2.2: La ecuación de Schrödinger, la partícula en una caja y las funciones de onda atómica
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Considerando las fallas del modelo de Bohr, Erwin Schr ö dinger y Werner Heisenberg propusieron un cambio importante en el paradigma con respecto al electrón. En varios artículos de vanguardia (1925-1927) atribuyeron propiedades de onda a los electrones y cada uno recibió premios Nobel por desarrollar las teorías de la Mecánica de Ondas (o la “Nueva Mecánica Cuántica”). Este enfoque trataba a los electrones como de naturaleza “dual”: poseer propiedades tanto de ondas como de partículas.
La Ecuación de Schrödinger describe el comportamiento del electrón (en un átomo de hidrógeno) en tres dimensiones. Es una ecuación matemática que define la posición del electrón, la masa, la energía total y la energía potencial. La forma más simple de la Ecuación de Schrödinger es la siguiente:
\[\hat{H}\psi = E\psi \nonumber \]
donde\(\hat{H}\) está el operador hamiltoniano,\(E\) es la energía del electrón, y\(\psi\) es la función de onda.
El hamiltoniano,\(\hat{H}\)
El operador hamiltoniano es como un conjunto de instrucciones que nos dice qué hacer con la función que le sigue. Un operador hamiltoniano es una función sobre el espacio tridimensional que corresponde a la suma de energías cinéticas y energías potenciales de las partículas en un sistema, un electrón y su núcleo en este caso. El operador hamiltoniano para un sistema de un electrón es:
\[\hat{H}=\dfrac{-h{^2}}{8\pi{^2}m_e}\left(\dfrac{\partial{^2}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial{^2}}{\partial{y^2}}+\dfrac{\partial{^2}}{\partial{z^2}}\right)-\dfrac{Ze^2}{4\pi{}\epsilon_0{r}}, \nonumber \]
donde\(h\) está la constante de Planck,\(m_e\) es la masa del electrón,\(e\) es la carga del electrón,\(r\) es la distancia desde el núcleo (\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)),\(Z\) es la carga del núcleo, y\(4\pi{}\epsilon_0\) es la permitividad de un vacío.
Energía cinética
La primera parte del hamiltoniano escrita anteriormente,\(\dfrac{-h{^2}}{8\pi{^2}m_e}\left(\dfrac{\partial{^2}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial{^2}}{\partial{y^2}}+\dfrac{\partial{^2}}{\partial{z^2}}\right)\) describe la energía cinética del electrón. Esta es la energía debida al movimiento del electrón.
Energía potencial
La segunda parte escrita anteriormente,\(\dfrac{-Ze^2}{4\pi{}\epsilon_0{r}}\), describe la energía potencial del electrón, y comúnmente se escribe como\(V(r)\) o\(V(x,y,z)\).
\[V(x,y,x) = \dfrac{-Ze^2}{4\pi{}\epsilon_0{r}} = \dfrac{-Ze^2}{4\pi{}\epsilon_0{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}} \nonumber \]
La energía potencial depende de la fuerza electrostática atractiva entre el electrón y el núcleo. Podrías notar que esta atracción es esencialmente la misma que la fuerza electrostática definida por la ley de Coulomb. Y, así como en la ley de Coulomb, cuando dos cargas opuestas son atraídas entre sí, la energía potencial de la fuerza es negativa. Así, cuando un electrón está cerca del núcleo, la energía potencial es un gran número negativo correspondiente a una fuerte fuerza de atracción. Cuando un electrón está más alejado del núcleo, la energía potencial sigue siendo negativa pero con una magnitud menor, correspondiente a una fuerza de atracción más débil. Si el electrón está muy lejos del núcleo (\(r = \infty\)) entonces la fuerza atractiva, y la energía potencial, es cero.
La función Onda,\(\psi\)
En términos simples, la función de onda (\(\psi\)) de un electrón describe la posición del electrón en el espacio, relativa al núcleo. El cuadrado del\(\psi\) describe un orbital atómico. No podemos definir la posición demasiado exactamente porque violaríamos el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero sí podemos definir su ola. Un ejemplo sencillo de a\(\psi\) se describe en la siguiente sección: Partícula en una caja. Aquí, describiremos el\(\psi\) en términos generales. Generalmente, en un átomo de un electrón, el electrón\(\psi\) se define por la distancia de la onda desde el núcleo y su ángulo con respecto a los ejes x, y, y z de las coordenadas cartesianas del átomo (el núcleo está en el origen). La forma general del (\(\psi\)) para un electrón en un átomo de hidrógeno se puede escribir de la siguiente manera:
\[\psi_{n,l,m_l} = R_{n,l}(r) + Y_{l,m_l}(\theta,\phi) \nonumber \]
Los números cuánticos definen\(\psi\)
El (\(\psi\)) se define por tres de los números cuánticos:\(n\),\(l\), y\(m_l\). Estos números cuánticos se discutirán más en una sección posterior (2.2.2) La variación radial,\(R\), depende de la distancia del electrón al núcleo. Los números cuánticos\(n\) (nivel de energía) y\(l\) (tipo orbital) definen\(R\). Dado que\(n\) debe ser un entero, solo hay ciertos valores permitidos para la solución a la función de onda.
La variación angular,\(Y\), depende del ángulo con respecto a las coordenadas x, y y z, y depende de los números cuánticos\(l\) (el tipo orbital) y\(m_l\) (el momento angular, o el orbital específico). Por ejemplo,\(p_x\) se encuentra a lo largo del\(x\) eje, mientras que\(p_y\) apunta en una dirección diferente en el espacio.
Para revisión, una lista de los números cuánticos, sus valores y significados se encuentran en la siguiente tabla.
| SÍMBOLO | NOMBRE | VALORES | SIGNIFICADO |
|---|---|---|---|
| \(n\) | principal | \(1,2,3...\)(cualquier entero) | nivel de energía, shell |
| \(l\) | momento angular | \(0 \rightarrow n-1\) |
subshell,\(0=s, 1=p, 2=d, 3=f...\) esta es la dependencia angular de lo orbital, forma de la |
| \(m_l\) | magnético | \(+l \rightarrow -l\) | orientación del momento angular en el espacio, orbital |
| \(m_s\) | giro | \(+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\) | la propiedad imaginaria que llamamos “spin”, arriba o abajo |
Algunas consideraciones y limitaciones importantes
Aunque pueda parecer que podría haber algún valor de x, y, y z para el hamiltoniano, estos valores están limitados por las posiciones permitidas de los electrones según\(\psi\), que está limitado por valores enteros de\(n\). En otras palabras, se cuantifican las soluciones permitidas. Sin embargo, hay un número infinito de valores para\(n\) from\(n=1\rightarrow\infty\), por lo que también hay infinitas soluciones a la ecuación de Schr ö dinger.
El\(\psi\) describe las propiedades de onda de un electrón. La probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar del espacio es el cuadrado de la función de onda (\(\psi^2\)o\(\psi \psi^*\)). En otras palabras,\(\psi^2\) describe la forma y el tamaño del orbital de un electrón (las formas que ya conoces).
Hay algunos requisitos para una solución físicamente realista y significativa para\(\psi\), y por lo tanto\(\psi^2\).
- Solo hay un valor posible\(\psi\) para cualquier conjunto de los tres números cuánticos\(n, l, m_l\).
- El\(\psi\) se acerca a cero como\(r\) se acerca al infinito, y así\(\psi^2\) también se acerca a cero como\(r\rightarrow\infty\).
- La función de onda debe normalizarse. Es decir, la probabilidad total de encontrar el electrón en todo el espacio debe ser 1. \[\int_{\text {all space}} \psi_{A} \psi_{A}^{*} d \tau=1 \nonumber \]
- Dos orbitales cualesquiera no deben ocupar el mismo espacio. En otras palabras, dos orbitales cualesquiera en un átomo son ortogonales. Si\(\psi_{A}\) y\(\psi_{B}\) son funciones de onda para diferentes orbitales en un mismo átomo,\[\int_{\text {all space}} \psi_{A} \psi_{B}^{*} d \tau=0 \nonumber \]
- Se debe definir la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier lugar del espacio infinito. Esto significa que las funciones de onda y sus primeras derivadas deben ser continuas (es decir, no cambiar abruptamente de un punto a otro).