2.4: Cifras significativas

Objetivo de aprendizaje

• Aplicar el concepto de cifras significativas para limitar una medición al número adecuado de dígitos.
• Reconocer el número de cifras significativas en una cantidad dada.
• Limitar los resultados matemáticos al número adecuado de cifras significativas.

Si utilizas una calculadora para evaluar la expresión 337/217, obtendrás lo siguiente:

\[337\div 217=1.5529953917 \nonumber \nonumber \]

y así sucesivamente para muchos más dígitos. Si bien esta respuesta es correcta, es algo presuntuosa. Empiezas con dos valores que cada uno tiene tres dígitos, y la respuesta tiene doce dígitos? Eso no tiene mucho sentido desde un estricto punto de vista numérico.

Considera usar una regla para medir el ancho de un objeto, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). El objeto es definitivamente de más de 1 cm de largo, por lo que sabemos que el primer dígito en nuestra medida es 1. Vemos contando las marcas de graduación en la regla que el objeto es de al menos tres ticks después del 1. Si cada tick representa 0.1 cm, entonces sabemos que el objeto tiene al menos 1.3 cm de ancho. Pero nuestro gobernante no tiene más ticks entre las marcas 0.3 y 0.4, así que no podemos saber exactamente cuánto es el siguiente decimal. Pero con un ojo practicado podemos estimarlo. Estimémoslo como aproximadamente seis décimas del camino entre la tercera y la cuarta marca de garrapata, lo que estima nuestro lugar de centésimas como 6, por lo que identificamos una medida de 1.36 cm para el ancho del objeto.

Figura\(\PageIndex{1}\): Expresando Ancho. ¿Cuál es la forma correcta de expresar el ancho de este objeto?

¿Tiene algún sentido tratar de reportar un lugar milésimas para la medición? No, no lo hace; no estamos exactamente seguros del lugar de las centésimas (después de todo, era solo una estimación), por lo que sería infructuoso estimar un lugar milésimas. Nuestra mejor medición, entonces, se detiene en el lugar centésimas, y reportamos 1.36 cm como medida adecuada.

Este concepto de reportar el número adecuado de dígitos en una medición o un cálculo se denomina cifras significativas. Las cifras significativas (a veces llamadas dígitos significativos) representan los límites de qué valores de una medida o un cálculo estamos seguros. La convención para una medición es que la cantidad reportada debe ser todos los valores conocidos y el primer valor estimado. Las convenciones para los cálculos se discuten de la siguiente manera.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilice cada diagrama para reportar una medición al número adecuado de cifras significativas.

Solución

1. La flecha está entre 4.0 y 5.0, por lo que la medición es al menos 4.0. La flecha se encuentra entre la tercera y cuarta marcas pequeñas, por lo que es al menos 0.3. Tendremos que estimar el último lugar. Parece alrededor de un tercio del camino a través del espacio, así que estimemos el lugar de centésimas como 3. Combinando los dígitos, tenemos una medida de 4.33 psi (psi significa “libras por pulgada cuadrada” y es una unidad de presión, como aire en una llanta). Decimos que la medición se reporta a tres cifras significativas.
2. El rectángulo tiene al menos 1.0 cm de ancho pero ciertamente no 2.0 cm de ancho, por lo que el primer dígito significativo es 1. El ancho del rectángulo es más allá de la segunda marca de verificación pero no la tercera; si cada marca representa 0.1, entonces el rectángulo es al menos 0.2 en el siguiente dígito significativo. Tenemos que estimar el siguiente lugar porque no hay marcas que nos guíen. Parece estar aproximadamente a mitad de camino entre 0.2 y 0.3, por lo que estimaremos que el siguiente lugar será un 5. Así, el ancho medido del rectángulo es de 1.25 cm. Nuevamente, la medición se reporta a tres cifras significativas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál sería el ancho reportado de este rectángulo?

Contestar

0.63 cm

En muchos casos, se le dará una medición. ¿Cómo se puede saber mirando qué dígitos son significativos? Por ejemplo, la población reportada de Estados Unidos es de 306 mil millones. ¿Significa eso que es exactamente trescientos seis millones, o está ocurriendo alguna estimación?

Las siguientes convenciones dictan qué números en una medición reportada son significativos y cuáles no significativos:

1. Cualquier dígito distinto de cero es significativo.
2. Cualquier ceros entre dígitos distintos de cero (es decir, ceros incrustados) son significativos.
3. Los ceros al final de un número sin punto decimal (es decir, ceros finales) no son significativos; sirven únicamente para poner los dígitos significativos en las posiciones correctas. No obstante, los ceros al final de cualquier número con un punto decimal son significativos.
4. Los ceros al inicio de un número decimal (es decir, ceros a la izquierda) no son significativos; nuevamente, sirven únicamente para poner los dígitos significativos en las posiciones correctas.

Entonces, por estas reglas, la cifra poblacional de Estados Unidos tiene sólo tres cifras significativas: la 3, la 6, y el cero entre ellas. Los seis ceros restantes simplemente pusieron al 306 en la posición de millones. (Ver Figura\(\PageIndex{2}\) para otro ejemplo.)

Figura\(\PageIndex{2}\): Cifras significativas. ¿Cuántos de los números en esta pantalla son realmente significativos? (Dominio Público.)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dar el número de cifras significativas en cada medición.

1. 36.7 m
2. 0.006606 s
3. 2,002 kg
4. 306,490,000 personas

Solución

1. Por regla 1, todos los dígitos distintos de cero son significativos, por lo que esta medición tiene tres cifras significativas.
2. Por regla 4, los tres primeros ceros no son significativos, pero por regla 2 lo es el cero entre los seis; por lo tanto, este número tiene cuatro cifras significativas.
3. Por regla 2, los dos ceros entre los dos son significativos, por lo que esta medición tiene cuatro cifras significativas.
4. Los cuatro ceros finales en el número no son significativos, pero los otros cinco números lo son, por lo que este número tiene cinco cifras significativas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar el número de cifras significativas en cada medición.

1. 0.000601 m
2. 65.080 kg

Contestar a

tres cifras significativas

Respuesta b

cinco cifras significativas

¿Cómo se manejan las cifras significativas en los cálculos? Depende de qué tipo de cálculo se esté realizando. Si el cálculo es una suma o una resta, la regla es la siguiente: limitar la respuesta reportada a la columna más a la derecha de que todos los números tengan cifras significativas en común. Por ejemplo, si tuvieras que sumar 1.2 y 4.21, observamos que el primer número detiene sus cifras significativas en la columna de décimas, mientras que el segundo número detiene sus cifras significativas en la columna de centésimas. Por lo tanto, limitamos nuestra respuesta a la columna décimas.

Dejamos caer el último dígito —el 1—porque no es significativo para la respuesta final.

La caída de posiciones en sumas y diferencias trae a colación el tema del redondeo. Si bien existen varias convenciones, en este texto adoptaremos la siguiente regla: la respuesta final debe redondearse hacia arriba si el primer dígito caído es 5 o mayor, y redondearse hacia abajo si el primer dígito caído es menor que 5.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Expresar la respuesta final al número adecuado de cifras significativas.

1. 101.2 + 18.702 =?
2. 202.88 − 1.013 =?

Solución

1. Si usamos una calculadora para sumar estos dos números, obtendríamos 119.902. Sin embargo, la mayoría de las calculadoras no entienden cifras significativas, y necesitamos limitar la respuesta final al décimo lugar. Así, bajamos el 02 y reportamos una respuesta final de 119.9 (redondeo hacia abajo).
2. Una calculadora respondería 201.867. No obstante, tenemos que limitar nuestra respuesta final al lugar centésimas. Debido a que el primer número que se está bajando es 7, que es mayor que 5, redondeamos y reportamos una respuesta final de 201.87.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Exprese la respuesta para

\[3.445 + 90.83 − 72.4 \nonumber \nonumber \]

al número adecuado de cifras significativas.

Contestar

21.9

Si las operaciones que se realizan son multiplicación o división, la regla es la siguiente: limitar la respuesta al número de cifras significativas que tenga el valor de datos con menor número de cifras significativas. Entonces, si estamos dividiendo 23 por 448, que tienen dos y tres cifras significativas respectivamente, debemos limitar la respuesta final reportada a dos cifras significativas (la menor de dos y tres cifras significativas):

\[23\div 448= 0.051339286 \approx 0.051 \nonumber \nonumber \]

Las mismas reglas de redondeo se aplican en multiplicación y división que lo hacen en suma y resta.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Significant Figures

Expresar la respuesta final al número adecuado de cifras significativas.

1. 76.4 × 180.4 =?
2. 934.9 ÷ 0.00455 =?

Solución

1. El primer número tiene tres cifras significativas, mientras que el segundo tiene cuatro cifras significativas. Por lo tanto, limitamos nuestra respuesta final a tres cifras significativas: 76.4 × 180.4 = 13,782.56 = 13,800.
2. El primer número tiene cuatro cifras significativas, mientras que el segundo tiene tres cifras significativas. Por lo tanto, limitamos nuestra respuesta final a tres cifras significativas: 934.9 ÷ 0.00455 = 205,472.5275... = 205,000.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Expresar la respuesta final al número adecuado de cifras significativas.

1. 22.4 × 8.314 =?
2. 1.381 ÷ 6.02 =?

Contestar a

186

Respuesta b

0.229

Como probablemente ya se haya dado cuenta, el mayor problema para determinar el número de cifras significativas en un valor es el cero. ¿El cero es significativo o no? Una forma de determinar sin ambigüedades si un cero es significativo o no es escribir un número en notación científica. La notación científica incluirá ceros en el coeficiente del número sólo si son significativos. Así, el número 8.666 × 10 ⁶ tiene cuatro cifras significativas. No obstante, el número 8.6660 × 10 ⁶ tiene cinco cifras significativas. Ese último cero es significativo; si no lo fuera, no estaría escrito en el coeficiente. Entonces, ante la duda de expresar el número de cifras significativas en una cantidad, utilizar la notación científica e incluir el número de ceros que son verdaderamente significativos.

Resumen

• Cifras significativas en una cantidad indican el número de valores conocidos más un lugar que se estima.
• Existen reglas para las cuales los números en una cantidad son significativos y que no son significativos.
• En los cálculos que impliquen suma y resta, limitar las cifras significativas con base en el lugar más a la derecha que todos los valores tienen en común.
• En los cálculos que implican multiplicación y división, limitar las cifras significativas al menor número de cifras significativas en todos los valores de datos.