4.6: Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices
Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones
- Usar operaciones de fila en una matriz
- Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
Escribir la Matriz Aumentada para un Sistema de Ecuaciones
Resolver un sistema de ecuaciones puede ser una operación tediosa donde un simple error puede causar estragos en la búsqueda de la solución. Se dispone de un método alternativo que utiliza los procedimientos básicos de eliminación pero con una notación más sencilla. El método implica el uso de una matriz . Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz con m filas y n columnas tiene orden \(m\times n\) . La matriz de la izquierda abajo tiene 2 filas y 3 columnas y por lo tanto tiene orden \(2\times 3\) . Decimos que es una matriz de 2 por 3.
Cada número en la matriz se denomina elemento o entrada en la matriz.
Utilizaremos una matriz para representar un sistema de ecuaciones lineales. Escribimos cada ecuación en forma estándar y los coeficientes de las variables y la constante de cada ecuación se convierte en una fila en la matriz. Cada columna entonces serían los coeficientes de una de las variables en el sistema o las constantes. Una línea vertical reemplaza a los signos iguales. Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.
Observe que la primera columna está compuesta por todos los coeficientes de x , la segunda columna es el todos los coeficientes de y , y la tercera columna son todas las constantes.
ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y=−1 \\ y=2x−2 \end{array} \right. \) ⓑ \( \left\{ \begin{array} {l} 6x−5y+2z=3 \\ 2x+y−4z=5 \\ 3x−3y+z=−1 \end{array} \right. \)
- Responder
-
ⓐ La segunda ecuación no está en forma estándar. Reescribimos la segunda ecuación en forma estándar.
\[\begin{aligned} y=2x−2 \\ −2x+y=−2 \end{aligned} \nonumber\]
Sustituimos la segunda ecuación por su forma estándar. En la matriz aumentada, la primera ecuación nos da la primera fila y la segunda ecuación nos da la segunda fila. La línea vertical reemplaza a los signos iguales.
ⓑ Las tres ecuaciones están en forma estándar. En la matriz aumentada la primera ecuación nos da la primera fila, la segunda ecuación nos da la segunda fila, y la tercera ecuación nos da la tercera fila. La línea vertical reemplaza a los signos iguales.
Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada:
ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y=−3 \\ 2x=−5y−3 \end{array} \right. \) ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y+3z=8 \\ 3x−y+4z=7 \\ x+3y+2z=−3 \end{array} \right. \)
- Responder
-
ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 3 &8 &-3 \\ 2 &5 &−3 \end{matrix} \right] \)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 2 &3 &1 &−5 \\ −1 &3 &3 &4 \\ 2 &8 &7 &−3 \end{matrix} \right] \)
Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada:
ⓐ \(\left\{ \begin{array} {l} 11x=−9y−5 \\ 7x+5y=−1 \end{array} \right. \) ⓑ \(\left\{ \begin{array} {l} 5x−3y+2z=−5 \\ 2x−y−z=4 \\ 3x−2y+2z=−7 \end{array} \right. \)
- Responder
-
ⓐ \(\left[ \begin{matrix} 11 &9 &−5 \\ 7 &5 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓑ \(\left[ \begin{matrix} 5 &−3 &2 &−5 \\ 2 &−1 &−1 &4 \\ 3 &−2 &2 &−7 \end{matrix} \right] \)
Es importante ya que resolvemos sistemas de ecuaciones utilizando matrices para poder ir y venir entre el sistema y la matriz. El siguiente ejemplo nos pide tomar la información en la matriz y escribir el sistema de ecuaciones.
Escriba el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada:
\(\left[ \begin{array} {ccc|c} 4 &−3 &3 &−1 \\ 1 &2 &−1 &2 \\ −2 &−1 &3 &−4 \end{array} \right] \) .
- Responder
-
Recordamos que cada fila corresponde a una ecuación y que cada entrada es un coeficiente de una variable o la constante. La línea vertical reemplaza al signo igual. Dado que esta matriz es a \(4\times 3\) , sabemos que se traducirá en un sistema de tres ecuaciones con tres variables.
Escribir el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada: \(\left[ \begin{matrix} 1 &−1 &2 &3 \\ 2 &1 &−2 &1 \\ 4 &−1 &2 &0 \end{matrix} \right] \) .
- Responder
-
\(\left\{ \begin{array} {l} x−y+2z=3 \\ 2x+y−2z=1 \\ 4x−y+2z=0 \end{array} \right.\)
Escribir el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz aumentada: \(\left[ \begin{matrix} 1 &1 &1 &4 \\ 2 &3 &−1 &8 \\ 1 &1 &−1 &3 \end{matrix} \right] \) .
- Responder
-
\(\left\{ \begin{array} {l} x+y+z=4 \\ 2x+3y−z=8 \\ x+y−z=3 \end{array} \right.\)
Usar operaciones de fila en una matriz
Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada, realizaremos operaciones en las filas que nos llevarán a la solución.
Para resolver por eliminación, no importa en qué orden coloquemos las ecuaciones en el sistema. De igual manera, en la matriz podemos intercambiar las filas.
Cuando resolvemos por eliminación, muchas veces multiplicamos una de las ecuaciones por una constante. Dado que cada fila representa una ecuación, y podemos multiplicar cada lado de una ecuación por una constante, de manera similar podemos multiplicar cada entrada en una fila por cualquier número real excepto 0.
En la eliminación, a menudo agregamos un múltiplo de una fila a otra fila. En la matriz podemos reemplazar una fila con su suma por un múltiplo de otra fila.
Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.
En una matriz, las siguientes operaciones se pueden realizar en cualquier fila y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.
- Intercambie dos filas cualesquiera.
- Multiplica una fila por cualquier número real excepto 0.
- Agregue un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.
Realizar estas operaciones es fácil de hacer pero toda la aritmética puede resultar en un error. Si utilizamos un sistema para registrar la operación de fila en cada paso, es mucho más fácil volver atrás y revisar nuestro trabajo.
Utilizamos letras mayúsculas con subíndices para representar cada fila. A continuación mostramos la operación a la izquierda de la nueva matriz. Para mostrar el intercambio de una fila:
Para multiplicar la fila 2 por \(−3\) :
Para multiplicar la fila 2 por \(−3\) y agregarla a la fila 1:
Realizar las operaciones indicadas en la matriz aumentada:
ⓐ Intercambie las filas 2 y 3.
ⓑ Multiplica la fila 2 por 5.
ⓒ Multiplica la fila 3 por −2−2 y agrega a la fila 1.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{array} \right] \)
- Responder
-
ⓐ Intercambiamos las filas 2 y 3.
ⓑ Multiplicamos la fila 2 por 5.
ⓒ Multiplicamos la fila 3 por \(−2\) y agregamos a la fila 1.
Realizar las operaciones indicadas en la matriz aumentada:
ⓐ Intercambie las filas 1 y 3.
ⓑ Multiplica la fila 3 por 3.
ⓒ Multiplica la fila 3 por 2 y agrega a la fila 2.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 5 &−2 &-2 &-2 \\ 4 &-1 &−4 &4 \\ -2 &3 &0 &−1 \end{array} \right] \)
- Responder
-
ⓐ \( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 5 &−2 &−2 &−2 \end{matrix} \right] \)
ⓑ \( \left[ \begin{matrix} −2 &3 &0 &−2 \\ 4 &−1 &−4 &4 \\ 15 &−6 &−6 &−6 \end{matrix} \right] \)
ⓒ \( \left[ \begin{matrix} -2 &3 &0 &2 & \\ 3 &4 &-13 &-16 &-8 \\ 15 &-6 &-6 &-6 & \end{matrix} \right] \)
Realizar las operaciones indicadas en la matriz aumentada:
ⓐ Intercambiar filas 1 y 2,
ⓑ Multiplica la fila 1 por 2,
ⓒ Multiplica la fila 2 por 3 y agrega a la fila 1.
\( \left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−3 &−2 &−4 \\ 4 &1 &−3 &2 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{array} \right] \)
- Responder
-
ⓐ \( \left[ \begin{matrix} 4 &1 &−3 &2 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓑ \( \left[ \begin{matrix} 8 &2 &−6 &4 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
ⓒ \( \left[ \begin{matrix} 14 &−7 &−12 &−8 \\ 2 &−3 &−2 &−4 \\ 5 &0 &4 &−1 \end{matrix} \right] \)
Ahora que hemos practicado las operaciones de fila, veremos una matriz aumentada y veremos qué operación usaremos para alcanzar una meta. Esto es exactamente lo que hicimos cuando hicimos eliminación. Decidimos por qué número multiplicar una fila para que se eliminara una variable al sumar las filas juntas.
Dado este sistema, ¿qué harías para eliminar x ?
Este siguiente ejemplo esencialmente hace lo mismo, pero a la matriz.
Realice la operación de fila necesaria que conseguirá que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: \( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 4 &−8 &0 \end{array} \right] \)
- Responder
-
Para hacer el 4 a 0, podríamos multiplicar la fila 1 por \(−4\) y luego agregarla a la fila 2.
Realice la operación de fila necesaria que conseguirá que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: \( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &2 \\ 3 &−6 &2 \end{array} \right] \)
- Responder
-
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &2 \\ 0 &−3 &−4 \end{matrix} \right] \)
Realice la operación de fila necesaria que conseguirá que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: \( \left[ \begin{array} {cc|c} 1 &−1 &3 \\ -2 &−3 &2 \end{array} \right] \)
- Responder
-
\( \left[ \begin{matrix} 1 &−1 &3 \\ 0 &−5 &8 \end{matrix} \right] \)
Resolver sistemas de ecuaciones usando matrices
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma de escalón de filas utilizando operaciones de fila. Para un sistema consistente e independiente de ecuaciones, su matriz aumentada está en forma de escalón de filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.
Para un sistema consistente e independiente de ecuaciones, su matriz aumentada está en forma de escalón de filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.
Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma de escalón de filas, podemos escribir el sistema equivalente de ecuaciones y leer el valor de al menos una variable. Luego sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo por las otras variables. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y=5 \\ x+2y=1 \end{array} \right. \)
- Responder
-
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=7 \\ x−2y=6 \end{array} \right. \)
- Responder
-
La solución es \((4,−1)\) .
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−4 \\ x−y=−2 \end{array} \right. \)
- Responder
-
La solución es \((−2,0)\) .
Aquí se resumen los pasos.
- Escribir la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.
- Usando operaciones de fila obtener la entrada en la fila 1, columna 1 para ser 1.
- Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1.
- Usando operaciones de fila, obtener la entrada en la fila 2, columna 2 para ser 1.
- Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma de escalón de filas.
- Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente.
- Utilice la sustitución para encontrar las variables restantes.
- Escriba la solución como un par ordenado o triple.
- Verifique que la solución haga verdaderas las ecuaciones originales.
Aquí hay un visual para mostrar el orden para obtener los 1's y 0's en la posición adecuada para la forma de escalón de fila.
Utilizamos el mismo procedimiento cuando el sistema de ecuaciones tiene tres ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+8y+2z=−5 \\ 2x+5y−3z=0 \\ x+2y−2z=−1 \end{array} \right. \)
- Responder
-
Escribir la matriz aumentada para las ecuaciones. Intercambie la fila 1 y 3 para obtener la entrada en la
fila 1, la columna 1 para ser 1.Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1. La entrada en la fila 2, columna 2 es ahora 1. Continúe el proceso hasta que la matriz
esté en forma de escalón de filas.La matriz está ahora en forma de escalones de filas. Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilice la sustitución para encontrar las variables restantes.
Escriba la solución como un par ordenado o triple. Verifique que la solución haga verdaderas las ecuaciones originales. Te dejamos el cheque.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y+3z=8 \\ 3x−y+4z=7 \\ x+3y+2z=−3 \end{array} \right. \)
- Responder
-
\((6,−1,−3)\)
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} −3x+y+z=−4 \\ −x+2y−2z=1 \\ 2x−y−z=−1 \end{array} \right. \)
- Responder
-
\((5,7,4)\)
Hasta ahora nuestro trabajo con matrices sólo ha sido con sistemas que son consistentes e independientes, lo que significa que tienen exactamente una solución. Veamos ahora qué sucede cuando usamos una matriz para un sistema dependiente o inconsistente.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} x+y+3z=0 \\ x+3y+5z=0 \\ 2x+4z=1 \end{array} \right. \)
- Responder
-
Escribir la matriz aumentada para las ecuaciones. La entrada en la fila 1, columna 1 es 1. Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma de escalón de filas. Multiplica la fila 2 por 2 y agrégala a la fila 3. En este punto, tenemos todos los ceros a la izquierda de la fila 3. Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente. Ya \(0 \neq 1 \) que tenemos una afirmación falsa. Así como cuando resolvimos un sistema usando otros métodos, esto nos dice que tenemos un sistema inconsistente. No hay solución.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} x−2y+2z=1 \\ −2x+y−z=2 \\ x−y+z=5 \end{array} \right. \)
- Responder
-
no hay solución
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} 3x+4y−3z=−2 \\ −2x+3y−z=−1 \\ 2x+y−2z=6 \end{array} \right. \)
- Responder
-
no hay solución
El último sistema era inconsistente y por lo tanto no tenía soluciones. El siguiente ejemplo es dependiente y tiene infinitas soluciones.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} x−2y+3z=1 \\ x+y−3z=7 \\ 3x−4y+5z=7 \end{array} \right. \)
- Responder
-
Escribir la matriz aumentada para las ecuaciones. La entrada en la fila 1, columna 1 es 1. Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma de escalón de filas. Multiplica la fila 2 por \(−2\) y agrégala a la fila 3. En este punto, tenemos todos los ceros en la fila inferior. Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente. Ya \(0=0\) que tenemos una verdadera afirmación. Así como cuando resolvimos por sustitución, esto nos dice que tenemos un sistema dependiente. Hay infinitamente muchas soluciones. Resuelve para y en términos de z en la segunda ecuación. Resuelve la primera ecuación para x en términos de z . Sustituto \(y=2z+2\) . Simplificar. Simplificar. Simplificar. El sistema tiene infinitas soluciones \((x,y,z)\) , donde \(x=z+5;\space y=2z+2;\space z\) está cualquier número real.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} x+y−z=0 \\ 2x+4y−2z=6 \\ 3x+6y−3z=9 \end{array} \right. \)
- Responder
-
infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) , donde \(x=z−3;\space y=3;\space z\) está cualquier número real.
Resolver el sistema de ecuaciones usando una matriz: \(\left\{ \begin{array} {l} x−y−z=1 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x−2y−7z=0 \end{array} \right. \)
- Responder
-
infinitamente muchas soluciones \((x,y,z)\) , donde \(x=5z−2;\space y=4z−3;\space z\) está cualquier número real.
Accede a este recurso en línea para instrucción y práctica adicional con Eliminación Gaussiana.
- Eliminación Gaussiana
Conceptos Clave
-
Matriz:
Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Una matriz con
m
filas y
n
columnas tiene
orden
\(m\times n\)
. La matriz de la izquierda abajo tiene 2 filas y 3 columnas y por lo tanto tiene orden
\(2\times 3\)
. Decimos que es una matriz de 2 por 3.
Cada número en la matriz se llama un elemento o entrada en la matriz. -
Operaciones de Fila:
En una matriz, las siguientes operaciones se pueden realizar en cualquier fila y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.
- Intercambie dos filas cualesquiera
- Multiplica una fila por cualquier número real excepto 0
- Agregar un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila
-
Forma de Fila-Echelon:
Para un sistema consistente e independiente de ecuaciones, su matriz aumentada está en forma de escalón de filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.
-
Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando matrices.
- Escribir la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.
- Usando operaciones de fila obtener la entrada en la fila 1, columna 1 para ser 1.
- Usando operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1.
- Usando operaciones de fila, obtener la entrada en la fila 2, columna 2 para ser 1.
- Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma de escalón de filas.
- Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente.
- Utilice la sustitución para encontrar las variables restantes.
- Escriba la solución como un par ordenado o triple.
- Verifique que la solución haga verdaderas las ecuaciones originales.
Glosario
- matriz
- Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
- forma de escalón de fila
- Una matriz está en forma de escalón de filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.