7.3: Partículas y ondas a escala atómica en profundidad
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En Profundidad: Partículas y Ondas a Escala Atómica
Las partículas de tamaño atómico D3.1 tienen propiedades inusuales
El modelo de Bohr predijo datos experimentales para los espectros de emisión de átomos de hidrógeno y fue ampliamente aceptado, pero también planteó preguntas. ¿Por qué los electrones tenían energías definidas por un solo número cuántico n = 1, 2, 3, y así sucesivamente, pero nunca en el medio? ¿Cómo podría funcionar tan bien el modelo para un átomo de hidrógeno e iones de un electrón, pero no predecir con precisión el espectro de emisión para helio o cualquier átomo o ion con dos o más electrones? Para responder a tales preguntas, necesitamos explorar las propiedades inusuales de la materia a escala atómica.
Es natural tratar de interpretar el comportamiento de los electrones en los átomos usando analogías con el comportamiento de las cosas que podemos ver y experimentar. A principios del siglo XX, los científicos habían identificado dos tipos diferentes de comportamiento que podrían servir como analogías: las ondas y las partículas. Las olas, como las olas de agua, pueden doblarse alrededor de los objetos y exhibir interferencias. Una partícula, como un guisante o una pelota de tenis, se mueve en línea recta a menos que su trayectoria sea cambiada por una fuerza (como fricción, gravedad o golpear algo). Resulta que las propiedades de la materia a escala atómica se explican mejor usando una combinación de estas analogías.
Pensemos en un electrón como si se tratara de una partícula y escojamos una situación muy simple, pero artificial. La Figura 1 muestra un electrón que está obligado a moverse en una sola dimensión, digamos la dirección x. Hay paredes a la izquierda y derecha del electrón que impiden que se mueva más allá de ellas; la distancia entre las paredes es d (el electrón está en una caja de longitud d). Dado un empuje inicial, el electrón se moverá hacia adelante y hacia atrás para siempre (suponiendo que no haya fricción). La energía cinética del electrón estaría dada por la ecuación
\[E = \dfrac{1}{2}mv^2 \nonumber \]
donde m es la masa y v la velocidad.
Considere estas preguntas con respecto al movimiento de electrones en una caja unidimensional:
Pero para explicar el espectro de la línea de átomos de hidrógeno, Bohr tuvo que asumir que un electrón en un átomo sólo puede tener ciertas energías. Esta suposición parecía muy insatisfactoria basada en la analogía de las partículas, como acabamos de ver, un electrón debería poder tener cualquier valor energético.
En su lugar, exploremos una analogía de olas. En 1924, Louis de Broglie propuso que una onda de longitud de onda λ se asocia con cada partícula. Cuanto mayor es la masa de la partícula y más rápido se mueve, más pequeña se vuelve esta longitud de onda. La relación viene dada por la fórmula:
\[\lambda = \dfrac{h}{p} \nonumber \]
donde p es el momento del electrón, el producto de su masa y velocidad
\[p = m \times v \nonumber \]
y h es la constante de Planck (h = 6.626 × 10 —34 J s).
Información opcional: El comportamiento de los electrones en forma de onda se confirmó en 1927; lea sobre ello aquí. Vea este video para obtener otra descripción de los experimentos relevantes.
Supongamos que una ola, como una cuerda de guitarra vibrante, ocupa la caja. Una cuerda de guitarra está restringida al estar fijada en cada extremo por lo que asumimos que los extremos de la cuerda están atados a las paredes en los extremos de la caja.
En tu cuaderno de curso, haz un dibujo de cómo sería una cuerda vibrante de longitud d, con sus extremos en posiciones fijas. Si estás estudiando con otra persona, cada uno hace un dibujo individualmente y luego compara.
Si un electrón se comporta como una cuerda de guitarra, entonces solo ciertas longitudes de onda cabrán dentro de la caja unidimensional con longitud d (ver la figura en la Actividad 2). La longitud de la caja puede corresponder así a: una sola media longitud de onda, dos medias longitudes de onda, tres medias longitudes de onda, etc., pero no a ninguna onda donde se esté moviendo cualquiera de los extremos de la cadena. En otras palabras, la longitud d debe corresponder a un número entero de medias longitudes de onda:
\[d = n\dfrac{\lambda}{2} \nonumber \]
donde n = 1, 2, 3, 4,... Resolviendo la ecuación para λ, obtenemos:
\[\lambda = \dfrac{2d}{n} \nonumber \]
Combinando esto con la ecuación de Broglie,
\[\lambda = \dfrac{h}{p} \nonumber \]
contamos con:
\[\lambda = \dfrac{2d}{n} = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{mv} \nonumber \]
que reorganiza para dar:
\[v = \dfrac{nh}{2md}\;\;\;n = 1, 2, 3, 4, \dots \nonumber \]
Ahora podemos calcular la energía cinética de nuestra onda-partícula. Está dado por la fórmula:
\[E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{nh}{2md}\right)^2 = n^2\left(\dfrac{h^2}{8md^2}\right) \nonumber \]
Debido a que n es un número entero positivo, esta ecuación dice que la energía cinética del electrón solo puede tener ciertos valores y no otros.
Este resultado muestra que si pensamos en un electrón como una onda en una caja de 100pm, su energía se restringe automáticamente a ciertos valores específicos: el electrón puede tener una energía de 6.0 attojulios (aJ) o 24.0 aJ, pero no una energía intermedia como 7.3 aJ o 11.6 aJ. Describimos esta situación diciendo que se cuantifica la energía del electrón. Debido a que la energía de 6.0 aJ es la energía más baja posible, el electrón es más estable a esta energía, donde la caja contiene media longitud de onda. Este es el estado base. Si la energía tiene un valor mayor, como 24 aJ o 54 aJ, el electrón se encuentra en estado excitado. Observe que para los estados excitados las ondas de electrones tienen uno o más nodos. Un nodo es un punto donde la onda tiene amplitud cero; es decir, donde la onda no se mueve hacia arriba o hacia abajo en absoluto. Cuanto mayor sea el número de nodos, mayor será la energía, una generalización que es cierta para todo tipo de ondas.
Esta nueva forma de abordar el comportamiento de los electrones (y otras partículas de tamaño atómico) se conoció como mecánica de ondas o mecánica cuántica. El uso de analogías de onda y partícula para describir la materia a escala atómica se conoce como dualidad onda-partícula. La dualidad onda-partícula implica que ya no podemos afirmar que el electrón se encuentra en una posición específica dentro de la caja o se mueve en una dirección u otra: ¡el electrón parece estar por toda la caja a la vez!