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# Capítulo 6 Ejercicios de revisión

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicios de revisión de capítulos

### Mayor Factor Común y Factor por Agrupación

Encuentra el mayor factor común de dos o más expresiones

En los siguientes ejercicios, encuentra el mayor factor común.

$$12a^2b^3,\space 15ab^2$$

Contestar

$$3ab^2$$

$$12m^2n^3,42m^5n^3$$

$$15y^3,\space 21y^2,\space 30y$$

Contestar

$$3y$$

$$45x^3y^2,\space 15x^4y,\space 10x^5y^3$$

Factor el mayor factor común de un polinomio

En los siguientes ejercicios, factor el mayor factor común de cada polinomio.

$$35y+84$$

Contestar

$$7(5y+12)$$

$$6y^2+12y−6$$

$$18x^3−15x$$

Contestar

$$3x(6x^2−5)$$

$$15m^4+6m^2n$$

$$4x^3−12x^2+16x$$

Contestar

$$4x(x^2−3x+4)$$

$$−3x+24$$

$$−3x^3+27x^2−12x$$

Contestar

$$−3x(x^2−9x+4)$$

$$3x(x−1)+5(x−1)$$

Factor por Agrupación

En los siguientes ejercicios, factor por agrupación.

$$ax−ay+bx−by$$

Contestar

$$(a+b)(x−y)$$

$$x^2y−xy^2+2x−2y$$

$$x^2+7x−3x−21$$

Contestar

$$(x−3)(x+7)$$

$$4x^2−16x+3x−12$$

$$m^3+m^2+m+1$$

Contestar

$$(m^2+1)(m+1)$$

$$5x−5y−y+x$$

### Factor Trinomios

Factor Trinomios de la Forma $$x^2+bx+c$$

En los siguientes ejercicios, factor cada trinomio de la forma $$x^2+bx+c$$.

$$a^2+14a+33$$

Contestar

$$(a+3)(a+11)$$

$$k^2−16k+60$$

$$m^2+3m−54$$

Contestar

$$(m+9)(m−6)$$

$$x^2−3x−10$$

En los siguientes ejemplos, factor cada trinomio de la forma $$x^2+bxy+cy^2$$.

$$x^2+12xy+35y^2$$

Contestar

$$(x+5y)(x+7y)$$

$$r^2+3rs−28s^2$$

$$a^2+4ab−21b^2$$

Contestar

$$(a+7b)(a−3b)$$

$$p^2−5pq−36q^2$$

$$m^2−5mn+30n^2$$

Contestar

Prime

Trinomios Factoriales de la Forma ax2+bx+cax2+bx+c Usando Ensayo y Error

En los siguientes ejercicios, factor completamente usando ensayo y error.

$$x^3+5x^2−24x$$

$$3y^3−21y^2+30y$$

Contestar

$$3y(y−5)(y−2)$$

$$5x^4+10x^3−75x^2$$

$$5y^2+14y+9$$

Contestar

$$(5y+9)(y+1)$$

$$8x^2+25x+3$$

$$10y^2−53y−11$$

Contestar

$$(5y+1)(2y−11)$$

$$6p^2−19pq+10q^2$$

$$−81a^2+153a+18$$

Contestar

$$−9(9a−1)(a+2)$$

Factor Trinomios de la Forma ax2+bx+cax2+bx+c usando el Método 'ac'

En los siguientes ejercicios, factor.

$$2x^2+9x+4$$

$$18a^2−9a+1$$

Contestar

$$(3a−1)(6a−1)$$

$$15p^2+2p−8$$

$$15x^2+6x−2$$

Contestar

$$(3x−1)(5x+2)$$

$$8a^2+32a+24$$

$$3x^2+3x−36$$

Contestar

$$3(x+4)(x−3)$$

$$48y^2+12y−36$$

$$18a^2−57a−21$$

Contestar

$$3(2a−7)(3a+1)$$

$$3n^4−12n^3−96n^2$$

Factor mediante sustitución

En los siguientes ejercicios, factor usando sustitución.

$$x^4−13x^2−30$$

Contestar

$$(x^2−15)(x^2+2)$$

$$(x−3)^2−5(x−3)−36$$

### Productos especiales de Factor

En los siguientes ejercicios, factor completamente utilizando el patrón de trinomios cuadrados perfectos.

$$25x^2+30x+9$$

Contestar

$$(5x+3)^2$$

$$36a^2−84ab+49b^2$$

$$40x^2+360x+810$$

Contestar

$$10(2x+9)^2$$

$$5k^3−70k^2+245k$$

$$75u^4−30u^3v+3u^2v^2$$

Contestar

$$3u^2(5u−v)^2$$

En los siguientes ejercicios, factor completamente utilizando el patrón de diferencia de cuadrados, si es posible.

$$81r^2−25$$

$$169m^2−n^2$$

Contestar

$$(13m+n)(13m−n)$$

$$25p^2−1$$

$$9−121y^2$$

Contestar

$$(3+11y)(3−11y)$$

$$20x^2−125$$

$$169n^3−n$$

Contestar

$$n(13n+1)(13n−1)$$

$$6p^2q^2−54p^2$$

$$24p^2+54$$

Contestar

$$6(4p^2+9)$$

$$49x^2−81y^2$$

$$16z^4−1$$

Contestar

$$(2z−1)(2z+1)(4z^2+1)$$

$$48m^4n^2−243n^2$$

$$a^2+6a+9−9b^2$$

Contestar

$$(a+3−3b)(a+3+3b)$$

$$x^2−16x+64−y^2$$

Sumas factoriales y diferencias de cubos

En los siguientes ejercicios, factor utilizando completamente las sumas y diferencias de patrón de cubos, si es posible.

$$a^3−125$$

Contestar

$$(a−5)(a^2+5a+25)$$

$$b^3−216$$

$$2m^3+54$$

Contestar

$$2(m+3)(m^2−3m+9)$$

$$81m^3+3$$

### Estrategia General para Factoring Polinomios

Reconocer y utilizar el método apropiado para factorizar completamente un polinomio

En los siguientes ejercicios, factor por completo.

$$24x^3+44x^2$$

Contestar

$$4x^2(6x+11)$$

$$24a^4−9a^3$$

$$16n^2−56mn+49m^2$$

Contestar

$$(4n−7m)^2$$

$$6a^2−25a−9$$

$$5u^4−45u^2$$

Contestar

$$5u^2(u+3)(u−3)$$

$$n^4−81$$

$$64j^2+225$$

Contestar

prime

$$5x^2+5x−60$$

$$b^3−64$$

Contestar

$$(b−4)(b^2+4b+16)$$

$$m^3+125$$

$$2b^2−2bc+5cb−5c^2$$

Contestar

$$(2b+5c)(b−c)$$

$$48x^5y^2−243xy^2$$

$$5q^2−15q−90$$

Contestar

$$5(q+3)(q−6)$$

$$4u^5v+4u^2v^3$$

$$10m^4−6250$$

Contestar

$$10(m−5)(m+5)(m^2+25)$$

$$60x^2y−75xy+30y$$

$$16x^2−24xy+9y^2−64$$

Contestar

$$(4x−3y+8)(4x−3y−8)$$

### Ecuaciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, resuelve.

$$(a−3)(a+7)=0$$

$$(5b+1)(6b+1)=0$$

Contestar

$$b=−\frac{1}{5},\space b=−\frac{1}{6}$$

$$6m(12m−5)=0$$

$$(2x−1)^2=0$$

Contestar

$$x=\frac{1}{2}$$

$$3m(2m−5)(m+6)=0$$

En los siguientes ejercicios, resuelve.

$$x^2+9x+20=0$$

Contestar

$$x=−4,\space x=−5$$

$$y^2−y−72=0$$

$$2p^2−11p=40$$

Contestar

$$p=−\frac{5}{2},p=8$$

$$q^3+3q^2+2q=0$$

$$144m^2−25=0$$

Contestar

$$m=\frac{5}{12},\space m=−\frac{5}{12}$$

$$4n^2=36$$

$$(x+6)(x−3)=−8$$

Contestar

$$x=2,\space x=−5$$

$$(3x−2)(x+4)=12$$

$$16p^3=24p^2+9p$$

Contestar

$$p=0,\space p=\frac{3}{4}$$

$$2y^3+2y^2=12y$$

Resolver ecuaciones con funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, resuelve.

Para la función, $$f(x)=x^2+11x+20$$, ⓐ encontrar cuando $$f(x)=−8$$ ⓑ Usa esta información para encontrar dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

Contestar

$$x=−7$$ o\$$x=−4$$
$$(−7,−8)$$ $$(−4,−8)$$

Para la función, $$f(x)=9x^2−18x+5$$, ⓐ encontrar cuando $$f(x)=−3$$ ⓑ Usa esta información para encontrar dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

En cada función, encuentra: ⓐ los ceros de la función ⓑ las x-intercepciones de la gráfica de la función ⓒ la y-intercepción de la gráfica de la función.

$$f(x)=64x^2−49$$

Contestar

$$x=\frac{7}{8}$$ o $$x=−\frac{7}{8}$$
$$(\frac{7}{8},0),\space (−\frac{7}{8},0)$$$$(0,−49)$$

$$f(x)=6x^2−13x−5$$

En los siguientes ejercicios, resuelve.

El producto de dos números consecutivos es 399. Encuentra los números.

Contestar

Los números son $$−21$$ y $$−19$$ o 19 y 21.

El área de un patio de forma rectangular 432 pies cuadrados. El largo del patio es de 6 pies más que su ancho. Encuentra la longitud y el ancho.

Una escalera se inclina contra la pared de un edificio. La longitud de la escalera es 9 pies más larga que la distancia de la parte inferior de la escalera desde el edificio. La distancia de la parte superior de la escalera llega hasta el costado del edificio es 7 pies más larga que la distancia de la parte inferior de la escalera desde el edificio. Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo formado por la escalera apoyada contra el edificio.

Contestar

Las longitudes son de 8, 15 y 17 pies.

Shruti va a lanzar un balón desde lo alto de un acantilado. Cuando lanza la pelota desde 80 pies sobre el suelo, la función $$h(t)=−16t^2+64t+80$$ modela la altura, h, de la pelota por encima del suelo en función del tiempo, t. Encuentra: ⓐ los ceros de esta función que nos dice cuando la pelota golpeará el suelo. ⓑ el (s) tiempo (s) que la pelota estará a 80 pies sobre el suelo. ⓒ la altura de la pelota estará a $$t=2$$ segundos que es cuando la pelota estará en su punto más alto.

## Prueba de práctica de capítulo

En los siguientes ejercicios, factor por completo.

$$80a^2+120a^3$$

Contestar

$$40a^2(2+3a)$$

$$5m(m−1)+3(m−1)$$

$$x^2+13x+36$$

Contestar

$$(x+7)(x+6)$$

$$p^2+pq−12q^2$$

$$xy−8y+7x−56$$

Contestar

$$(x−8)(y+7)$$

$$40r^2+810$$

$$9s^2−12s+4$$

Contestar

$$(3s−2)^2$$

$$6x^2−11x−10$$

$$3x^2−75y^2$$

Contestar

$$3(x+5y)(x−5y)$$

$$6u^2+3u−18$$

$$x^3+125$$

Contestar

$$(x+5)(x^2−5x+25)$$

$$32x^5y^2−162xy^2$$

$$6x^4−19x^2+15$$

Contestar

$$(3x^2−5)(2x^2−3)$$

$$3x^3−36x^2+108x$$

En los siguientes ejercicios, resuelve

$$5a^2+26a=24$$

Contestar

$$a=\frac{4}{5},\space a=−6$$

El producto de dos enteros consecutivos es 156. Encuentra los enteros.

El área de un tapete rectangular es de 168 pulgadas cuadradas. Su largo es dos pulgadas más largo que el ancho. Encuentra el largo y ancho del mantel individual.

Contestar

El ancho es de 12 pulgadas y el largo es de 14 pulgadas.

Jing va a lanzar una pelota desde el balcón de su condominio. Cuando lanza la pelota desde 80 pies sobre el suelo, la función $$h(t)=−16t^2+64t+80$$ modela la altura, h, de la pelota por encima del suelo en función del tiempo, t. Encuentra: ⓐ los ceros de esta función que nos dice cuando la pelota golpeará el suelo. ⓑ el (s) tiempo (s) que la pelota estará a 128 pies por encima del suelo. ⓒ la altura de la pelota estará a $$t=4$$ segundos.

Para la función, $$f(x)=x^2−7x+5$$, ⓐ encontrar cuando $$f(x)=−7$$ ⓑ Usa esta información para encontrar dos puntos que se encuentran en la gráfica de la función.

Contestar

$$x=3$$ o $$x=4$$$$(3,−7)$$ $$(4,−7)$$

Para la función $$f(x)=25x^2−81$$, encuentra: ⓐ los ceros de la función ⓑ las x-intercepciones de la gráfica de la función ⓒ la y-intercepción de la gráfica de la función.