10.4: Las ecuaciones

Todo el propósito del modelo de Stewart es descubrir qué determina el\(\ce{[H^{+}]}\) (y por lo tanto el pH) en soluciones acuosas como los fluidos corporales. Veamos dos sistemas simples para ganar algo de experiencia en la decisión de lo que determina el\(\ce{[H^{+}]}\) en estos sistemas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Pure Water

Considera primero una solución de agua pura y haz la pregunta aquí: ¿Qué determina el [H ⁺]?

Solución

Podemos determinar una fórmula para esto de la siguiente manera:

El agua se disocia en H ⁺ y OH- en un grado muy pequeño:

\[\ce{H2O <=> H^{+} + OH^{-}}\nonumber \]

La ecuación de equilibrio de disociación para esta reacción es:

\[\ce{[H^{+}] \times [OH^{-}] = K_{w} \times [H_{2}O]} \nonumber \]

donde\(K_w\) es la constante de disociación para el agua.

El valor de Kw depende de la temperatura. El término [H ₂ O] es muy grande (55.5M a 37°C) y los valores de\(\ce{[H^{+}]}\) y [OH ^-] son ambos muy pequeños: es decir, el agua se disocia en una medida tan pequeña que el valor de [H ₂ O] es esencialmente constante. Los términos Kw y [H ₂ O] se pueden combinar en una nueva constante K'w.

Kw que se llama el producto iónico para el agua. Así:

\[ K_{w} = \ce{[H^{+}]} \times \ce{[OH^{-}]} \nonumber \]

La neutralidad eléctrica también debe estar presente en la solución. Como H ⁺ y OH- son los únicos iones presentes:

\[[H^{+}] =[OH^{-}] \nonumber \]

Estas 2 ecuaciones simultáneas tienen dos incógnitas por lo que\(\ce{[H^{+}]}\) es posible una solución para:

\[[H^{+}] = (K_{w})^{\frac {1} {2}} \nonumber \]

Este es el sistema más simple posible pero ilustra el punto de que el análisis de un sistema da como resultado varias ecuaciones que pueden resolverse para [H ⁺].

Descripción general de los principios básicos Los principios básicos utilizados para analizar todos los sistemas y determinar la ecuación para\(\ce{[H^{+}]}\) son simples: Se debe conservar la electroneutralidad La masa debe ser conservada Todos los equilibrios de disociación deben cumplirse El resultado es un conjunto de ecuaciones simultáneas que pueden resolverse. No importa cuán compleja sea la solución, deben cumplirse todas estas 3 condiciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A Solution of Sodium chloride

Consideremos ahora un sistema un poco más complicado: una solución acuosa que contiene solo Na ⁺ y Cl ^-. Este ejemplo muestra cómo surge el término SID. ¿Qué determina el\(\ce{[H^{+}]}\) en esta solución?

Solución

Podemos escribir las siguientes ecuaciones para este sistema:

Equilibrio de disociación de agua:

\[K_{w} = [H^{+}] \times [OH^{-}] \nonumber \]

Neutralidad eléctrica:

\[[Na^{+}] + [H^{+}] = [Cl^{-}] + [OH^{-}] \nonumber \]

Resolviendo para [H ⁺]:

\[ [Na^{+}] - [Cl^{-}] =[OH^{-}] -[H^{+}] \nonumber \]

\[[OH^{-}] = \frac {K_{w}} {H^{+}} \nonumber \]

Combinando estos:

\[[H^{+}]^{2} + [H^{+}]([Na^{+}] - [Cl^{-}])-K_{w} = 0 \nonumber \]

Ahora\([Na^{+}] - [Cl^{-}] = SID\) para la solución en este ejemplo, entonces:

\[ [H^{+}]^{2} + (SID \cdot [H^{+}]) - K_{w} =0 \nonumber \]

Resolviendo esta ecuación cuadrática, las 2 soluciones son:

\[[H^{+}] = \frac {-SID} {2} + \sqrt {K_{w} + \frac {SID^{2}} {4}} \nonumber \]

y

\[[H^{+}] = \frac {-SID} {2} - \sqrt {K_{w} + \frac {SID^{2}} {4}} \nonumber \]

Para soluciones que contienen Na ⁺ y Cl- en agua, el\(\ce{[H^{+}]}\) está determinado por el SID solo (ya que esta es la única variable en el lado derecho de la ecuación)! Este sencillo ejemplo ilustra cómo el término SID es útil como variable independiente que surge de las ecuaciones utilizadas para analizar los sistemas químicos en los fluidos corporales.

El conjunto de ecuaciones para fluidos corporales

Los dos ejemplos anteriores describen el enfoque que se puede tomar con cualquier solución acuosa. A pesar de que los fluidos corporales son mucho más complejos, Stewart pudo encontrar las ecuaciones que describen el sistema y resolverlas para [H ⁺].

Los fluidos corporales son soluciones acuosas que contienen iones fuertes (inorgánicos y orgánicos) e iones débiles (el sistema volátil CO _{2/HCO 3} ^- y varios ácidos débiles no volátiles HA). Las variables independientes que determinan el\(\ce{[H^{+}]}\) en todos los fluidos corporales son el PCo ₂, SID y [A _Tot].

Todas las demás variables (eg [H ⁺], [OH ^-], [HCO ₃ ^-], [A ^-]) dependen de los valores de las 3 variables independientes. Hay seis ecuaciones simultáneas necesarias para describir este sistema (ver tabla a continuación)

Aquí no se presenta una discusión completa y derivación de estas ecuaciones: al lector interesado se le remite al libro de Peter Stewart “Cómo entender ácido-base” (1981)

Las Seis Ecuaciones Simultáneas utilizadas por Stewart
1. Equilibrio de disociación de agua
\[[H^{+}] \times [OH^{-}] = K_{w}\nonumber \]
2. Ecuación de Neutralidad Eléctrica
\[[SID] + [H^{+}] = [HCO_{3}] + [A^{-}] + [CO_{3}^{2-}] + [OH^{-}] \nonumber \]
3. Equilibrio de disociación de ácido débil
\[ [H^{+}] \times [A^{-}] = KA \times [HA] \nonumber \]
4. Conservación de la Misa para “A”
\[[A_{Tot}]=[HA] + [A^{-}] \nonumber \] [A Tot] = [HA] + [A ^-]
5. Equilibrio de formación de iones bicarbonato
\[ [H^{+}] \times [HCO_{3}^{-}] = KC \times pCO_{2} \nonumber \]
6. Equilibrio de formación de iones carbonato
\[ [H^{+}] \times [CO_{3}^{2-}] = K3 \times [HCO_{3}^{-}\nonumber \]

La ecuación 5 es la base de la ecuación familiar de Henderson-Hasselbalch. Es interesante señalar que el enfoque tradicional de la fisiología ácido-base utiliza solo la ecuación de Henderson-Hasselbalch e ignora todas las demás ecuaciones!

Las tres limitaciones básicas que conducen a estas seis ecuaciones son las leyes químicas o físicas que deben ser obedecidas por el sistema:

• La neutralidad eléctrica debe estar presente en la solución
• La conservación de la masa debe ocurrir
• Todos los equilibrios de disociación deben satisfacerse simultáneamente