6.4: Energía, Frecuencia, Longitud de onda e Ionización

Energía, frecuencia y longitud de onda

La última vez discutimos las ondas electromagnéticas y cómo se cuantifica la luz como fotones. Relacionamos la energía de un fotón con su frecuencia y longitud de onda utilizando la relación Planck-Einstein:

\(E=h \nu=\dfrac{h c}{\lambda}\)

En\(3.091\), las unidades más comunes que usaremos para la energía son julios\((\mathrm{J})\) o electrón voltios\((\mathrm{eV})\). Un joule equivale a a\(\operatorname{kg} \times \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{~s}^2}\), que es como una fuerza integrada a lo largo de una distancia. Los electrón voltios también son una unidad de energía, pero son mucho más pequeños que un joule. ¡An\(\mathrm{eV}\) es literalmente la carga de un electrón multiplicado por un voltio! Podemos convertir entre julios y electrón voltios usando

\(1 \mathrm{eV}=1.6022 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\)

Dependiendo del problema, puede ser más fácil trabajar en\(\mathrm{J}\) o\(\mathrm{eV}\). Cualquiera de los dos funciona: verificar dos veces cómo funcionan tus unidades es una excelente manera de verificar tu respuesta.

Las unidades de frecuencia\((\nu)\) son\(1 / s\), o equivalentemente,\(\operatorname{Hertz}(\mathrm{Hz}\), y la longitud de onda\((\lambda)\) tiene unidades de\(m\). Ahora, podemos considerar la velocidad de la luz,\(c\). La última vez, dijimos\(c=\lambda \nu\): ¡usando las unidades anteriores, vemos que la velocidad tiene unidades\(m / s\) como debería!

Con frecuencia, utilizaremos unidades como nanómetros\((n m)\) o micrones\((\mu m)\) para escalas de longitud pequeña: estas se pueden convertir a metros usando los siguientes factores de conversión:

\ begin {alineado}
&1\ mathrm {~nm} =10^ {-9}\ mathrm {~m}\\\
&1\ mu\ mathrm {m} =10^ {-6}\ mathrm {~m}
\ end {alineado}

La última pieza de la relación Planck-Einstein es la\(h\): ¡La constante de Planck! La constante de Planck es

\(h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}=4.136 \times 10^{-15} \mathrm{eVs}\)

¡Es importante que utilices la versión de\(\mathrm{h}\) con las unidades de energía en un problema!

Ejemplo: ¿Cuál es la energía y longitud de onda de la luz que tiene una frecuencia de\(440 \mathrm{THz}\)?

\ begin {reunió}
e=h\ nu=\ left (4.136\ times 10^ {-15}\ mathrm {eV}\ right) (440\ mathrm {THz})\ left (\ frac {10^ {12}\ mathrm {~Hz}} {1\ mathrm {THz}}\ right) =1.82\ mathrm {eV}\
\ lambda=\ dfrac {c} {\ nu} =\ dfrac {3\ times 10^8\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}} {440\ times 10^9 1/\ mathrm {s}} =6.81\ veces 10^ {-7}\ mathrm {~m} =681\ mathrm {~nm}
\ fin {reunidos}

Ionización

Si un fotón con suficiente energía es absorbido por un átomo, el átomo puede ionizarse: ¡pierde un electrón! De hecho, cuando discutimos el modelo de Bohr, ¡el factor\(-13.6 \mathrm{eV}\) es en realidad la primera energía de ionización del átomo de hidrógeno! Eso significa que se necesita\(13.6 \mathrm{eV}\) de energía para ionizar un electrón en el estado fundamental- es decir, para excitar un átomo en el\(\mathrm{n}=1\) estado tanto que abandona el átomo. El estado energético final de un electrón modelo Bohr ionizado puede considerarse como el límite como\(n_f \rightarrow \infty\):

\(\Delta E_{\text {ionize }}=\lim _{n_f \rightarrow \infty}(-13.6[\mathrm{eV}])\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)=\dfrac{13.6 \mathrm{eV}}{n_i^2}\)

Ejemplo: Un fotón con una longitud de onda de\(4.5 \mu \mathrm{m}\) golpea un átomo de hidrógeno con un electrón en un nivel de energía desconocido. El electrón es entonces expulsado del átomo, y vuela a través del espacio. Determinar a) el estado mínimo de energía en el que podría haber estado el electrón, y cuánta energía habría quedado sobrante, b) la velocidad del electrón justo cuando sale. Entonces, c) supongamos que un haz de\(4.5 \mu \mathrm{m}\) luz brilla sobre muchos átomos de hidrógeno en el estado que determinaste en la parte a). Si la potencia del haz es\(25 \mathrm{~mW}\), ¿cuántos fotones se expulsan cada segundo?

Contestar

a)

\ begin {reunió}
E_ {\ text {fotón}} =\ frac {h c} {\ lambda} =\ frac {\ left (4.14\ times 10^ {-15}\ mathrm {eV}\ mathrm {s}\ derecha)\ izquierda (3\ veces 10^8\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}\ derecha)} {4.5\ veces 10^ {-6}\ mathrm {~m}} =0.2757\ mathrm {eV}\\
E_ {\ texto {fotón}} =-13.6\ izquierda (\ frac {1} {n_f^2} -\ frac {1} {n_i^2}\ derecha) =13.6\ mathrm {eV}\ izquierda (\ frac {1} {n_i^2}\ derecha) =0.2757\ mathrm {eV}
\ end {reunidos}

Resolviendo esto, obtenemos\(n_i=7.02 \mathrm{eV}\). El electrón tendría que estar justo por encima del 7 º nivel de energía\(-\) ya que debe estar en un nivel de energía entero, el estado inicial más bajo es\(n_i=8\). La energía para ionizar a partir del octavo nivel de energía es

\[\Delta E_{8, \infty}=-13.6\left(-\dfrac{1}{8^2}\right)=0.2125 \mathrm{eV} \nonumber\]

Se necesita\(0.2125 \mathrm{eV}\) para ionizar de\(n_i=8\). La energía restante es sobrante:

\[E_{\text {left }}=0.2757 \mathrm{eV}-0.2125 \mathrm{eV}=0.063 \mathrm{eV} \nonumber\]

La energía sobrante no es absorbida por el átomo, ¡sino que debe ir a alguna parte! Un lugar al que podría ir es a la energía cinética del electrón que fue ionizado.

 

b) Asumiendo que toda la energía sobrante se convierte en ene cinético

\[E=\dfrac{1}{2} m v^2 \nonumber\]

Necesitamos convertir a julios para obtener una velocidad en unidades razonables:

\ begin {alineado}
0.063\ mathrm {eV}\ frac {1.602\ veces 10^ {-10}\ mathrm {~J}} {1\ mathrm {eV}} &=1.009\ veces 10^ {-20}\ mathrm {~J} =\ frac {1} {2}\ izquierda (9.11\ veces 10^ {-31}\ mathrm {~kg}\ derecha) v^2\\
v &=1.5\ veces 10^5\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}
\ end {alineado}

 

c) Primero, desglosemos la potencia del haz:

\[25 \mathrm{~mW}\left(\dfrac{1 \mathrm{~W}}{1000 \mathrm{~mW}}\right)\left(\dfrac{1 \mathrm{~J} / \mathrm{s}}{1 \mathrm{~W}}\right)=0.025 \mathrm{~J} / \mathrm{s} \nonumber\]

Entonces podemos resolver para la energía de cada fotón en julios:

\ begin {aligned}
&E=\ frac {h c} {\ lambda} =\ frac {\ left (6.626\ times 10^ {-34}\ mathrm {Js}\ derecha)\ left (3\ times 10^8\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}\ right)} {4.5\ times 10^ {-6}\ mathrm {~m} =4.4 veces\ 10^ {-20}\ mathrm {~J}/\ texto {fotón}\\
&\ frac {\ texto {fotones}} {\ mathrm {s}} = \ frac {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {s}}} {\ frac {\ mathrm {J}} {\ text {fotón}}} =\ frac {0.025\ mathrm {~J}/\ mathrm {s}} {4.4\ times 10^ {-20}\ mathrm {~J}/\ text {fotón}} =5.68\ times 10^ {17}\ texto {fotones}/\ mathrm {s}
\ end {alineado}