13.5: Cálculo de valores constantes de equilibrio

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Objetivo de aprendizaje

Calcular las concentraciones de equilibrio a partir de los valores de las cantidades iniciales y el K _eq.

Hay algunas circunstancias en las que, dadas algunas cantidades iniciales y el K _eq, se tendrán que determinar las concentraciones de todas las especies cuando se logre el equilibrio. Dichos cálculos no son difíciles de hacer, especialmente si se aplica un enfoque consistente. Consideraremos este enfoque aquí.

Supongamos que tenemos este equilibrio simple. Su K _eq asociado es 4.0, y la concentración inicial de cada reactivo es 1.0 M:

\[\underset{1.0M}{H_{2}(g)}+\underset{1.0M}{Cl_{2}(g)}\rightleftharpoons 2HCl(g)\; \; \; \; \; K_{eq}=4.0\nonumber \]

Debido a que tenemos concentraciones para los reactivos pero no para los productos, presumimos que la reacción procederá en la dirección de avance para elaborar productos. Pero ¿por cuánto procederá? No lo sabemos, así que vamos a asignarle una variable. Supongamos que x M H ₂ reacciona a medida que la reacción va al equilibrio. Esto significa que en equilibrio, tenemos (1.0 − x) M H ₂ sobrante.

De acuerdo con la ecuación química equilibrada, H ₂ y Cl ₂ reaccionan en una proporción 1:1. ¿Cómo sabemos eso? Los coeficientes de estas dos especies en la ecuación química equilibrada son 1 (no escrito, por supuesto). Esto significa que si x M H ₂ reacciona, x M Cl ₂ reacciona también. Si empezamos con 1.0 M Cl ₂ al principio y reaccionamos x M, tenemos (1.0 − x) M Cl ₂ dejado en equilibrio.

¿Cuánto HCl se hace? Comenzamos con cero, pero también vemos que se hacen 2 moles de HCl por cada mol de H ₂ (o Cl ₂) que reacciona (a partir de los coeficientes en la ecuación química equilibrada), así que si perdemos x M H ₂, ganamos 2 x M HCl . Entonces ahora conocemos las concentraciones de equilibrio de nuestra especie:

\[\underset{(1.0-x)M}{H_{2}(g)}+\underset{(1.0-x)M}{Cl_{2}(g)}\rightleftharpoons \underset{2xM}{2HCl(g)}\; \; \; \; \; K_{eq}=4.0\nonumber \]

Podemos sustituir estas concentraciones en la expresión de K _eq para esta reacción y combinarla con el valor conocido de K _eq:

\[K_{eq}=\frac{[HCl]^{2}}{[H_{2}][Cl_{2}]}=\frac{(2x)^{2}}{(1-x)(1-x)}=4.0\nonumber \]

Esta es una ecuación en una variable, por lo que deberíamos ser capaces de resolver para el valor desconocido. Esta expresión puede parecer formidable, pero primero podemos simplificar el denominador y escribirlo como un cuadrado perfecto también:

\[\frac{(2x)^{2}}{(1-x)^{2}}=4.0\nonumber \]

La fracción es un cuadrado perfecto, al igual que lo es el 4.0 a la derecha. Así podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados:

\[\frac{(2x)}{(1-x)}=2.0\nonumber \]

Ahora reorganizamos y resolvemos (asegúrate de que puedes seguir cada paso):

\[2x=2.0-2.0x\\ 4x=2.0\\ x=0.50\nonumber \]

Ahora tenemos que recordarnos qué es x, la cantidad de H ₂ y Cl ₂ que reaccionó, y que 2 x es el equilibrio [HCl]. Para determinar las concentraciones de equilibrio, necesitamos retroceder y evaluar las expresiones 1 − x y 2 x para obtener las concentraciones de equilibrio de nuestra especie:

1.0 − x = 1.0 − 0.50 = 0.50 M = [H ₂] = [Cl ₂] 2 x = 2 (0.50) = 1.0 M = [HCl]

Se supone que las unidades son molaridad. Para verificar, simplemente sustituimos estas concentraciones y verificamos que obtenemos el valor numérico del K _eq, en este caso 4.0:

\[\frac{(1.0)^{2}}{(0.50)(0.50)}=4.0\nonumber \]

Formalizamos este proceso mediante la introducción de la carta ICE, donde ICE representa inicial, cambio y equilibrio. Los valores iniciales van en la primera fila del gráfico. Los valores de cambio, generalmente expresiones algebraicas porque aún no conocemos sus valores numéricos exactos, van en la siguiente fila. Sin embargo, los valores de cambio deben estar en la relación estequiométrica adecuada como lo indica la ecuación química equilibrada. Finalmente, las expresiones de equilibrio en la última fila son una combinación del valor inicial y el valor de cambio para cada especie. Las expresiones en la fila de equilibrio se sustituyen por la expresión K _eq, lo que produce una ecuación algebraica que tratamos de resolver.

La tabla ICE para el ejemplo anterior se vería así:

	H ₂ (g)	Cl ₂ (g)	2HCl (g)
I	1.0	1.0	0
C	− x	− x	+2 x
E	1.0 − x	1.0 − x	+2 x

Sustituir la última fila en la expresión por los rendimientos de K _eq

\[K_{eq}=\frac{[HCl]^{2}}{[H_{2}][Cl_{2}]}=\frac{(2x)^{2}}{(1-x)(1-x)}=4.0\nonumber \]

que, por supuesto, es la misma expresión que ya hemos resuelto y arroja las mismas respuestas para las concentraciones de equilibrio. El gráfico ICE es una forma más formalizada de hacer este tipo de problemas. El signo + se incluye explícitamente en la fila de cambio de la tabla ICE para evitar cualquier confusión.

A veces, cuando se configura un gráfico ICE y se construye la expresión K _eq, resultará una ecuación algebraica más compleja. Una de las ecuaciones más comunes tiene un término x ² en ella y se llama ecuación cuadrática. Habrá dos valores posibles para la x desconocida, y para una ecuación cuadrática con la fórmula general ax ² + bx + c = 0 (donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática), los dos valores posibles son los siguientes:

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\nonumber \]

Un valor de x es el signo + utilizado en el numerador, y el otro valor de x es el signo − utilizado en el numerador. En este caso, un valor de x normalmente no tiene sentido como respuesta y puede descartarse como físicamente imposible, dejando solo un valor posible y el conjunto resultante de concentraciones. El ejemplo 9 ilustra esto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Configura una gráfica ICE y resuelve las concentraciones de equilibrio en esta reacción química.

\[\underset{0.55M}{COI_{2}(g)}\rightleftharpoons \underset{0}{CO(g)}+\underset{0}{I_{2}(g)}\; \; \; \; \; K_{eq}=0.00088\nonumber \]

Solución

El gráfico ICE está configurado así. Primero, los valores iniciales:

	COI ₂ (g)	CO (g)	I ₂ (g)
I	0.55	0	0
C
E

Algunos de los COI ₂ se perderán, pero ¿cuánto? No sabemos, así que lo representamos por la variable x. Entonces se perderá x M COI ₂, y por cada COI ₂ que se pierda, se producirán x M CO y x M I ₂. Estas expresiones van a la fila de cambio:

	COI ₂ (g)	CO (g)	I ₂ (g)
I	0.55	0	0
C	− x	+ x	+ x
E

En equilibrio, las concentraciones resultantes serán una combinación de la cantidad inicial y los cambios:

	COI ₂ (g)	CO (g)	I ₂ (g)
I	0.55	0	0
C	− x	+ x	+ x
E	0.55 − x	+ x	+ x

Las expresiones en la fila de equilibrio van a la expresión K _eq:

\[K_{eq}=\frac{[CO][I_{2}]}{[COI_{2}]}=0.00088=\frac{(x)(x)}{(0.55-x))}\nonumber \]

Reorganizamos esto en una ecuación cuadrática que es igual a 0:

0.000484 − 0.00088 x = x ² x ² + 0.00088 x − 0.000484 = 0

Ahora usamos la ecuación cuadrática para resolver los dos posibles valores de x:

\[x=\frac{-0.00088\pm \sqrt{(0.00088)^{2}-4(1)(-0.000484)}}{2(1)}\nonumber \]

Evaluar para ambos signos en el numerador—primero el signo + y luego el signo −:

x = 0.0216 o x = −0.0224

Debido a que x es la concentración final tanto de CO como de I ₂, no puede ser negativa, por lo que descartamos la segunda respuesta numérica como imposible. Así x = 0.0216.

Volviendo para determinar las concentraciones finales usando las expresiones en la fila E de nuestro gráfico ICE, tenemos

[COI ₂] = 0.55 − x = 0.55 − 0.0216 = 0.53 M [CO] = x = 0.0216 M [I ₂] = x = 0.0216 M

Puede verificar que estos números son correctos sustituyéndolos en la expresión K _eq y evaluando y comparando con el valor conocido de K _eq.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Configura una gráfica ICE y resuelve las concentraciones de equilibrio en esta reacción química.

\[\underset{0.075M}{N_{2}H_{2}(g)}\rightleftharpoons \underset{0}{N_{2}(g)}+\underset{0}{H_{2}(g)}\; \; \; \; \; K_{eq}=0.052\nonumber \]

Contestar

El gráfico ICE completado es el siguiente:

	N ₂ H ₂ (g)	N ₂ (g)	H ₂ (g)
I	0.075	0	0
C	− x	+ x	+ x
E	0.075 − x	+ x	+ x

Resolviendo para x da las concentraciones de equilibrio como [N ₂ _{H 2}] = 0.033 M; [N ₂] = 0.042 M; y [H ₂] = 0.042 M

Llave para llevar

Un gráfico ICE es una manera conveniente de determinar las concentraciones de equilibrio a partir de las cantidades iniciales.