3.10: Unidades Derivadas

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¿Cómo ha evolucionado la agricultura?

A medida que la agricultura se vuelve más cara y menos rentable (al menos para pequeñas granjas), los agricultores podrían decidir vender sus tierras a constructores que quieran erigir propiedades comerciales o residenciales. Para poder vender, se necesita un título de propiedad exacto. Se deben determinar las dimensiones de la finca y calcular la superficie a partir de esas dimensiones.

Análisis Dimensional y Unidades Derivadas

Algunas unidades son combinaciones de unidades base SI. Una unidad derivada es una unidad que resulta de una combinación matemática de unidades base SI. Ya hemos discutido el volumen y la energía como dos ejemplos de unidades derivadas. Algunos otros se enumeran en la siguiente tabla:

Unidades SI Derivadas
Cantidad	Símbolo	Unidad	Abreviatura de unidades	Derivación
Área	\(A\)	metro cuadrado	\(\text{m}^2\)	\(\text{length} \times \text{width}\)
Volumen	\(V\)	metro cúbico	\(\text{m}^3\)	\(\text{length} \times \text{width} \times \text{height}\)
Densidad	\(D\)	kilogramos/metro cúbico	\(\text{kg/m}^3\)	\ (\ frac {\ texto {masa}} {\ texto {volumen}}\ 0
Concentración	\(c\)	moles/litro	\(\text{mol/L}\)	\(\frac{\text{amount}}{\text{volume}}\)
Velocidad (velocidad)	\(v\)	metros/segundo	\(\text{m/s}\)	\(\frac{\text{length}}{\text{time}}\)
Aceleración	\(a\)	metros/segundo/segundo	\(\text{m/s}^2\)	\(\frac{\text{speed}}{\text{time}}\)
Fuerza	\(F\)	newton	\(\text{N}\)	\(\text{mass} \times \text{acceleration}\)
Energía	\(E\)	joule	\(\text{J}\)	\(\text{force} \times \text{length}\)

El uso del análisis dimensional con unidades derivadas requiere un cuidado especial. Cuando las unidades son cuadradas o cúbicas como con área o volumen, los propios factores de conversión también deben ser cuadrados. A continuación se muestra el factor de conversión para centímetros cúbicos y metros cúbicos.

\[\left( \frac{1 \: \text{m}}{100 \: \text{cm}} \right)^3 = \frac{1 \: \text{m}^3}{10^6 \: \text{cm}^3} = 1\nonumber \]

Debido a que un cubo tiene 3 lados, cada lado está sujeto a la conversión de\(1 \: \text{m}\) a\(100 \: \text{cm}\). Ya que 100 cubos es igual a 1 millón\(\left( 10^6 \right)\), hay\(10^6 \: \text{cm}^3\) en\(1 \: \text{m}^3\). Dos unidades de volumen convenientes son el litro (que es igual a un decímetro cúbico) y el mililitro, que es igual a un centímetro cúbico. El factor de conversión sería:

\[\left( \frac{1 \: \text{dm}}{10 \: \text{cm}} \right)^3 = \frac{1 \: \text{dm}^3}{1000 \: \text{cm}^3} = 1\nonumber \]

Hay así\(1000 \: \text{cm}^3\) en\(1 \: \text{dm}^3\), que es lo mismo que decir que hay\(1000 \: \text{mL}\) en\(1 \: \text{L}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Hay\(1000 \: \text{cm}^3\) en\(1 \: \text{dm}^3\). Ya que a\(\text{cm}^3\) es igual a a\(\text{mL}\) y a\(\text{dm}^3\) es igual a a\(\text{L}\), podemos decir que hay\(1000 \: \text{mL}\) en\(1 \: \text{L}\). (Crédito: Christopher Auyeung; Fuente: Fundación CK-12; Licencia: CC BY-NC 3.0 (opens in new window))

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Convertir\(3.6 \times 10^8 \: \text{mm}^3\) a\(\text{mL}\).

Solución

Paso 1: Enumere las cantidades conocidas y planifique el problema.

Conocido

\(1 \: \text{m} = 1000 \: \text{mm}\)
\(1 \: \text{mL} = 1 \: \text{cm}^3\)
\(1 \: \text{m} = 100 \: \text{cm}\)

Desconocido

Este problema requiere múltiples pasos y la técnica para convertir con unidades derivadas. Simplemente proceda paso a paso:\(\text{mm}^3\)\(\text{m}^3\) a\(\text{cm}^3 = \text{mL}\).

Paso 2: Calcular.

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \frac{1 \: \text{m}}{1000 \: \text{mm}} \right)^3 \times \left( \frac{100 \: \text{cm}}{1 \: \text{m}} \right)^3 \times \frac{1 \: \text{mL}}{1 \: \text{cm}^3} = 0.0036 \: \text{mL} \nonumber\nonumber \]

Numéricamente, los pasos son dividir 3.6 por\(10^9\), seguido de multiplicar por\(10^6\). Puede encontrar que puede acortar el problema por un paso determinando primero el factor de conversión de\(\text{mm}\) a\(\text{cm}\), y usándolo en lugar de primero convertir a\(\text{m}\). Hay\(10 \: \text{mm}\) en\(1 \: \text{cm}\).

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \frac{1 \: \text{cm}}{10 \: \text{mm}} \right)^3 \times \frac{1 \: \text{mL}}{1 \: \text{cm}^3} = 0.0036 \: \text{mL} \nonumber\nonumber \]

En este caso, 3.6/1000 da el mismo resultado de 0.0036.

Paso 3: Piensa en tu resultado.

Los milímetros cúbicos son mucho más pequeños que los centímetros cúbicos, por lo que la respuesta final es mucho menor que el número original de\(\text{mm}^3\).

Resumen

Una unidad derivada es una unidad que resulta de una combinación matemática de unidades base SI.
Los cálculos que involucran unidades derivadas siguen los mismos principios que otros cálculos de conversión de unidades.

Revisar

¿Qué es una unidad derivada?
Convertir 0.00722 km ³ a m ³
Convertir 129 cm ³ a L
Convertir 4.9 × 105 μm ³ a mm ³