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7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

  • Page ID
    51817
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Determinar los valores para los cuales una expresión racional no está definida
    • Simplificar expresiones racionales
    • Multiplicar expresiones racionales
    • Dividir expresiones racionales
    • Multiplicar y dividir funciones racionales

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: \(\dfrac{90y}{15y^2}\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    2. Multiplicar: \(\dfrac{14}{15}·\dfrac{6}{35}\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].
    3. Dividir: \(\dfrac{12}{10}÷\dfrac{8}{25}\).
      Si te perdiste este problema, revisa [link].

    Se revisaron previamente las propiedades de las fracciones y sus operaciones. Introducimos números racionales, que son solo fracciones donde los numeradores y denominadores son enteros. En este capítulo, trabajaremos con fracciones cuyos numeradores y denominadores son polinomios. Llamamos a este tipo de expresión expresión racional.

    EXPRESIÓN RACIONAL

    Una expresión racional es una expresión de la forma \(\dfrac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son polinomios y \(q\neq 0\).

    Estos son algunos ejemplos de expresiones racionales:

    \[−\dfrac{24}{56} \qquad \dfrac{5x}{12y} \qquad \dfrac{4x+1}{x^2−9} \qquad \dfrac{4x^2+3x−1}{2x−8}\nonumber\]

    Observe que la primera expresión racional enumerada anteriormente, \(−\dfrac{24}{56}\), es sólo una fracción. Dado que una constante es un polinomio con grado cero, la relación de dos constantes es una expresión racional, siempre que el denominador no sea cero.

    Haremos las mismas operaciones con expresiones racionales que hicimos con fracciones. Simplificaremos, sumaremos, restaremos, multiplicaremos, dividiremos y usaremos en aplicaciones.

    Determinar los valores para los cuales una expresión racional es indefinida

    Si el denominador es cero, la expresión racional es indefinida. El numerador de una expresión racional puede ser 0, pero no el denominador.

    Cuando trabajamos con una fracción numérica, es fácil evitar dividir por cero porque podemos ver el número en el denominador. Para evitar dividir por cero en una expresión racional, no debemos permitir valores de la variable que harán que el denominador sea cero.

    Entonces antes de comenzar cualquier operación con una expresión racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían el denominador cero. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional por ejemplo, sabremos si las soluciones algebraicas que encontremos están permitidas o no.

    DETERMINAR LOS VALORES PARA LOS CUALES UNA EXPRESIÓN RACIONAL ES
    1. Establezca el denominador igual a cero.
    2. Resuelve la ecuación.
    EJECUTIVO \(\PageIndex{1}\)

    Determine el valor para el cual cada expresión racional es indefinida:

    a. \(\dfrac{8a^2b}{3c}\) b. \(\dfrac{4b−3}{2b+5}\) \(\dfrac{x+4}{x^2+5x+6}\)c.

    Solución

    La expresión será indefinida cuando el denominador sea cero.

    a.

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{8a^2b}{3c} \\ \begin{array} {l} \text{Set the denominator equal to zero and solve} \\ \text{for the variable.} \end{array} &3c=0 \\ &c=0 \\ &\dfrac{8a^2b}{3c}\text{ is undefined for }c=0 \end{array} \)
    b.

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{4b-3}{2b+5} \\ \begin{array} {l} \text{Set the denominator equal to zero and solve} \\ \text{for the variable.} \end{array} &2b+5=0 \\ &2b=-5 \\ &b=-\dfrac{5}{2} \\ & \\ &\dfrac{4b-3}{2b+5} \text{ is undefined for }b=-\dfrac{5}{2} \end{array} \)

    c.

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{x+4}{x^2 + 5x + 6} \\ \begin{array} {l} \text{Set the denominator equal to zero and solve } \\ \text{for the variable.} \end{array} &x^2+5x+6=0 \\ &(x+2)(x+3)=0 \\ &x+2=0\text{ or }x+3=0 \\ &x=-2\text{ or }x=-3 \\ & \\ &\dfrac{x+4}{x^2+5x+6}\text{ is undefined for }x=-2\text{ or }x=-3 \end{array} \)

    Pruébalo \(\PageIndex{2}\)

    Determinar el valor para el cual cada expresión racional es indefinida.

    a. \(\dfrac{3y^2}{8x}\) b. \(\dfrac{8n−5}{3n+1}\) c. \(\dfrac{a+10}{a^2+4a+3}\)

    Contestar

    a. \(x=0\)
    b. \(n=−\dfrac{1}{3}\)
    c. \(a=−1,a=−3\)

    Pruébalo \(\PageIndex{3}\)

    Determinar el valor para el cual cada expresión racional es indefinida.

    a.\(\dfrac{4p}{5q}\) b. \(\dfrac{y−1}{3y+2}\) c. \(\dfrac{m−5}{m^2+m−6}\)

    Contestar

    a. \(q=0\)
    b. \(y=−\dfrac{2}{3}\)
    c. \(m=2,m=−3\)

    Simplifique las expresiones racionales

    Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador. De igual manera, una expresión racional simplificada no tiene factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador.

    Expresión racional simplificada

    Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.

    Por ejemplo,

    \[ \begin{array} {l} \dfrac{x+2}{x+3} \text{ is simplified because there are no common factors of } x+2 \text{ and }x+3. \\ \dfrac{2x}{3x} \text{ is not simplified because x is a common factor of }2x\text{ and }3x. \\ \end{array} \nonumber\]

    Utilizamos la Propiedad Fracciones Equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reafirmamos aquí ya que también lo usaremos para simplificar expresiones racionales.

    FRACCIONES EQUIVALENTES

    Si \(a\), \(b\), y \(c\) son números donde \(b\neq 0,c\neq 0,\)

    \[\text {then } \dfrac{a}{b}=\dfrac{a·c}{b·c} \text{ and } \dfrac{a·c}{b·c}=\dfrac{a}{b}\nonumber\]

    Observe que en la Propiedad de Fracciones Equivalentes, los valores que harían a los denominadores cero están específicamente despermitidos. Vemos \(b\neq 0,c\neq 0\) claramente enunciado.

    Para simplificar las expresiones racionales, primero escribimos el numerador y el denominador en forma factorizada. Luego eliminamos los factores comunes usando la Propiedad de Fracciones Equivalentes.

    Ten mucho cuidado ya que eliminas los factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Se puede eliminar un factor de un producto. No se puede quitar un término de una suma.

    La expresión racional es la cantidad 2 veces 3 veces 7 dividida por la cantidad 3 veces 5 veces 7 son 3 y 7. Sus factores comunes son 3 y 7, que son factores del producto. Cuando se retiran, el resultado es de dos quintas partes. La expresión racional es el producto de 3 x y la cantidad x menos 9 dividida por el producto de 5 y la cantidad x menos 9. El factor común es x menos 9, que es un factor del producto. Cuando se retira, el resultado es 3 x dividido por 5. La expresión racional es la cantidad x más 5 dividida por 5. Hay una x tanto el numerador como el denomiante. No obstante, es un término de la suma en el numerador. La expresión racional no tiene factores comunes.

    Quitar los \(x\)'s de \(\dfrac{x+5}{x}\) sería como cancelar los \(2\)'s en la fracción \(\dfrac{2+5}{2}!\)

    Cómo simplificar una expresión racional

    EJECUTIVO \(\PageIndex{4}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}\)

    Solución

    El paso 1 es factorizar el numerador y denominador completamente en la expresión racional, la cantidad x al cuadrado más 5 x más seis dividida por la cantidad x al cuadrado 8 x más 12. El numerador, x cuadrado más 5 x más seis, influye en la cantidad x más 2 veces la cantidad x más 3. El denominador, x cuadrado 8 x más 12, influye en la cantidad x más 2 veces la cantidad x más 6.

    Pruébalo \(\PageIndex{5}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2−x−2}{x^2−3x+2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{x+1}{x−1},x\neq 2,x\neq 1\)

    Pruébalo \(\PageIndex{6}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2−3x−10}{x^2+x−2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{x−5}{x−1},x\neq −2,x\neq 1\)

    Ahora resumimos los pasos que debes seguir para simplificar las expresiones racionales.

    Simplifica una expresión racional.
    1. Factor el numerador y el denominador por completo.
    2. Simplifique dividiendo factores comunes.

    Por lo general, dejamos la expresión racional simplificada en forma factorizada. De esta manera, es fácil comprobar que hemos eliminado todos los factores comunes.

    Usaremos los métodos que hemos aprendido para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.

    Cada vez que escribimos una expresión racional, deberíamos hacer una declaración desautorizándonos valores que harían un denominador cero. No obstante, para centrarnos en el trabajo que nos ocupa, omitiremos escribirlo en los ejemplos.

    EJECUTIVO \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar: \(\dfrac{3a^2−12ab+12b^2}{6a^2−24b^2}\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{3a^2−12ab+12b^2}{6a^2−24b^2} \\ & \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Factor the numerator and denominator,} \\ \text{first factoring out the GCF.} \end{array} &\dfrac{3(a^2−4ab+4b^2)}{6(a^2−4b^2)} \\ & \\ &\dfrac{3(a−2b)(a−2b)}{6(a+2b)(a−2b)} \\ & \\ \text{Remove the common factors of }a−2b\text{ and }3. &\dfrac{\cancel{3}(a−2b)\cancel{(a−2b)}}{\cancel{3}·2(a+2b)\cancel{(a−2b)}} \\ &\dfrac{a−2b}{2(a+2b)} \end{array} \)

    Pruébalo \(\PageIndex{8}\)

    Simplificar: \(\dfrac{2x^2−12xy+18y^2}{3x^2−27y^2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2(x−3y)}{3(x+3y)}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{9}\)

    Simplificar: \(\dfrac{5x^2−30xy+25y^2}{2x^2−50y^2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{5(x−y)}{2(x+5y)}\)

    Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Anteriormente introdujimos la notación opuesta: lo contrario de \(a\) es \(−a\) y \(−a=−1·a\).

    La fracción numérica, digamos \(\dfrac{7}{−7}\) simplifica a \(−1\). También reconocemos que el numerador y el denominador son opuestos.

    La fracción \(\dfrac{a}{−a}\), cuyo numerador y denominador son opuestos también simplifica a \(−1\).

    \[\begin{array} {ll} \text{Let’s look at the expression }b−a. &b−a \\ \text{Rewrite.} &−a+b \\ \text{Factor out }–1. &−1(a−b) \nonumber\end{array} \]

    Esto nos dice que \(b−a\) es lo contrario de \(a−b\).

    En general, podríamos escribir lo contrario de \(a−b\) as \(b−a\). Por lo que la expresión racional \(\dfrac{a−b}{b−a}\) simplifica a \(−1\).

    Opuestos en una expresión racional

    Lo contrario de \(a−b\) es \(b−a\).

    \[\dfrac{a−b}{b−a}=−1 \quad a\neq b\nonumber\]

    Una expresión y su opuesto divide a \(−1\).

    Utilizaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores. Tenga cuidado de no tratar \(a+b\) y \(b+a\) como opuestos. Recordemos que además, el orden no importa así \(a+b=b+a\). Entonces si \(a\neq −b\), entonces \(\dfrac{a+b}{b+a}=1\).

    EJECUTIVO \(\PageIndex{10}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2−4x−32}{64−x^2}\)

    Solución

      .
    Factor el numerador y el denominador.
    Reconocer los factores que son opuestos.
    Simplificar.
    Pruébalo \(\PageIndex{11}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2−4x−5}{25−x^2}\)

    Contestar

    \(−\dfrac{x+1}{x+5}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{12}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^2+x−2}{1−x^2}\).

    Contestar

    \(−\dfrac{x+2}{x+1}\)

    Multiplicar expresiones racionales

    Para multiplicar expresiones racionales, hacemos justo lo que hicimos con fracciones numéricas. Multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Entonces, si hay algún factor común, los eliminamos para simplificar el resultado.

    Multiplicación de expresiones racionales

    Si \(p\), \(q\), \(r\), y \(s\) son polinomios donde \(q\neq 0\), \(s\neq 0\), entonces

    \[\dfrac{p}{q}·\dfrac{r}{s}=\dfrac{pr}{qs}\nonumber\]

    Para multiplicar expresiones racionales, multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.

    Recuerda, a lo largo de este capítulo, asumiremos que se excluyen todos los valores numéricos que harían que el denominador sea cero. No vamos a escribir las restricciones para cada expresión racional, pero hay que tener en cuenta que el denominador nunca puede ser cero. Así que en este siguiente ejemplo, \(x\neq 0\), \(x\neq 3\), y \(x\neq 4.\)

    \(\PageIndex{13}\)EJEMPLO: Cómo multiplicar expresiones racionales

    Simplificar: \(\dfrac{2x}{x^2−7x+12}·\dfrac{x^2−9}{6x^2}\).

    Solución

    El paso 1 es factorizar cada numerador y el denominador completamente en 2 x dividido por la cantidad x al cuadrado menos 7 x más 12 veces la expresión racional la cantidad x al cuadrado menos 9 dividido por 6 x al cuadrado. El denominador, x al cuadrado menos 7 x más 12, influye en la cantidad x menos 3 veces la cantidad x menos 4. El numerador x cuadrado menos 9 factores en la cantidad x menos 3 veces la cantidad x más 3.

    Pruébalo \(\PageIndex{14}\)

    Simplificar: \(\dfrac{5x}{x^2+5x+6}·\dfrac{x^2−4}{10x}\).

    Contestar

    \(\dfrac{x−2}{2(x+3)}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{15}\)

    Simplificar: \(\dfrac{9x^2}{x^2+11x+30}·\dfrac{x^2−36}{3x^2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{3(x−6)}{x+5}\)

    MULTIPLICAR LAS EXPRES
    1. Factor cada numerador y denominador por completo.
    2. Multiplica los numeradores y denominadores.
    3. Simplifique dividiendo factores comunes.
    EJECUTIVO \(\PageIndex{16}\)

    Multiplicar: \(\dfrac{3a^2−8a−3}{a^2−25}·\dfrac{a^2+10a+25}{3a^2−14a−5}\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{3a^2−8a−3}{a^2−25}·\dfrac{a^2+10a+25}{3a^2−14a−5} \\ & \\ \begin{array} {ll} \text{Factor the numerators and denominators} \\ \text{and then multiply.} \end{array} &\dfrac{(3a+1)(a−3)(a+5)(a+5)}{(a−5)(a+5)(3a+1)(a−5)} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Simplify by dividing out} \\ \text{common factors.} \end{array} &\dfrac{\cancel{(3a+1)}(a−3)\cancel{(a+5)}(a+5)}{(a−5)\cancel{(a+5)}\cancel{(3a+1)}(a−5)} \\ & \\ \text{Simplify.} &\dfrac{(a−3)(a+5)}{(a−5)(a−5)} \\ & \\ \text{Rewrite }(a−5)(a−5)\text{ using an exponent.} &\dfrac{(a−3)(a+5)}{(a−5)^2} \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{17}\)

    Simplificar: \(\dfrac{2x^2+5x−12}{x^2−16}·\dfrac{x^2−8x+16}{2x^2−13x+15}\).

    Contestar

    \(\dfrac{x−4}{x−5}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{18}\)

    Simplificar: \(\dfrac{4b^2+7b−2}{1−b^2}·\dfrac{b^2−2b+1}{4b^2+15b−4}\).

    Contestar

    \(−\dfrac{(b+2)(b−1)}{(1+b)(b+4)}\)

    Dividir expresiones racionales

    Al igual que hicimos para fracciones numéricas, para dividir expresiones racionales, multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.

    DIVISIÓN DE EXPRESIONES

    Si \(p\), \(q\), \(r\), y \(s\) son polinomios donde \(q\neq 0\), \(r\neq 0\), \(s\neq 0\), entonces

    \[\dfrac{p}{q}÷\dfrac{r}{s}=\dfrac{p}{q}·\dfrac{s}{r}\nonumber\]

    Para dividir las expresiones racionales, multiplique la primera fracción por la recíproca de la segunda.

    Una vez reescribimos la división como multiplicación de la primera expresión por la recíproca de la segunda, entonces factorizamos todo y buscamos factores comunes.

    EJEMPLO \(\PageIndex{19}\): Cómo dividir expresiones racionales

    Dividir: \(\dfrac{p^3+q^3}{2p^2+2pq+2q^2}÷\dfrac{p^2−q^2}{6}\).

    Solución

    El paso 1 es reescribir la división de la expresión racional, la cantidad p en cubos más q cubos divididos por la cantidad 2 p al cuadrado más 2 p q más 2 q al cuadrado dividido por la expresión racional, la cantidad p al cuadrado menos q al cuadrado todo dividido por 6. Haga esto volteando la expresión racional, la cantidad p al cuadrado menos q al cuadrado todo dividido por 6, y cambiando la división a la multiplicación. El resultado es la cantidad p en cubos más q cubos dividida por la cantidad 2 p al cuadrado más 2 p q más 2 q al cuadrado por la cantidad 6 dividida por la cantidad p al cuadrado menos q al cuadrado.El paso 2 es factorizar los numeradores, la cantidad p en cubos más q en cubos y 6, y los denominadores, la cantidad 2 p al cuadrado más 2 p q más 2 al cuadrado y la cantidad p al cuadrado menos q al cuadrado, completamente. El resultado es la cantidad p más q veces la cantidad p al cuadrado menos p q más q al cuadrado todas las veces la cantidad 2 veces 3 dividida por la cantidad p menos q veces la cantidad p más q.El paso 4 consiste en simplificar la expresión dividiendo los factores comunes, la cantidad p más q y 2. El resultado es 3 veces la cantidad p al cuadrado menos p q más q al cuadrado, todo dividido por la cantidad p menos q veces la cantidad p al cuadrado más p q más q al cuadrado.

    Pruébalo \(\PageIndex{20}\)

    Simplificar: \(\dfrac{x^3−8}{3x^2−6x+12}÷\dfrac{x^2-4}{6}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2(x^2+2x+4)}{(x+2)(x^2−2x+4)}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{21}\)

    Simplificar: \(\dfrac{2z^2}{z^2−1}÷\dfrac{z^3−z^2+z}{z^3+1}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2z}{z−1}\)

    DIVISIÓN DE EXPRESIONES
    1. Reescribir la división como producto de la primera expresión racional y la recíproca de la segunda.
    2. Factor los numeradores y denominadores por completo.
    3. Multiplique los numeradores y denominadores juntos.
    4. Simplifique dividiendo factores comunes.

    Recordemos de Usar el Lenguaje del Álgebraque una fracción compleja es una fracción que contiene una fracción en el numerador, el denominador o ambos. Además, recuerda que una barra de fracción significa división. Una fracción compleja es otra forma de escribir la división de dos fracciones.

    EJECUTIVO \(\PageIndex{22}\)

    Dividir: \(\dfrac{\dfrac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\dfrac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6}}\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &\dfrac{\dfrac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\dfrac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6}} \\ & \\ \text{Rewrite with a division sign.} &\dfrac{6x^2−7x+2}{4x−8}÷\dfrac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Rewrite as product of first times reciprocal} \\ \text{of second.} \end{array} &\dfrac{6x^2−7x+2}{4x−8}·\dfrac{x^2−5x+6}{2x^2−7x+3} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Factor the numerators and the} \\ \text{denominators, and then multiply.} \end{array} &\dfrac{(2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)}{4(x−2)(2x−1)(x−3)} \\ & \\ \text{Simplify by dividing out common factors.} &\dfrac{\cancel{(2x−1)}(3x−2)\cancel{(x−2)}\cancel{(x−3)}}{4\cancel{(x−2)}\cancel{(2x−1)}\cancel{(x−3)}} \\ \text{Simplify.} &\dfrac{3x−2}{4} \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{23}\)

    Simplificar: \(\dfrac{\dfrac{3x^2+7x+2}{4x+24}}{\dfrac{3x^2−14x−5}{x^2+x−30}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{x+2}{4}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{24}\)

    Simplificar: \(\dfrac{\dfrac{y^2−36}{2y^2+11y−6}}{\dfrac{2y^2−2y−60}{8y−4}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2}{y+5}\)

    Si tenemos más de dos expresiones racionales con las que trabajar, seguimos el mismo procedimiento. El primer paso será reescribir cualquier división como multiplicación por lo recíproco. Entonces, factorizamos y multiplicamos.

    EJECUTIVO \(\PageIndex{25}\)

    Realizar las operaciones indicadas: \(\dfrac{3x−6}{4x−4}·\dfrac{x^2+2x−3}{x^2−3x−10}÷\dfrac{2x+12}{8x+16}\).

    Solución

      .
    Reescribir la división como multiplicación
    por lo recíproco.
    .
    Factor los numeradores y los denominadores.
    Multiplica las fracciones. Llevar las constantes al frente ayudará a
    la hora de eliminar factores comunes.
     
    Simplifique dividiendo factores comunes.
    Simplificar. .
    Pruébalo \(\PageIndex{26}\)

    Realizar las operaciones indicadas: \(\dfrac{4m+4}{3m−15}·\dfrac{m^2−3m−10}{m^2−4m−32}÷\dfrac{12m−36}{6m−48}\).

    Contestar

    \(\dfrac{2(m+1)(m+2)}{3(m+4)(m−3)}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{27}\)

    Realizar las operaciones indicadas: \(\dfrac{2n^2+10n}{n−1}÷\dfrac{n^2+10n+24}{n^2+8n−9}·\dfrac{n+4}{8n^2+12n}\).

    Contestar

    \(\dfrac{(n+5)(n+9)}{2(n+6)(2n+3)}\)

    Multiplicar y dividir funciones racionales

    Iniciamos esta sección afirmando que una expresión racional es una expresión de la forma \(\dfrac{p}{q}\), donde p y q son polinomios y \(q\neq 0\). De igual manera, definimos una función racional como una función de la forma \(R(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son funciones polinómicas y no \(q(x)\) es cero.

    FUNCIÓN RACIONAL

    Una función racional es una función de la forma

    \[R(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\nonumber\]

    donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son funciones polinómicas y no \(q(x)\) es cero.

    El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores que causarían división por cero. Debemos eliminar cualquier valor que haga \(q(x)=0\).

    DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
    1. Establezca el denominador igual a cero.
    2. Resuelve la ecuación.
    3. El dominio son todos los números reales excluyendo los valores encontrados en el Paso 2.
    EJECUTIVO \(\PageIndex{28}\)

    Encuentra el dominio de \(R(x)=\dfrac{2x^2−14x}{4x^2−16x−48}\).

    Solución

    El dominio serán todos los números reales excepto aquellos valores que hagan que el denominador sea cero. Pondremos el denominador igual a cero, resolveremos esa ecuación, y luego excluiremos esos valores del dominio.

    \(\begin{array} {ll} \text{Set the denominator to zero.} &4x^2−16x−48=0 \\ \text{Factor, first factor out the GCF.} &4(x^2−4x−12)=0 \\ &4(x−6)(x+2)=0 \\ \text{Use the Zero Product Property.} &4\neq 0\quad x−6=0\quad x+2=0 \\ \text{Solve.} &\hspace{24mm}x=6\qquad x=−2 \\ &\text{The domain of }R(x)\text{ is all real numbers} \\ &\text{where }x\neq 6\text{ and }x\neq −2 \end{array}\).

    Pruébalo \(\PageIndex{29}\)

    Encuentra el dominio de \(R(x)=\dfrac{2x^2−10x}{4x^2−16x−20}\).

    Contestar

    El dominio de \(R(x)\) es todos los números reales donde \(x\neq 5\) y \(x\neq −1\).

    Pruébalo \(\PageIndex{30}\)

    Encuentra el dominio de \(R(x)=\dfrac{4x^2−16x}{8x^2−16x−64}\).

    Contestar

    El dominio de \(R(x)\) es todos los números reales donde \(x\neq 4\) y \(x\neq −2\).

    Para multiplicar las funciones racionales, multiplicamos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación utilizando las mismas técnicas que usamos para multiplicar expresiones racionales.

    EJECUTIVO \(\PageIndex{31}\)

    Encuentra \(R(x)=f(x)·g(x)\) dónde \(f(x)=\dfrac{2x−6}{x^2−8x+15}\) y \(g(x)=\dfrac{x^2−25}{2x+10}\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &R(x)=f(x)·g(x) \\ & \\ &R(x)=\dfrac{2x−6}{x^2−8x+15}·\dfrac{x^2−25}{2x+10} \\ & \\ \text{Factor each numerator and denominator.} &R(x)=\dfrac{2(x−3)}{(x−3)(x−5)}·\dfrac{(x−5)(x+5)}{2(x+5)} \\ & \\ \text{Multiply the numerators and denominators.} &R(x)=\dfrac{2(x−3)(x−5)(x+5)}{2(x−3)(x−5)(x+5)} \\ & \\ \text{Remove common factors.} &R(x)=\dfrac{\cancel{2}\cancel{(x−3)}\cancel{(x−5)}\cancel{(x+5)}}{\cancel{2}\cancel{(x−3)}\cancel{(x−5)}\cancel{(x+5)}} \\ & \\ \text{Simplify.} &R(x)=1 \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{32}\)

    Encuentra \(R(x)=f(x)·g(x)\) dónde \(f(x)=\dfrac{3x−21}{x^2−9x+14}\) y \(g(x)=\dfrac{2x^2−8}{3x+6}\).

    Contestar

    \(R(x)=2\)

    Pruébalo \(\PageIndex{33}\)

    Encuentra \(R(x)=f(x)·g(x)\) dónde \(f(x)=\dfrac{x^2−x}{3x^2+27x−30}\) y \(g(x)=\dfrac{x^2−100}{x^2−10x}\).

    Contestar

    \(R(x)=\dfrac{1}{3}\)

    Para dividir las funciones racionales, dividimos las expresiones racionales resultantes en el lado derecho de la ecuación utilizando las mismas técnicas que usamos para dividir las expresiones racionales.

    EJEMPL \(\PageIndex{34}\)

    Encuentra \(R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) dónde \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2−4x}\) y \(g(x)=\dfrac{9x^2−45x}{x^2−7x+10}\).

    Solución

    \(\begin{array} {ll} &R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\ \text{Substitute in the functions }f(x),\space g(x). &R(x)=\dfrac{\dfrac{3x^2}{x^2−4x}}{\dfrac{9x^2−45x}{x^2−7x+10}} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Rewrite the division as the product of} \\ f(x)\text{ and the reciprocal of }g(x). \end{array} &R(x)=\dfrac{3x^2}{x^2−4x}·\dfrac{x^2−7x+10}{9x^2−45x} \\ & \\ \begin{array} {l} \text{Factor the numerators and denominators} \\ \text{and then multiply.} \end{array} &R(x)=\dfrac{3·x·x·(x−5)(x−2)}{x(x−4)·3·3·x·(x−5)} \\ & \\ \text{Simplify by dividing out common factors.} &R(x)=\dfrac{\cancel{3}·\cancel{x}·\cancel{x}\cancel{(x−5)}(x−2)}{\cancel{x}(x−4)·\cancel{3}·3·\cancel{x}\cancel{(x−5)}} \\ & \\ &R(x)=\dfrac{x−2}{3(x−4)} \end{array}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{35}\)

    Encuentra \(R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) dónde \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2−8x}\) y \(g(x)=\dfrac{8x^2+24x}{x^2+x−6}\).

    Contestar

    \(R(x)=\dfrac{x−2}{4(x−8)}\)

    Pruébalo \(\PageIndex{36}\)

    Encuentra \(R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) dónde \(f(x)=\dfrac{15x^2}{3x^2+33x}\) y \(g(x)=\dfrac{5x−5}{x^2+9x−22}\).

    Contestar

    \(R(x)=\dfrac{x(x−2)}{x−1}\)

    Conceptos Clave

    • Determinar los valores para los cuales una expresión racional es indefinida.
      1. Establezca el denominador igual a cero.
      2. Resuelve la ecuación.
    • Propiedad de fracciones equivalentes
      Si \(a\)\(b\),, y \(c\) son números donde \(b\neq 0\), \(c\neq 0\), entonces

      \(\quad\dfrac{a}{b}=\dfrac{a·c}{b·c}\) y \(\dfrac{a·c}{b·c}=\dfrac{a}{b}.\)
    • Cómo simplificar una expresión racional.
      1. Factor el numerador y el denominador por completo.
      2. Simplifique dividiendo factores comunes.
    • Opuestos en una expresión racional
      Lo contrario de \(a−b\) es \(b−a\).

      \(\quad\dfrac{a−b}{b−a}=−1 \qquad a\neq b\)

      Una expresión y su opuesto divide a \(−1\).
    • Multiplicación de expresiones racionales
      Si \(p\)\(q\), \(r\),, y \(s\) son polinomios donde \(q\neq 0\), \(s\neq 0\), entonces

      \(\quad\dfrac{p}{q}·\dfrac{r}{s}=\dfrac{pr}{qs}\)
    • Cómo multiplicar expresiones racionales.
      1. Factor cada numerador y denominador por completo.
      2. Multiplica los numeradores y denominadores.
      3. Simplifique dividiendo factores comunes.
    • División de expresiones racionales
      Si \(p\), \(q\), \(r\), y \(s\) son polinomios donde \(q\neq 0\), \(r\neq 0\), \(s\neq 0\), entonces

      \(\quad\dfrac{p}{q}÷\dfrac{r}{s}=\dfrac{p}{q}·\dfrac{s}{r}\)
    • Cómo dividir expresiones racionales.
      1. Reescribir la división como producto de la primera expresión racional y la recíproca de la segunda.
      2. Factor los numeradores y denominadores por completo.
      3. Multiplique los numeradores y denominadores juntos.
      4. Simplifique dividiendo factores comunes.
    • Cómo determinar el dominio de una función racional.
      1. Establezca el denominador igual a cero.
      2. Resuelve la ecuación.
      3. El dominio son todos los números reales excluyendo los valores encontrados en el Paso 2.

    Glosario

    expresión racional
    Una expresión racional es una expresión de la forma \(\dfrac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son polinomios y \(q\neq 0\).
    expresión racional simplificada
    Una expresión racional simplificada no tiene factores comunes, aparte de \(1\), en su numerador y denominador.
    función racional
    Una función racional es una función de la forma \(R(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son funciones polinómicas y no \(q(x)\) es cero.

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