10.5: Las soluciones
- Page ID
- 120538
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
El conjunto de seis ecuaciones simultáneas derivadas por Stewart (ver sección anterior) incluye:
- las 3 variables independientes (PCo 2, SID y [A Tot])
- las 6 variables dependientes ([HA], [A -], [HCO 3 -], [CO 2 -3], [OH -], [H +])
Estas ecuaciones se pueden resolver matemáticamente para expresar el valor de cualquiera de las variables dependientes en términos de las 3 variables independientes (y las diversas constantes de equilibrio). Los valores de las constantes de equilibrio se han determinado experimentalmente bajo un rango de condiciones y se pueden obtener de diversas fuentes de referencia.
Para enfocarse únicamente en la solución de las seis ecuaciones para [H +], se deriva una fórmula de la siguiente forma:
\[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} +dx + e =0 \]
Los matemáticos llaman a este tipo de ecuación un polinomio de 4to orden o una ecuación cuártica. El valor desconocido es x y a, b, c, d y e son constantes. (El valor real de estas “constantes” puede cambiar -por ejemplo con cambio de temperatura- pero son un valor fijo bajo un conjunto dado de condiciones. Si, por ejemplo, la temperatura cambia, entonces se tienen que usar diferentes valores de las constantes). La ecuación real para [H +] que Stewart derivó se enumera a continuación.
Ecuación utilizada para Resolver para [H +]\( a \cdot [H^{+}]^{4} + b \cdot [H^{+}]^{3} + c \cdot [H^{+}]^{2} + d \cdot [H^{+}] + e = 0 \)donde:
(ver el libro de Stewart para los valores de las constantes en esta ecuación) |
Una ecuación desalentadora y existe una fórmula general para resolver tales ecuaciones cuárticas, pero esto es muy complejo. Sin embargo, la solución es rápida y fácil en una computadora debidamente programada, y se puede hacer en línea, si conoce los valores de las constantes. Algunas de las constantes son dependientes de la temperatura, por lo que en realidad no son “constantes”. Se puede producir un tipo similar de ecuación para cualquiera de las 6 variables dependientes. El punto aquí no es involucrarse en matemáticas complicadas sino demostrar que es posible resolver la ecuación y determinar la concentración de iones hidrógeno (es decir, [H +]) en la solución utilizando únicamente los valores de las tres variables independientes y diversas constantes de equilibrio. Lo que no se afirma explícitamente son los límites de error relacionados con el cálculo. Estos se vuelven importantes (es decir, son amplios) ya que hay tantas variables y constantes involucradas, y tal cálculo indirecto del pH nunca puede ser tan preciso como la medición real del pH.