1.3: Representaciones irreducibles y tablas de caracteres

Las transformaciones de similitud producen representaciones irreducibles, γ _i, que conducen a la herramienta útil en la teoría de grupos: la tabla de caracteres. La estrategia general para determinar γ _i es la siguiente: A, B y C son representaciones matriciales de operaciones de simetría de un conjunto de bases arbitrarias (es decir, elementos sobre los que se realizan operaciones de simetría). Hay algún operador de transformación de similitud tal que

\ [\ begin {array} {l}
\ pmb A ^ {\ prime} =v^ {-1}\ cdot\ pmb A\ cdot v\\ pmb B ^ {
\ prime} =v^ {-1}\ cdot\ pmb B\ cdot v\ pmb C ^ {\ prime} =v^ {-1}\ cdot
\ pmb C\ cdot v\ pmb C\ pmb C\ pmb C\ pmb C\ pmb C
\ pmb C\ {matriz}\]

donde v produce únicamente matrices diagonalizadas por bloques, que son matrices que poseen matrices cuadradas a lo largo de la diagonal y ceros fuera de los bloques

\ begin {ecuación}
\ mathbf {A} ^ {\ prime} =\ left [\ begin {array} {rrr}
\ mathrm {A} _ {1} & &\
&\ mathrm {~A} _ {2} &\
& &\ mathrm {~A} _ {3}
\ end {array}\ derecha]\ quad\ mathbf {B} ^ {\ prime} =\ left [\ begin {array} {llll}
\ mathrm {B} _ {1} & &\\
&\ mathrm {~B} _ {2} &\\
& &\ mathrm {~B} _ _ {3}
\ end {array}\ derecha]\ quad\ mathbf {C} ^ {\ prime} =\ left [\ begin {array} {lll}
\ mathrm {C} _ _ {1} &\\
&\ mathrm {C} _ {2} &\\
& amp; &\ mathrm {C} _ {3}
\ end {array}\ derecha]
\ end {ecuación}

Las matrices A, B y C son reducibles. Las submatrices A _i, B _i y C _i obedecen las mismas propiedades de multiplicación que A, B y C. Si la aplicación de la transformada de similitud no diagonaliza más bloques A', B' y C', entonces los bloques son representaciones irreducibles. El carácter es la suma de los elementos diagonales de γ _i.

Como ejemplo, continuemos con nuestro grupo ejemplar: E, C ₃, C ₃ ², σ _v, σ _v ', σ _v” definiendo una base arbitraria... un triángulo

El conjunto de bases es descrito por los vértices de triángulos, puntos A, B y C. Las propiedades de transformación de estos puntos bajo las operaciones de simetría del grupo son:

\ [E\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & ; 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\
C
\ end {array}\ derecha]\ quad\ sigma_ {V}\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
A\\
C\\
B
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ derecha]\]

\ [C _ {3}\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
B\\
C\
A
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ derecha]\ quad\ sigma_ {V} ^ {\ prime}\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
B\\
A\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 1
\ end {array} \ derecha]\ izquierda [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ derecha]\]

\ [C _ {3} ^ {2}\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
C\\
A\
B
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ derecha]\ quad\ sigma_ {V} ^ {\ prime\ prime}\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
C\\
B\\
A
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
A\\
B\\
C
\ end {array}\ right]\]

Estas matrices no están diagonalizadas por bloques, sin embargo, una transformación de similitud adecuada logrará la tarea,

\ (v=\ left [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6}} & 0\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {array}\ derecha]\ quad; \ quad v^ {-1} =\ left [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}}\
\ frac {2} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {array}\ derecha ]\)

Aplicando la transformación de similitud con C ₃ como ejemplo,

\ (v^ {-1}\ cdot\ pmb C _ {3}\ cdot v=\ izquierda [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}}\
\ frac {2} {\ sqrt {6} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {array}\ derecha]\ cdot\ left [\ begin {array} {ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ right]\ cdot\ left [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6}} & 0\\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end array}\ derecho]\)

\ (\ left [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}}\
\ frac {2} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {array}\ derecha]\ cdot\ left [\ begin {array} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac {1} {\ sqrt {2}}\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1}} {\ sqrt {2}}\\
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6}} & 0
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & -\ frac {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2}\\
0 & -\ frac {\ sqrt {3}} {2} & -\ frac {1} {2}
\ end {array}\ derecha] =\ pmb C _ {3} ^ {*}\)

si se aplica de nuevo v ^-1 ⋅ C ₃ * ⋅ v, la matriz ya no se diagonaliza en bloque. Se obtiene la misma suma diagonal *aunque los elementos fuera de la diagonal pueden cambiar). En este caso, C ₃ * es una representación irreducible, γ _i.

La transformación de similitud aplicada a otras representaciones reducibles produce:

Así, una representación reducible de 3 × 3, γ _rojo, se ha descompuesto bajo una transformación de similitud en representaciones irreducibles diagonalizadas en bloques de 1 (1 × 1) y 1 (2 × 2), γi. Las trazas (es decir, suma de elementos de la matriz diagonal) de los γ _i bajo cada operación producen los caracteres (indicados por χ) de la representación. Tomando las huellas de cada uno de los bloques:

Esta colección de caracteres para una representación irreducible dada, bajo las operaciones de un grupo se denomina tabla de caracteres. Como muestra este ejemplo, de una base completamente arbitraria y de una transformación de similitud, nace una tabla de caracteres.

El conjunto de bases triangulares no descubre todos los γ _irr del grupo definido por {E, C ₃, C ₃ ², σ _v, σ _v ', σ _v”}. Un triángulo representa el espacio de coordenadas cartesianas (x, y, z) para el cual se determinaron los γ _i s. Puede elegir otras funciones base en un intento de descubrir otras γ _i s. Por ejemplo, considere una rotación alrededor del eje z,

Las propiedades de transformación de esta función base, _Rz, bajo las operaciones del grupo (elegirá solo 1 operación de cada clase, ya que los caracteres de los operadores en una clase son idénticos):

E:\ (R_ {z}\ fila derecha R_ {z}\
\ quad C _ {3}: R _ {2}\ fila derecha R _ {2}\ cuádruple\ sigma_ {v} (xy): R _ {2}\ fila derecha\ overline {R} _ _ {2}\)

Tenga en cuenta que estas propiedades de transformación dan lugar a un γ _i que no está contenido en una base triangular. Se obtiene una nueva base (1 x 1), γ ₃, que describe las propiedades de transformación para _Rz. Un resumen del γ _i para el grupo definido por E, C ₃, C ₃ ², σ _v, σ _v ', σ _v” es:

¿Esta tabla de personajes está completa? Las representaciones irreducibles y sus caracteres obedecen a ciertas relaciones algebraicas. A partir de estas 5 reglas, podemos determinar si se trata de una tabla de caracteres completa para estas 6 operaciones de simetría.

Cinco reglas importantes rigen las representaciones irreducibles y sus personajes:

Regla 1

La suma de los cuadrados de las dimensiones\(\ell\),, de representación irreducible γ _i es igual al orden, h, del grupo,

Dado que el carácter bajo la operación de identidad es igual a la dimensión de γ _i (ya que E es siempre la matriz unitaria), la regla puede reformularse como,

Regla 2

La suma de cuadrados de los caracteres de representación irreducible γ _i es igual a h

Regla 3

Los vectores cuyos componentes son caracteres de dos representaciones irreducibles diferentes son ortogonales

\(\sum_{R}\left[x_{i}(R)\right]\left[x_{j}(R)\right]=0 \quad\)para\(\quad i \neq j\)

Regla 4

Para una representación dada, los caracteres de todas las matrices pertenecientes a operaciones en la misma clase son idénticos

Regla 5

El número de γ _i s de un grupo es igual al número de clases en un grupo.

Con estas reglas se puede construir algebraicamente una tabla de caracteres. Volviendo a nuestro ejemplo, construyamos la tabla de caracteres en ausencia de una base arbitraria:

Regla 5: E (C ₃, C ₃ ²) (σ _v, σ _v ', σ _v”)... 3 clases ∴ 3 γ _i s

Regla 1:\(\ell_{1}^{2}+\ell_{2}^{2}+\ell_{3}^{2}=6 \quad \therefore \ell_{1}=\ell_{2}=1, \ell_{2}=2\)

Regla 2: Todas las tablas de caracteres tienen una representación totalmente simétrica. Así, una de las representaciones irreducibles, γ _i, posee el juego de caracteres χ ₁ (E) = 1, χ ₁ (C ₃, C ₃ ²) = 1, χ ₁ (σ _v, σ _v ', σ _v”) = 1. Aplicando la Regla 2, encontramos para la otra representación irreducible de la dimensión 1,

\(1 \cdot 1 \cdot x_{2}( E )+2 \cdot 1 \cdot x_{2}\left( C _{3}\right)+3 \cdot 1 \cdot x_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=0\)

Desde χ ₂ (E) = 1,

\(1+2 \cdot x_{2}\left( C _{3}\right)+3 \cdot x_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=0 \quad \therefore \quad \chi_{2}\left( C _{3}\right)=1, \chi_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=-1\)

Para el caso de γ ₃ (\(\ell\)₃ = 2) no hay una solución única a la Regla 2

\(2+2 \cdot \chi_{3} \left(C_{3}\right) +3 \cdot \chi_{3} \left(\sigma_{v}\right)=0\)

No obstante, la aplicación de la Regla 2 a γ ₃ nos da una ecuación para dos incógnitas. Tener varias opciones para obtener una segunda ecuación independiente:

Regla 1:\(1 \cdot 2^{2}+2\left[\chi_{3}\left(C_{3}\right)\right]^{2}+3\left[\chi_{3}\left(\sigma_{v}\right)\right]^{2}=6\)

Regla 3:\(1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(C_{3}\right)+3 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(\sigma_{v}\right)=0\)
o
\(1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(C_{3}\right)+3 \cdot(-1) \cdot x_{3}\left(\sigma_{v}\right)=0\)

Resolver rendimientos simultáneos\(\chi_{3}\left(C_{3}\right)=-1, \chi_{3}\left(\sigma_{x}\right)=0\)

Así se obtiene el mismo resultado mostrado en la pg 4:

\ begin {array} {c|ccc}
&\ mathrm {E} & 2\ mathrm {C} _ _ {3} & 3\ sigma_ {\ mathrm {v}}
\\ hline\ Gamma_ {1} & 1 & 1 & 1\
\ gamma_ {2} & 2 & -1 & 0\
\ gamma_ {3} & 1 & 1 & -1
\ end {matriz}

Tenga en cuenta que la derivación de la tabla de caracteres en esta sección se basa únicamente en las propiedades de los caracteres; la tabla se derivó algebraicamente. La derivación en pg 4 se realizó a partir de los primeros principios.

La tabla completa de caracteres es:

• γ _i s de:

\(\ell=1 \Longrightarrow A\)o\(B\) \(\ell=2 \Longrightarrow E\) \(\ell=3 \Longrightarrow T\)

A es simétrico (+1) con respecto a C n B es antisimétrico (—1) con respecto a C n

• los subíndices 1 y 2 designan γ _i s que son simétricos y antisimétricos, respectivamente a C ₂ s; si C ₂ s no existen, entonces con respecto a σ _v
• primos (') y primos dobles (”) unidos a γ _i s que son simétricos y antisimétricos, respectivamente, a σ _h
• para grupos que contienen i, g subíndice unido a γis que son simétricos a i mientras que u subíndice designa γis que son antisiméticos a i