2.5: Conversión de Unidades

Objetivo de aprendizaje

• Convertir de una unidad a otra del mismo tipo.

En la Sección 2.2, mostramos algunos ejemplos de cómo reemplazar unidades iniciales por otras unidades del mismo tipo para obtener un valor numérico que sea más fácil de comprender. En esta sección, formalizaremos el proceso.

Considera un ejemplo sencillo: ¿cuántos pies hay en 4 yardas? La mayoría de la gente responderá casi automáticamente que hay 12 pies en 4 yardas. ¿Cómo tomaste esta determinación? Bueno, si hay 3 pies en 1 yarda y hay 4 yardas, entonces hay 4 × 3 = 12 pies en 4 yardas.

Esto es correcto, claro, pero es informal. Formalizarlo de una manera que se pueda aplicar de manera más general. Sabemos que 1 yarda (yd) equivale a 3 pies (ft):

\[1\, yd = 3\, ft\nonumber \]

En matemáticas, esta expresión se llama igualdad. Las reglas del álgebra dicen que puedes cambiar (es decir, multiplicar o dividir o sumar o restar) la igualdad (siempre y cuando no dividas por cero) y la nueva expresión seguirá siendo una igualdad. Por ejemplo, si dividimos ambos lados por 2, obtenemos:

\[\dfrac{1}{2}\,yd= \dfrac{3}{2}\, ft\nonumber \]

Vemos que media yarda equivale a 3/2, o uno y medio, pies —algo que también sabemos que es verdad— por lo que la ecuación anterior sigue siendo una igualdad. Volviendo a la igualdad original, supongamos que dividimos ambos lados de la ecuación por 1 yarda (número y unidad):

\[\dfrac{1\,yd}{1\,yd}= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

La expresión sigue siendo una igualdad, por las reglas del álgebra. La fracción izquierda equivale a 1. Tiene la misma cantidad en el numerador y el denominador, por lo que debe ser igual a 1. Las cantidades en el numerador y denominador cancelan, tanto el número como la unidad:

\[\dfrac{1\,yd}{1\,yd}= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Cuando todo se cancela en una fracción, la fracción se reduce a 1:

\[1= \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Factores de conversión

Tenemos una expresión que equivale a 1.

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}=1\nonumber \]

Esta es una forma extraña de escribir 1, pero tiene sentido: 3 pies equivale a 1 yd, por lo que las cantidades en el numerador y denominador son la misma cantidad, solo expresadas con diferentes unidades.

La expresión

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

se denomina factor de conversión y se utiliza para cambiar formalmente la unidad de una cantidad a otra unidad. (El proceso de convertir unidades de tal manera formal a veces se denomina análisis dimensional o el método de etiqueta factorial).

Para ver cómo sucede esto, comencemos con la cantidad original: 4 yd.

Ahora multipliquemos esta cantidad por 1. Cuando multiplicas algo por 1, no cambias el valor de la cantidad. En lugar de multiplicar por solo 1, escribamos 1 como:

\[\dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

\[4\,yd\times \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

El término de 4 yd puede pensarse como 4yd/1; es decir, puede pensarse como una fracción con 1 en el denominador. Básicamente estamos multiplicando fracciones. Si lo mismo aparece en el numerador y denominador de una fracción, cancelan. En este caso, lo que cancela es el patio de la unidad:

\[4\,yd\times \dfrac{3\,ft}{1\,yd}\nonumber \]

Eso es todo lo que podemos cancelar. Ahora, multiplica y divide todos los números para obtener la respuesta final:

\[\dfrac{4\times 3\, ft}{1}= \dfrac{12\,ft}{1}= 12\,ft\nonumber \]

Nuevamente, obtenemos una respuesta de 12 pies, tal como lo hicimos originalmente. Pero en este caso, utilizamos un procedimiento más formal que es aplicable a una variedad de problemas.

¿Cuántos milímetros hay en 14.66 m? Para responder a esto, necesitamos construir un factor de conversión entre milímetros y metros y aplicarlo correctamente a la cantidad original. Comenzamos con la definición de milímetro, que es:

\[1\,mm= \dfrac{1}{1000\,m}\nonumber \]

El 1/1000 es lo que significa el prefijo milli-. La mayoría de las personas se sienten más cómodas trabajando sin fracciones, por lo que reescribiremos esta ecuación llevando los 1,000 al numerador del otro lado de la ecuación:

\[1000\,mm=1\,m\nonumber \]

Ahora construimos un factor de conversión dividiendo una cantidad en ambos lados. Pero ahora surge una pregunta: ¿por qué cantidad dividimos? Resulta que tenemos dos opciones, y las dos opciones nos darán diferentes factores de conversión, ambos iguales a 1:

\[\dfrac{1000\,mm}{1000\,mm}= \dfrac{1\,m}{1000\,mm} \nonumber \]

o

\[\dfrac{1000\,mm}{1\,m}= \dfrac{1\,m}{1\,m}\nonumber \]

\[1=\dfrac{1\,m}{1000\,mm}\nonumber \]

o

\[\dfrac{1000\,mm}{1\,m}=1\nonumber \]

¿Qué factor de conversión utilizamos? La respuesta se basa en qué unidad quieres deshacerte en tu cantidad inicial. La unidad original de nuestra cantidad son metros, que queremos convertir a milímetros. Debido a que se supone que la unidad original está en el numerador, para deshacernos de ella, queremos que la unidad medidora esté en el denominador; entonces cancelarán. Por lo tanto, utilizaremos el segundo factor de conversión. Cancelando unidades y realizando las matemáticas, obtenemos:

\[14.66m\times \dfrac{1000\,mm}{1\,m}= 14660\,mm\nonumber \]

Observe cómo\(m\) cancela, dejando\(mm\), que es la unidad de interés.

La capacidad de construir y aplicar factores de conversión adecuados es una técnica matemática muy poderosa en química. Necesitas dominar esta técnica si vas a tener éxito en este y futuros cursos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. Convierte 35.9 kL a litros.
2. Convierte 555 nm a metros.

Solución

1. Utilizaremos el hecho de que 1 kL = 1,000 L. De los dos factores de conversión que se pueden definir, el que funcionará es 1000L/ 1kL. Aplicando este factor de conversión, obtenemos:

\[35.9\, kL\times \dfrac{1000\,L}{1\,kL}= 35,900\, L \nonumber \nonumber \]

2. Utilizaremos el hecho de que 1 nm = 1/1,000,000,000 m, que reescribiremos como 1,000,000,000 nm = 1 m, o 10 ⁹ nm = 1 m. de los dos posibles factores de conversión, el apropiado tiene la unidad nm en el denominador:

\[\dfrac{1\,m}{10^{9}\,nm} \nonumber \nonumber \]

Aplicando este factor de conversión, obtenemos:

\[555\,nm\times \dfrac{1m}{10^{9}nm}= 0.000000555\,m= 5.55\times 10^{-7}\,m \nonumber \nonumber \]

En el paso final, expresamos la respuesta en notación científica.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. Convierta 67.08 μL a litros.
2. Convertir 56.8 m en kilómetros.

Contestar a

6.708 × 10 ⁻⁵ L

Respuesta b

5.68 × 10 ⁻² km

¿Y si tenemos una unidad derivada que es producto de más de una unidad, como m ²? Supongamos que queremos convertir metros cuadrados en centímetros cuadrados? La clave es recordar que m ² significa m × m, lo que significa que tenemos dos unidades de metros en nuestra unidad derivada. Eso significa que tenemos que incluir dos factores de conversión, uno para cada unidad. Por ejemplo, para convertir 17.6 m ² a centímetros cuadrados, realizamos la conversión de la siguiente manera:

\[\begin{align} 17.6m^{2} &= 17.6(m\times m)\times \dfrac{100cm}{1m}\times \dfrac{100cm}{1m} \nonumber \\[4pt] &= 176000\,cm \times cm \nonumber \\[4pt] &= 1.76\times 10^{5} \,cm^2\end{align}\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuántos centímetros cúbicos hay en 0.883 m ³?

Solución

Con un exponente de 3, tenemos tres unidades de longitud, por lo que por extensión necesitamos usar tres factores de conversión entre metros y centímetros. Así, tenemos:

\[0.883m^{3}\times \dfrac{100\,cm}{1\,m}\times \dfrac{100\,cm}{1\,m} \times \dfrac{100\,cm}{1\,m}= 883000\,cm^{3} = 8.83\times 10^{5}\,cm^{3}\nonumber \]

Deberías demostrarte a ti mismo que las unidades de tres metros sí cancelan.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Cuántos milímetros cúbicos están presentes en 0.0923 m ³?

Contestar

9.23 × 10 ⁷ mm ³

Supongamos que la unidad que desea convertir está en el denominador de una unidad derivada, ¿y entonces qué? Entonces, en el factor de conversión, la unidad que desea eliminar debe estar en el numerador. Esto cancelará con la unidad original en el denominador e introducirá una nueva unidad en el denominador. El siguiente ejemplo ilustra esta situación.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Convierte 88.4 m/min a metros/segundo.

Solución

Queremos cambiar la unidad en el denominador de minutos a segundos. Debido a que hay 60 segundos en 1 minuto (60 s = 1 min), construimos un factor de conversión para que la unidad que queremos eliminar, minutos, esté en el numerador: 1min/60s. Aplicar y realizar las matemáticas:

\[\dfrac{88.4m}{min}\times \dfrac{1\,min}{60\,s}= 1.47\dfrac{m}{s}\nonumber \]

Observe cómo va automáticamente el 88.4 en el numerador. Eso es porque se puede pensar que cualquier número está en el numerador de una fracción dividida por 1.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Convierta 0.203 m/min a metros/segundo.

Contestar

0.00338 m/s

o

3.38 × 10 ⁻³ m/s

En ocasiones habrá necesidad de convertir de una unidad con un prefijo numérico a otra con un prefijo numérico diferente. ¿Cómo manejamos esas conversiones? Bueno, podrías memorizar los factores de conversión que interrelacionan todos los prefijos numéricos. O puedes ir por la ruta más fácil: primero convierte la cantidad a la unidad base —la unidad sin prefijo numérico— usando la definición del prefijo original. Después, convierte la cantidad en la unidad base a la unidad deseada usando la definición del segundo prefijo. Se puede hacer la conversión en dos pasos separados o como un paso algebraico largo. Por ejemplo, para convertir 2.77 kg a miligramos:

\[2.77\,kg\times \dfrac{1000\,g}{1\,kg}= 2770\,g\nonumber \](convertir a las unidades base de gramos)

\[2770\,g\times \dfrac{1000\,mg}{1\,g}= 2770000\,mg = 2.77\times 10^{6}\,mg\nonumber \](convertir a la unidad deseada)

Alternativamente, se puede hacer en un solo proceso de varios pasos:

\[\begin{align} 2.77\, \cancel{kg}\times \dfrac{1000\,\cancel{g}}{1\,\cancel{kg}}\times \dfrac{1000\,mg}{1\,\cancel{g}} &= 2770000\, mg \nonumber \\[4pt] &= 2.77\times 10^{6}\,mg \end{align}\nonumber \]

Obtienes la misma respuesta de cualquier manera.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿Cuántos nanosegundos hay en 368.09 μs?

Solución

Puede hacer esto como una conversión en un solo paso de microsegundos a nanosegundos o convertir primero a la unidad base y luego a la unidad final deseada. Vamos a utilizar el segundo método aquí, mostrando los dos pasos en una sola línea. Utilizando las definiciones de los prefijos micro- y nano-,

\[368.0\,\mu s\times \dfrac{1\,s}{1000000\,\mu s}\times \dfrac{1000000000}{1\,s}= 3.6809\times 10^{5}\,ns\nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Cuántos mililitros hay en 607.8 kL?

Contestar

6.078 × 10 ⁸ mL

Al considerar las cifras significativas de una respuesta numérica final en una conversión, hay un caso importante en el que un número no incide en el número de cifras significativas en una respuesta final: el llamado número exacto. Un número exacto es un número de una relación definida, no uno medido. Por ejemplo, el prefijo kilo- significa 1,000- exactamente 1,000, ni más ni menos. Así, en la construcción del factor de conversión:

\[\dfrac{1000\,g}{1\,kg}\nonumber \]

ni el mil ni el 1 entran en nuestra consideración de cifras significativas. Los números en el numerador y denominador se definen exactamente por lo que significa el prefijo kilo-. Otra forma de pensarlo es que se puede pensar que estos números tienen un número infinito de cifras significativas, tales como:

\[\dfrac{1000.0000000000 \dots \,g}{1.0000000000 \ldots \,kg}\nonumber \]

Los otros números en el cálculo determinarán el número de cifras significativas en la respuesta final.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Una parcela rectangular en un jardín tiene las dimensiones 36.7 cm por 128.8 cm. ¿Cuál es el área de la parcela ajardinada en metros cuadrados? Exprese su respuesta en el número adecuado de cifras significativas.

Solución

El área se define como el producto de las dos dimensiones, que luego tenemos que convertir a metros cuadrados, y expresar nuestra respuesta final al número correcto de cifras significativas, que en este caso serán tres.

\[36.7\,cm\times 128.8\,cm\times \dfrac{1\,m}{100\,cm}\times \dfrac{1\,m}{100\,cm}= 0.472696\,m^{2}= 0.473\,m^{2}\nonumber \]

El 1 y 100 en los factores de conversión no afectan la determinación de cifras significativas porque son números exactos, definidos por el centi- prefijo.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Cuál es el volumen de un bloque en metros cúbicos con las dimensiones 2.1 cm × 34.0 cm × 118 cm?

Contestar

0.0084 m ³

La química está en todas partes: El planeador Gimli

El 23 de julio de 1983, un jet Boeing 767 de Air Canada tuvo que deslizarse hacia un aterrizaje de emergencia en el Aeropuerto de Gimli Industrial Park en Gimli, Manitoba, porque inesperadamente se quedó sin combustible durante el vuelo. No hubo pérdida de vidas en el transcurso del aterrizaje de emergencia, sólo algunas lesiones leves asociadas en parte con la evacuación de la embarcación tras el aterrizaje. Durante el resto de su vida operativa (el avión se retiró en 2008), el avión fue apodado “el planeador Gimli”.

El planeador Gimli es el Boeing 767 que se quedó sin combustible y se deslizó a un lugar seguro en el aeropuerto de Gimli. El avión se quedó sin combustible debido a la confusión sobre las unidades utilizadas para expresar la cantidad de combustible. Fuente: Foto cortesía de Will F., (CC BY-SA 2.5; Aero Icarus).

El 767 despegó de Montreal en su camino a Ottawa, en última instancia rumbo a Edmonton, Canadá. Alrededor de la mitad del vuelo, todos los motores del avión comenzaron a apagarse por falta de combustible. Cuando se cortó el motor final, se perdió toda la electricidad (que era generada por los motores); el avión se convirtió, esencialmente, en un planeador impotente. El capitán Robert Pearson era un experimentado piloto de planeador, aunque nunca había volado un planeador del tamaño de un 767. El primer oficial Maurice Quintal determinó rápidamente que la aeronave no podría llegar a Winnipeg, el próximo aeropuerto grande. Sugirió su antigua base de la Real Fuerza Aérea en la estación Gimli, una de cuyas pistas todavía se utilizaba como aeropuerto comunitario. Entre los esfuerzos de los pilotos y la tripulación de vuelo, lograron que el avión volara a tierra de manera segura (aunque con tren de aterrizaje abrochado) y a todos los pasajeros fuera de manera segura.

¿Qué pasó? En ese momento, Canadá estaba pasando del sistema inglés antiguo al sistema métrico. Los Boeing 767 fueron los primeros aviones cuyos medidores fueron calibrados en el sistema métrico de unidades (litros y kilogramos) en lugar del sistema inglés de unidades (galones y libras). Así, cuando el indicador de combustible decía 22,300, el indicador significaba kilogramos, pero la tripulación de tierra alimentó erróneamente el avión con 22,300 libras de combustible. Esto terminó siendo apenas menos de la mitad del combustible necesario para realizar el viaje, lo que provocó que los motores se pararan aproximadamente a mitad de camino hacia Ottawa. El pensamiento rápido y la extraordinaria habilidad salvaron la vida de 61 pasajeros y 8 miembros de la tripulación, un incidente que no habría ocurrido si la gente estuviera vigilando sus unidades.

Claves para llevar

• Las unidades se pueden convertir a otras unidades utilizando los factores de conversión adecuados.
• Los factores de conversión se construyen a partir de igualdades que relacionan dos unidades diferentes.
• Las conversiones pueden ser de un solo paso o de varios pasos.
• La conversión de unidades es una poderosa técnica matemática en química que debe ser dominada.
• Los números exactos no afectan la determinación de cifras significativas.