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2.3: Utilizar una estrategia de resolución de problemas

  • Page ID
    51820
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Utilizar una estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras
    • Resolver problemas de palabras numéricos
    • Resolver aplicaciones por ciento
    • Resolver aplicaciones de interés simples

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Traducir “seis menos de dos veces \(x\)” en una expresión algebraica.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Convertir 4.5% a decimal.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Convertir 0.6 a un por ciento.
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    ¿Alguna vez has tenido alguna experiencia negativa en el pasado con problemas de palabras? Cuando sentimos que no tenemos control, y seguimos repitiendo pensamientos negativos, establecemos barreras para el éxito. Date cuenta de que tus experiencias negativas con problemas de palabras están en tu pasado. Para seguir adelante necesitas calmar tus miedos y cambiar tus sentimientos negativos.

    Empieza con una nueva pizarra y empieza a pensar pensamientos positivos. Repetir algunas de las siguientes afirmaciones puede ser útil para que tus pensamientos sean positivos. Pensar pensamientos positivos es un primer paso hacia el éxito.

    • ¡Creo que puedo! ¡Creo que puedo!
    • Si bien los problemas de palabras eran duros en el pasado, creo que puedo probarlos ahora.
    • Ahora estoy mejor preparado —creo que empezaré a entender los problemas de las palabras.
    • Soy capaz de resolver ecuaciones porque practiqué muchos problemas y obtuve ayuda cuando la necesitaba, puedo intentar eso con problemas de palabras.
    • Puede llevar tiempo, pero puedo empezar a resolver problemas de palabras.
    • Ahora estás bien preparado y listo para triunfar. Si tomas el control y crees que puedes tener éxito, podrás dominar los problemas de palabras.

    Utilice una estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras

    Ahora que podemos resolver ecuaciones, estamos listos para aplicar nuestras nuevas habilidades a los problemas de palabras. Desarrollaremos una estrategia que podamos utilizar para resolver cualquier problema de palabras con éxito.

    EJEMPL \(\PageIndex{1}\)

    La nevada anual normal en la estación de esquí local es de 12 pulgadas más del doble de la cantidad que recibió la temporada pasada. La nevada anual normal es de 62 pulgadas. ¿Cuál fue la nevada la temporada pasada en la estación de esquí?

    Solución:

       
    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. ¿Cuál fue la nevada de la temporada pasada?
    Paso 3. Nombralo que estamos buscando y elige una variable para representarla. Deja que \(s=\) la nieve caiga la temporada pasada.
    Paso 4. Traducir. Reafirmarel problema en una sola frase con toda la información importante.
    Traducir en una ecuación.
    Paso 5. Resuelve la ecuación.
    Resta 12 de cada lado.
    Simplificar.
    Divide cada lado por dos.
    Simplificar.
    Paso 6. Consulta: En primer lugar, ¿es razonable nuestra respuesta? Sí, tener 25 pulgadas de nieve parece estar bien. El problema dice que la nevada normal es de doce pulgadas más del doble del número de la temporada pasada. Dos veces 25 es 50 y 12 más que eso es 62.
    Paso 7. Contesta la pregunta. La nevada de la temporada pasada fue de 25 pulgadas.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{1}\)

    Guillermo compró libros de texto y cuadernos en la librería. El número de libros de texto fue tres más del doble del número de cuadernos. Compró siete libros de texto. ¿Cuántos cuadernos compró?

    Contestar

    Compró dos cuadernos

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{2}\)

    Gerry trabajó rompecabezas de Sudoku y crucigramas esta semana. El número de rompecabezas de Sudoku que completó es ocho más del doble del número de crucigramas. Completó 22 acertijos de Sudoku. ¿Cuántos crucigramas hizo?

    Contestar

    Hacía siete crucigramas

    Resumimos una estrategia efectiva para la resolución de problemas.

    Estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras
    1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
    2. Identifica lo que estás buscando.
    3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil replantear el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración inglesa en una ecuación de álgebra.
    5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra adecuadas.
    6. Consulta la respuesta en el problema para asegurarte de que tenga sentido.
    7. Contesta la pregunta con una frase completa.

    Resolver problemas de palabras numéricos

    Ahora aplicaremos la estrategia de resolución de problemas a los “problemas de palabras numéricas”. Los problemas de palabras numéricas dan algunas pistas sobre uno o más números y usamos estas pistas para escribir una ecuación. Los problemas de palabras numéricas proporcionan una buena práctica para el uso de la Estrategia de Solución de Problemas.

    EJEMPL \(\PageIndex{2}\)

    La suma de siete veces un número y ocho es treinta y seis. Encuentra el número.

    Solución:

    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. el número

    Paso 3. Nombralo que estás buscando y

    elegir una variable para representarla.

    Deja \(n=\) el número.

    Paso 4. Traducir:

    Replantear el problema como una sola frase.

    Traducir en una ecuación.

    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Resta ocho de cada lado y simplifica.

    Divida cada lado por siete y simplifique.

    Paso 6. Chequear.

    ¿La suma de siete por cuatro más ocho es igual a 36?

    \[\begin{align*} 7·4+8 & \stackrel{?}{=}36 \\ 28+8 & \stackrel{?}{=}36 \\ 36 & =36✓ \end{align*}\]

     
    Paso 7. Contesta la pregunta. El número es 4.

    ¿Notaste que dejamos fuera algunos de los pasos ya que resolvimos esta ecuación? Si aún no estás listo para dejar de lado estos pasos, anota todos los que necesites.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{3}\)

    La suma de cuatro veces un número y dos es catorce. Encuentra el número.

    Contestar

    \(3\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{4}\)

    La suma de tres veces un número y siete es veinticinco. Encuentra el número.

    Contestar

    \(6\)

    Algunos problemas de palabras numéricos nos piden que encontremos dos o más números. Puede ser tentador nombrarlos a todos con diferentes variables, pero hasta ahora, solo hemos resuelto ecuaciones con una variable. Para evitar utilizar más de una variable, definiremos los números en términos de la misma variable. Asegúrate de leer el problema cuidadosamente para descubrir cómo todos los números se relacionan entre sí.

    EJEMPL \(\PageIndex{3}\)

    La suma de dos números es menos quince. Un número es nueve menos que el otro. Encuentra los números.

    Solución:

    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. dos números
    Paso 3. Nombralo que buscas eligiendo una variable para representar el primer número. “Un número es nueve menos que el otro”. Deje \(n=1^{\text{st}}\) el número. \(n−9=2^{\text{nd}}\) número
    Paso 4. Traducir. Escribecomo una sola frase. Traducir en una ecuación. La suma de dos números es menos quince.

    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Combina términos similares.

    Añadenueve a cada lado y simplifica. Simplificar.
    \(n+n-9=-15\)
    \(2 n=-6\)

    Paso 6. Chequear. ¿Es \(−12\) nueve menos que \(−3\)? \[\begin{align*}−3−9 & \stackrel{?}{=}−12 \\ −12 & =−12✓ \end{align*}\] Es su suma \(−15?\) \[\begin{align*} −3+(−12) & \stackrel{?}{=}−15 \\ −15 & =−15✓ \end{align*}\]  
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los números son \(−3\) y \(−12\).
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{5}\)

    La suma de dos números es menos veintitrés. Un número es siete menos que el otro. Encuentra los números.

    Contestar

    \(−15,−8\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{6}\)

    La suma de dos números es menos dieciocho. Un número es cuarenta más que el otro. Encuentra los números.

    Contestar

    \(−29,11\)

    Algunos problemas numéricos involucran números enteros consecutivos. Los enteros consecutivos son enteros que inmediatamente se suceden entre sí. Ejemplos de números enteros consecutivos son:

    \[\begin{array}{rrrr} 1, & 2, & 3, & 4 \\ −10, & −9, & −8, & −7\\ 150, & 151, & 152, & 153 \end{array}\nonumber\]

    Observe que cada número es uno más que el número que lo precede. Por lo tanto, si definimos el primer entero como \(n,\) el siguiente entero consecutivo es \(n+1\). El de después de eso es uno más que \(n+1\), así es \(n+1+1\), que es \(n+2\).

    \[\begin{array}{ll} n & 1^{\text{st}} \text{integer} \\ n+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; & 2^{\text{nd}}\text{consecutive integer} \\ n+2 & 3^{\text{rd}}\text{consecutive integer} \;\;\;\;\;\;\;\; \text{etc.} \end{array}\nonumber\]

    Usaremos esta notación para representar números enteros consecutivos en el siguiente ejemplo.

    EJEMPL \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es \(−54\).

    Solución:

    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. tres enteros consecutivos
    Paso 3. Nombracada uno de los tres números Vamos \(n=1^{\text{st}} \text{integer}\). \(n+1=2^{\text{nd}} \text{consecutive integer}\) \(n+2=3^{\text{rd}} \text{consecutive integer}\)
    Paso 4. Traducir. Reafirmarsecomo una sola frase. Traducir en una ecuación. La suma de los tres enteros es \(−54\).

    Paso 5. Resuelve la ecuación. Combina términos similares. Resta tres de cada lado. Divide cada lado por tres.
    Paso 6. Chequear. \(\begin{align*} −19+(−18)+(−17) & =−54 \\ −54 & =−54✓ \end{align*}\)  
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los tres enteros consecutivos son −17, −18 y −19.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es \(−96\).

    Contestar

    \(−33,−32,−31\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma es \(−36\).

    Contestar

    \(−13,−12,−11\)

    Ahora que hemos trabajado con enteros consecutivos, ampliaremos nuestro trabajo para incluir enteros pares consecutivos y enteros impares consecutivos . Los enteros pares consecutivos son enteros pares que inmediatamente se suceden entre sí. Ejemplos de enteros pares consecutivos son:

    \[24, 26, 28\nonumber\]

    \[−12,−10,−8\nonumber\]

    Observe que cada entero es dos más que el número que lo precede. Si llamamos al primero \(n,\) entonces el siguiente es \(n+2\). El que después de eso sería \(n+2+2\) o \(n+4\).

    \[\begin{array}{ll} n & 1^{\text{st}} \text{integer} \\ n+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; & 2^{\text{nd}}\text{consecutive integer} \\ n+2 & 3^{\text{rd}}\text{consecutive integer} \;\;\;\;\;\;\;\; \text{etc.} \end{array}\nonumber\]

    Los enteros impares consecutivos son enteros impares que inmediatamente se suceden entre sí. Considere los enteros impares consecutivos 63, 65 y 67.

    \[63, 65, 67\nonumber\]

    \[n,n+2,n+4\nonumber\]

    \[\begin{array}{ll} n & 1^{\text{st}} \text{integer} \\ n+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; & 2^{\text{nd}}\text{consecutive integer} \\ n+2 & 3^{\text{rd}}\text{consecutive integer} \;\;\;\;\;\;\;\; \text{etc.} \end{array}\nonumber\]

    ¿Parece extraño tener que sumar dos (un número par) para obtener el siguiente número impar? ¿Obtenemos un número impar o un número par cuando sumamos 2 a 3? a 11? al 47?

    Ya sea que el problema pida números pares consecutivos o números impares, no tienes que hacer nada diferente. El patrón sigue siendo el mismo: para llegar al siguiente impar o al siguiente entero par, suma dos.

    EJEMPL \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma es \(120\).

    Solución:

    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. tres enteros pares consecutivos
    Paso 3. Nombracada uno de los tres números

    Vamos \(n = 1^{\text{st}} \text{consecutive even integer}\).

    \(n + 2 = 2^{\text{nd}} \text{consecutive even integer}\).

    \(n + 4 = 3^{\text{rd}} \text{consecutive even integer}\).

    Paso 4. Traducir.

    Reafirmar como una sola frase.

    Traduciren una ecuación.

    La suma de los tres enteros pares es 120

    \(n + n + 2 + n + 4 = 120\)

    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Combina términos similares.

    Resta tres de cada lado.

    Divide cada lado por tres.

    \(n + n + 2 + n + 4 = 120\)

    \(\begin{aligned} &{3n+6=120} \\ &{3n=114} \\ &{n=38} &{1^\text{st} \text{integer}}\end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} &{n+2} & &{2^\text{nd} \text{integer}}\\ &{38+2} \\ &{40} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} &{n+2} & &{3^\text{rd} \text{integer}}\\ &{38+4} \\ &{42} \end{aligned}\)

    Paso 6. Chequear. \(\begin{align*} 38 + 40 + 42 &\overset{?}{=} &120 \nonumber\\ 120 &=& 120 &✓ \nonumber\end{align*}\)  
    Paso 7. Contesta la pregunta. Los tres enteros consecutivos son 38, 40 y 42.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{9}\)

    Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma es 102.

    Contestar

    \(32, 34, 36\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma es \(−24\).

    Contestar

    \(−10,−8,−6\)

    Cuando un problema numérico está en un contexto de la vida real, seguimos utilizando las mismas estrategias que usamos para los ejemplos anteriores.

    EJEMPL \(\PageIndex{6}\)

    Una pareja casada gana 110.000 dólares al año. La esposa gana 16 mil dólares menos del doble de lo que gana su esposo. ¿Qué gana el esposo?

    Solución:

    Paso 1. Leeel problema.  
    Paso 2. Identificalo que estás buscando. ¿Cuánto gana el esposo?
    Paso 3. Nombracada uno de los tres números

    Vamos \(h=\text{the amount the husband earns}\).

    Paso 4. Traducir.

    Reafirmar el problema en una sola frase con toda la información importante.

    Traduciren una ecuación.

    \(2h−16,000=\text{the amount the wife earns}.\) Juntos el esposo y la esposa ganan 110 mil dólares.

    \(h+2h−16,000=110,000\)

    Paso 5. Resuelve la ecuación.

    Combina términos similares.

    Agregue 16,000 a ambos lados y simplifique.

    Divide cada lado por tres.

    \(h+2h−16,000=110,000\)

    \(\begin{aligned} &{3h−16,000=110,000} \\ &{3h=126,000} \\ &{h=42,000} &{\text{amount husband earns}} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} &{2h−16,000} &{\text{ amount wife earns}} \\ &{2(42,000)−16,000} \\ &{84,000−16,000} \\ &{68,000} \end{aligned}\)

    Paso 6. Chequear. Sila esposa gana 68 mil dólares y el esposo 42 mil, ¿son 110.000 dólares? ¡Sí!  
    Paso 7. Contesta la pregunta. El esposo gana 42 mil dólares al año.
     

    De acuerdo con la Asociación Nacional de Concesionarios de Automóviles, el costo promedio de un automóvil en 2014 fue de 28,400 dólares. Esto fue de 1.600 dólares menos que seis veces el costo en 1975. ¿Cuál fue el costo promedio de un automóvil en 1975?

    Contestar

    El costo promedio fue de $5,000.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{11}\)

    Los datos del Censo de Estados Unidos muestran que el precio medio del nuevo hogar en Estados Unidos en noviembre de 2014 fue de 280.900 dólares. Esto fue $10,700 más de 14 veces el precio en noviembre de 1964. ¿Cuál fue el precio medio de un nuevo hogar en noviembre de 1964?

    Contestar

    El precio medio fue de $19,300.

    Resolver aplicaciones porcentual

    Existen varios métodos para resolver ecuaciones por ciento. En álgebra, es más fácil si solo traducimos oraciones en inglés a ecuaciones algebraicas y luego resolvemos las ecuaciones. Asegúrate de cambiar el porcentaje dado a un decimal antes de usarlo en la ecuación.

    EJEMPL \(\PageIndex{7}\)

    Traducir y resolver:

    1. ¿Qué número es 45% de 84?
    2. ¿8.5% de qué cantidad es $4.76?
    3. 168 es ¿qué por ciento del 112?

    Solución:

    a.

     
    Traducir en álgebra. Let n = el número.
    Multiplicar.
      37.8 es 45% de 84.

    b.

     
    Traducir. Deja que \(n =\) la cantidad.
    Multiplicar.
    Divida ambos lados por 0.085 y simplifique.
      8.5% de $56 es $4.76

    c.

    Se nos pide encontrar por ciento, por lo que debemos tener nuestro resultado en porcentaje de forma.
    Traducir en álgebra. Deja que \(p = \) el por ciento.
    Multiplicar.
    Divida ambos lados por 112 y simplifique.
    Convertir a porcentaje.
      168 es 150% de 112.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{12}\)

    Traducir y resolver:

    1. ¿Qué número es 45% de 80?
    2. ¿7.5% de qué cantidad es $1.95?
    3. 110 es ¿qué por ciento de 88?
    Contestar

    a. 36 b. $26 c. \(125 \% \)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{13}\)

    Traducir y resolver:

    1. ¿Qué número es 55% de 60?
    2. ¿8.5% de qué cantidad es $3.06?
    3. 126 es ¿qué por ciento de 72?
    Contestar

    a. 33 b. $36 c. \(175 \% \)

    Ahora que tenemos una estrategia de resolución de problemas a la que referirnos, y hemos practicado resolver ecuaciones básicas por ciento, estamos listos para resolver aplicaciones por ciento. Asegúrate de preguntarte si tu respuesta final tiene sentido, ya que muchas de las aplicaciones que resolveremos involucran situaciones cotidianas, puedes confiar en tu propia experiencia.

    EJEMPL \(\PageIndex{8}\)

    En la etiqueta del yogur de Audrey se decía que una porción proporcionó 12 gramos de proteína, que es 24% de la cantidad diaria recomendada. ¿Cuál es la cantidad diaria total recomendada de proteína?

    Solución:

    ¿Qué se te pide encontrar? ¿Qué cantidad total de proteína se recomienda?
    Elija una variable para representarla. Deja que la cantidad \(a=\) total de proteína.
    Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
    Traducir en una ecuación.
    Resolver.
    Consulta: ¿Tiene esto sentido? Sí, 24% es aproximadamente \(\frac{1}{4}\) del total y 12 es alrededor \(\frac{1}{4}\) de 50.  
    Escribe una oración completa para responder la pregunta. La cantidad de proteína que se recomienda es de 50 g.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{14}\)

    Una porción de cereal cuadrado de trigo tiene 7 gramos de fibra, que es 28% de la cantidad diaria recomendada. ¿Cuál es la cantidad diaria total recomendada de fibra?

    Contestar

    25 gramos

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{15}\)

    Una porción de cereal de arroz tiene 190 mg de sodio, que es 8% de la cantidad diaria recomendada. ¿Cuál es la cantidad diaria total recomendada de sodio?

    Contestar

    2,375 mg

    Recuerda poner la respuesta en el formulario solicitado. En el siguiente ejemplo estamos buscando el por ciento.

    EJEMPL \(\PageIndex{9}\)

    Verónica está planeando hacer muffins a partir de una mezcla. El paquete dice que cada muffin será de 240 calorías y 60 calorías serán de grasa. ¿Cuál por ciento de las calorías totales proviene de la grasa?

    Solución:

    ¿Qué se te pide encontrar? ¿Cuál por ciento de las calorías totales es la grasa?
    Elija una variable para representarla. Deja \(p=\) por ciento de grasa.
    Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
    Traducir la oración en una ecuación.
    Multiplicar.
    Divida ambos lados por 240.
    Ponerse en forma de porcentaje.
    Check: ¿esto tiene sentido? Sí, \(25 \% \) es un cuarto; 60 es un cuarto de 240. Entonces, tiene \(25 \%\) sentido.  
    Escribe una oración completa para responder la pregunta. Del total de calorías en cada muffin, \(25 \%\) es grasa.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{16}\)

    Mitzi recibió como regalo unos brownies gourmet. El envoltorio dijo que cada brownie 28% era de 480 calorías, y tenía 240 calorías de grasa. ¿Cuál por ciento de las calorías totales en cada brownie proviene de la grasa? Redondee la respuesta al porcentaje entero más cercano.

    Contestar

    50%

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{17}\)

    El mix que Ricardo planea usar para hacer brownies dice que cada brownie será de 190 calorías, y 76 calorías son de grasa. ¿Qué porcentaje de las calorías totales provienen de la grasa? Redondee la respuesta al porcentaje entero más cercano.

    Contestar

    40%

    A menudo es importante en muchos campos —negocios, ciencias, cultura pop— hablar de cuánto ha aumentado o disminuido una cantidad durante un cierto período de tiempo. Este aumento o disminución generalmente se expresa como un porcentaje y se denomina cambio porcentual.

    Para encontrar el porcentaje de cambio, primero encontramos la cantidad de cambio, encontrando la diferencia de la nueva cantidad y la cantidad original. Entonces encontramos qué porcentaje es la cantidad de cambio de la cantidad original.

    ENCUENTRA EL CAMBIO
    1. Encuentra la cantidad de cambio.

      \[\text{change}= \text{new amount}−\text{original amount}\]

    2. Encuentra qué porcentaje es la cantidad de cambio de la cantidad original.

      cambio es ¿qué porcentaje de la cantidad original?

    EJEMPL \(\PageIndex{10}\)

    Recientemente, el gobernador de California propuso elevar las cuotas de los colegios comunitarios de 36 dólares la unidad a 46 dólares la unidad. Encuentra el porcentaje de cambio. (Redondea al décimo de un por ciento más cercano.)

    Solución:

    Encuentra la cantidad de cambio. \(46−36=10\)
    Encuentra el por ciento. Cambio es ¿qué porcentaje de la cantidad original?
    Deja que \(p=\) el por ciento.
    Traducir a una ecuación.
    Simplificar. \(10=36 p\)
    Divida ambos lados por 36. \(0.278 \approx p\)
    Cambiar a porcentaje de forma; redondear a la décima más cercana \(27.8 \% \approx p\)
    Escribe una oración completa para responder la pregunta. Los nuevos honorarios son aproximadamente un \(27.8 \% \) aumento sobre los honorarios antiguos.
    Recuerda redondear la división a la milésima más cercana para redondear el por ciento a la décima más cercana.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{18}\)

    Encuentra el porcentaje de cambio. (Redondea al décimo de un por ciento más cercano.) En 2011, el IRS incrementó el costo de kilometraje deducible a 55.5 centavos de 51 centavos.

    Contestar

    \(8.8 \% \)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{19}\)

    Encuentra el porcentaje de cambio. (Redondea al décimo de un por ciento más cercano.) En 1995, la tarifa estándar de autobús en Chicago era de 1,50 dólares. En 2008, la tarifa estándar de autobús fue de 2.25.

    Contestar

    \(50%\)

    Las aplicaciones de descuento y mark-up son muy comunes en entornos minoristas.

    Cuando compras un artículo a la venta, el precio original se ha descontado en alguna cantidad en dólares. La tasa de descuento, generalmente dada como porcentaje, se utiliza para determinar el monto del descuento. Para determinar el monto del descuento, multiplicamos la tasa de descuento por el precio original.

    El precio que paga un minorista por un artículo se llama costo original. El minorista luego agrega un margen al costo original para obtener el precio de lista , el precio por el que vende el artículo. El margen de beneficio generalmente se calcula como un porcentaje del costo original. Para determinar la cantidad de margen de beneficio, multiplique la tasa de margen por el costo original.

    DESCUENTO

    \[ \begin{align*} \text{amount of discount} &= \text{discount rate}· \text{original price} \\ \text{sale price} &= \text{original amount}– \text{discount price} \end{align*}\]

    El precio de venta siempre debe ser menor que el precio original.

    MARK-UP

    \[\begin{align*} \text{amount of mark-up} &= \text{mark-up rate}·\text{original price} \\ \text{list price} &= \text{original cost}–\text{mark-up} \end{align*}\]

    El precio de lista siempre debe ser superior al costo original.

    EJEMPL \(\PageIndex{11}\)

    La galería de arte de Liam compró un cuadro a un costo original de 750 dólares. Liam marcó el precio al alza 40%. Encuentra

    1. la cantidad de margen de beneficio y
    2. el precio de lista de la pintura.

    Solución:

    a.

    Identifique lo que se le pide que encuentre, y elija una variable para representarlo. ¿Cuál es la cantidad de margen de beneficio? Deja que \(m=\) la cantidad de margen de beneficio.
    Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
    Traducir en una ecuación.
    Resuelve la ecuación.
    Escribe una oración completa. El margen de beneficio en el cuadro fue de 300 dólares.
    b.
    Identifique lo que se le pide que encuentre, y elija una variable para representarlo. ¿Cuál es el precio de lista? Deje que \(p=\) el precio de lista.
    Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
    Traducir en una ecuación.
    Resuelve la ecuación.
    Chequear. ¿El precio de lista es más que el costo original? ¿Es $1,050 más que $750? Sí.
    Escribe una oración completa. El precio de lista del cuadro fue de $1,050.
    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{20}\)

    Encuentra a. la cantidad de margen de beneficio y b. el precio de lista: La tienda de música de Jim's compró una guitarra al costo original $1,200. Jim marcó el precio al alza 50%.

    Contestar

    a. $600 b. $1,800

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{21}\)

    Encuentra a. la cantidad de margen de beneficio y b. el precio de lista: The Auto Resale Store compró Pablo's Toyota por $8,500. Marcaron el precio al alza 35%.

    Contestar

    a. $2,975 b. $11,475

    Resolver aplicaciones de interés simples

    El interés forma parte de nuestra vida cotidiana. Desde los intereses devengados por nuestros ahorros hasta los intereses que pagamos por un préstamo de automóvil o deuda de tarjeta de crédito, todos tenemos cierta experiencia con intereses en nuestras vidas.

    El monto de dinero que inicialmente depositas en un banco se llama principal\(P,\) y el banco te paga intereses, \(I.\) Cuando tomas un préstamo, pagas intereses sobre la cantidad que pides prestado, también llamado principal.

    En cualquiera de los casos, el interés se calcula como un cierto porcentaje del principal, denominado tasa de interés\(r.\) La tasa de interés suele expresarse como un porcentaje anual, y se calcula utilizando el equivalente decimal del por ciento. La variable \(t,\) (por tiempo) representa el número de años en que se ahorra o toma prestado el dinero.

    El interés se calcula como interés simple o interés compuesto. Aquí usaremos interés simple.

    INTERÉS SIMPLE

    Si una cantidad de dinero, \(P,\) llamada principal, es invertida o prestada por un periodo de \(t\) años a una tasa de interés anual, \(r,\) el monto de los intereses, \(I,\) devengados o pagados es

    \[ \begin{array}{ll} I=Prt \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \text{where} & { \begin{align*} I &= \text{interest} \\ P &= \text{principal} \\ r &= \text{rate} \\ t &= \text{time} \end{align*}} \end{array}\]

    Los intereses ganados o pagados de acuerdo a esta fórmula se denominan intereses simples.

    La fórmula que utilizamos para calcular los intereses es \(I=Prt\). Para utilizar la fórmula sustituimos en los valores por las variables que se dan, y luego resolvemos por la variable desconocida. Puede ser útil organizar la información en un gráfico.

    EJEMPL \(\PageIndex{12}\)

    Areli invirtió un principal de 950 dólares en su cuenta bancaria que obtuvo intereses simples a una tasa de interés del 3%. ¿Cuánto interés ganó en cinco años?

    Solución:

    \( \begin{aligned} I & = \; ? \\ P & = \; \$ 950 \\ r & = \; 3 \% \\ t & = \; 5 \text{ years} \end{aligned}\)

    \(\begin{array}{ll} \text{Identify what you are asked to find, and choose a} & \text{What is the simple interest?} \\ \text{variable to represent it.} & \text{Let } I= \text{interest.} \\ \text{Write the formula.} & I=Prt \\ \text{Substitute in the given information.} & I=(950)(0.03)(5) \\ \text{Simplify.} & I=142.5 \\ \text{Check.} \\ \text{Is } \$142.50 \text{ a reasonable amount of interest on } \$ \text{ 950?} \; \;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \\ \text{Yes.} \\ \text{Write a complete sentence.} & \text{The interest is } \$ \text{142.50.} \end{array}\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{22}\)

    Nathaly depositó 12,500 dólares en su cuenta bancaria donde ganará 4% de intereses simples. ¿Cuánto interés ganará Nathaly en cinco años?

    Contestar

    Ganará 2.500 dólares.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{23}\)

    Susana invirtió un principal de 36.000 dólares en su cuenta bancaria que obtuvo intereses simples a una tasa de interés de 6.5%. ¿Cuánto interés ganó en tres años?

    Contestar

    Ella ganó $7,020.

    Puede haber ocasiones en las que sepamos la cantidad de intereses devengados sobre un principal dado durante cierto período de tiempo, pero desconocemos la tasa.

    EJEMPL \(\PageIndex{13}\)

    Hang pidió prestado $7,500 a sus padres para pagar su colegiatura. En cinco años, les pagó $1,500 intereses además de los $7,500 que pidió prestado. ¿Cuál fue la tasa de interés simple?

    Solución:

    \( \begin{aligned} I & = \; \$ 1500 \\ P & = \; \$ 7500 \\ r & = \; ? \\ t & = \; 5 \text{ years} \end{aligned}\)

    \ (\ text {Identifica lo que se te pide encontrar,}\ qquad\ quad\ text {¿Qué es la tasa de interés simple?} \\
    \ comience {align*}
    &\ text {y elija una variable para representarla.} &\ text {Vamos} r\; &=\;\ text {tasa de interés}\\
    &\ text {Escribe la fórmula.} & I\; &=\; Prt\\
    &\ text {Sustituir en la información dada.} & 1,500\; &=\; (7,500) r (5)\\
    &\ texto {Multiplicar.} & 1,500\; &=\; 37,500r\\
    &\ text {Dividir.} & 0.04\; &=\; r\\
    &\ text {Cambiar a forma de porcentaje} & r\; &=\; 4\%
    \ end {align*}\)

    Chequear.

    \ (\ begin {align*} I\; &=\; Prt\\
    1,500\; &\ stackrel {?} {=}\; (7,500) (0.04) (5)\\
    1,500\; &=\; 1,500 ✓\ end {align*}\)

    Escribe una oración completa. La tasa de interés fue \(4\%.\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{24}\)

    Jim prestó a su hermana 5.000 dólares para ayudarla a comprar una casa. En tres años, ella le pagó los 5.000 dólares, más 900 dólares de interés. ¿Cuál fue la tasa de interés simple?

    Contestar

    La tasa de interés simple fue de 6%.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{25}\)

    Loren prestó a su hermano 3.000 dólares para ayudarlo a comprar un auto. En cuatro años, su hermano le devolvió los $3,000 más $660 en intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés simple?

    Contestar

    La tasa de interés simple fue de 5.5%.

    En el siguiente ejemplo, se nos pide encontrar el principal, la cantidad prestada.

    EJEMPL \(\PageIndex{14}\)

    El nuevo estado de préstamo para automóviles de Sean dijo que pagaría $4,866,25 en intereses a partir de una tasa de interés simple de 8.5% en cinco años. ¿Cuánto le pidió prestado para comprar su auto nuevo?

    Solución:

    \( \begin{aligned} I & = \; 4,866.25 \\ P & = \; ? \\ r & = \; 8.5 \% \\ t & = \; 5 \text{ years} \end{aligned}\)

    \ (\ text {Identifica lo que se te pide encontrar,}\ qquad\ quad\ text {¿Cuál es la cantidad prestada (el principal)?} \\
    \ comience {align*}
    &\ text {y elija una variable para representarla.} &\ text {Vamos} P\; &=\;\ text {principal prestado}\\
    &\ text {Escribe la fórmula.} & I\; &=\; Prt\\
    &\ text {Sustituir en la información dada.} & 4,866.25\; &=\; P (0.085) (5)\\
    &\ text {Multiplicar.} & 4,866.25\; &=\; 0.425P\\
    &\ text {Dividir.} & 11,450\; &=\; P
    \ end {align*}\)

    Chequear.

    \ (\ begin {align*} I\; &=\; Prt\\
    4,866.25\; &\ stackrel {?} {=}\; (11,450) (0.085) (5)\\
    4,866.25\; &=\; 4,866.25 ✓\ end {align*}\)

    Escribe una oración completa. El director fue \($11,450.\)

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{26}\)

    Eduardo notó que sus nuevos papeles de préstamo para autos afirmaban que con una tasa de interés simple del 7.5%, pagaría $6,596.25 en intereses a lo largo de cinco años. ¿Cuánto le pidió prestado para pagar su auto?

    Contestar

    Pagó $17,590.

    ¡ Pruébalo! \(\PageIndex{27}\)

    En cinco años, la cuenta bancaria de Gloria ganó 2.400 dólares de interés al 5% de interés simple. ¿Cuánto había depositado en la cuenta?

    Contestar

    Ella depositó 9,600 dólares.

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con el uso de una estrategia de resolución de problemas.

    • Comienzan problemas aritméticos

    Conceptos Clave

    • Cómo utilizar una estrategia de resolución de problemas para problemas de palabras
      1. Lee el problema. Asegúrate de que todas las palabras e ideas sean entendidas.
      2. Identifica lo que estás buscando.
      3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
      4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil replantear el problema en una sola frase con toda la información importante. Después, traduce la oración inglesa en una ecuación de álgebra.
      5. Resolver la ecuación utilizando técnicas de álgebra adecuadas.
      6. Consulta la respuesta en el problema para asegurarte de que tenga sentido.
      7. Contesta la pregunta con una frase completa.
    • Cómo encontrar el cambio porcentual
      1. Encuentra la cantidad de cambio

        \(\text{change}=\text{new amount}−\text{original amount}\)

      2. Encuentra qué porcentaje es la cantidad de cambio de la cantidad original.

        \(\text{change is what percent of the original amount?}\)

    • \( \begin{align*} \text{amount of discount} &= \text{discount rate}· \text{original price} \\ \text{sale price} &= \text{original amount}– \text{discount price} \end{align*}\)
    • \(\begin{align*} \text{amount of mark-up} &= \text{mark-up rate}·\text{original price} \\ \text{list price} &= \text{original cost}–\text{mark-up} \end{align*}\)
    • Si una cantidad de dinero, \(P,\) llamada principal, se invierte o toma prestada por un periodo de t años a una tasa de interés anual \(r,\) el monto de los intereses, \(I,\) devengados o pagados es: \[\begin{aligned} &{} &{} &{I=interest} \nonumber\\ &{I=Prt} &{\text{where} \space} &{P=principal} \nonumber\\ &{} &{\space} &{r=rate} \nonumber\\ &{} &{\space} &{t=time} \nonumber \end{aligned}\]

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