene contraparte clásica ni una explicación simple; el momento magnético es consecuencia de los cambios relativistas en el espacio y el tiempo locales debido a la alta velocidad efectiva del electrón en el átomo. Este efecto fue predicho teóricamente por P.A.M. Dirac en 1928.