7.2E: Ejercicios

La práctica hace a la perfección

Determinar los valores para los cuales una expresión racional es indefinida

En los siguientes ejercicios, determine los valores para los cuales la expresión racional es indefinida.

1. a. \(\dfrac{2x^2}{z}\) b. \(\dfrac{4p−1}{6p−5}\) c. \(\dfrac{n−3}{n^2+2n−8}\)

Contestar

a. \(z=0\)
b. \(p=\dfrac{5}{6}\)
c. \(n=−4, n=2\)

2. a. \(\dfrac{10m}{11n}\) b. \(\dfrac{6y+13}{4y−9}\) c. \(\dfrac{b−8}{b^2−36}\)

3. a. \(\dfrac{4x^2y}{3y}\) b. \(\dfrac{3x−2}{2x+1}\) c. \(\dfrac{u−1}{u^2−3u−28}\)

Contestar

a. \(y=0\)
b. \(x=−\dfrac{1}{2}\)
c. \(u=−4, u=7\)

4. a. \(\dfrac{5pq^2}{9q}\) b. \(\dfrac{7a−4}{3a+5}\) c. \(\dfrac{1}{x^2−4}\)

Simplifique las expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión racional.

5. \(−\dfrac{44}{55}\)

Contestar

\(−\dfrac{4}{5}\)

6. \(\dfrac{56}{63}\)

7. \(\dfrac{8m^3n}{12mn^2}\)

Contestar

\(\dfrac{2m^2}{3n}\)

8. \(\dfrac{36v^3w^2}{27vw^3}\)

9. \(\dfrac{8n−96}{3n−36}\)

Contestar

\(\dfrac{8}{3}\)

10. \(\dfrac{12p−240}{5p−100}\)

11. \(\dfrac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}\)

Contestar

\(\dfrac{x+5}{x−1}\)

12. \(\dfrac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}\)

13. \(\dfrac{a^2−4}{a^2+6a−16}\)

Contestar

\(\dfrac{a+2}{a+8}\)

14. \(\dfrac{y^2−2y−3}{y^2−9}\)

15. \(\dfrac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}\)

Contestar

\(\dfrac{p^2+4}{p−2}\)

16. \(\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

17. \(\dfrac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}\)

Contestar

\(\dfrac{4b(b−4)}{(b+5)(b−8)}\)

18. \(\dfrac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}\)

19. \(\dfrac{3m^2+30mn+75n^2}{4m^2−100n^2}\)

Contestar

\(\dfrac{3(m+5n)}{4(m−5n)}\)

20. \(\dfrac{5r^2+30rs−35s^2}{r^2−49s^2}\)

21. \(\dfrac{a−5}{5−a}\)

Contestar

\(−1\)

22. \(\dfrac{5−d}{d−5}\)

23. \(\dfrac{20−5y}{y^2−16}\)

Contestar

\(\dfrac{−5}{y+4}\)

24. \(\dfrac{4v−32}{64−v^2}\)

25. \(\dfrac{w^3+21}{6w^2−36}\)

Contestar

\(\dfrac{w^2−6w+3}{6w−6}\)

26. \(\dfrac{v^3+125}{v^2−25}\)

27. \(\dfrac{z^2−9z+20}{16−z^2}\)

Contestar

\(\dfrac{−z−5}{4+z}\)

28. \(\dfrac{a^2−5z−36}{81−a^2}\)

Multiplicar expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, multiplique las expresiones racionales.

29. \(\dfrac{12}{16}·\dfrac{4}{10}\)

Contestar

\(\dfrac{3}{10}\)

30. \(\dfrac{3}{25}·\dfrac{16}{24}\)

31. \(\dfrac{5x^2y^4}{12xy^3}·\dfrac{6x^2}{20y^2}\)

Contestar

\(\dfrac{x^3}{8y}\)

32. \(\dfrac{12a^3b}{b^2}·\dfrac{2ab^2}{9b^3}\)

33. \(\dfrac{5p^2}{p^2−5p−36}·\dfrac{p^2−16}{10p}\)

Contestar

\(\dfrac{p(p−4)}{2(p−9)}\)

34. \(\dfrac{3q^2}{q^2+q−6}·\dfrac{q^2−9}{9q}\)

35. \(\dfrac{2y^2−10y}{y^2+10y+25}·\dfrac{y+5}{6y}\)

Contestar

\(\dfrac{y−5}{3(y+5)}\)

36. \(\dfrac{z^2+3z}{z^2−3z−4}·\dfrac{z−4}{z^2}\)

37. \(\dfrac{28−4b}{3b−3}·\dfrac{b^2+8b−9}{b^2−49}\)

Contestar

\(\dfrac{−4(b+9)}{3(b+7)}\)

38. \(\dfrac{72m−12m^2}{8m+32}·\dfrac{m^2+10m+24}{m^2−36}\)

39. \(\dfrac{c^2-10c+25}{c^2−25}·\dfrac{c^2+10c+25}{3c^2−14c−5}\)

Contestar

\(\dfrac{c+5}{3c+1}\)

40. \(\dfrac{2d^2+d−3}{d^2−16}·\dfrac{d^2−8d+16}{2d^2−9d−18}\)

41. \(\dfrac{2m^2−3m−2}{2m2+7m+3}·\dfrac{3m^2−14m+15}{3m^2+17m−20}\)

Contestar

\(\dfrac{(m−3)(m−2)}{(m+4)(m+3)}\)

42. \(\dfrac{2n^2−3n−14}{25−n^2}·\dfrac{n^2−10n+25}{2n^2−13n+21}\)

Dividir expresiones racionales

En los siguientes ejercicios, divida las expresiones racionales.

43. \(\dfrac{v−5}{11−v}÷\dfrac{v^2−25}{v−11}\)

Contestar

\(−\dfrac{1}{v+5}\)

44. \(\dfrac{10+w}{w−8}÷\dfrac{100−w^2}{8−w}\)

45. \(\dfrac{3s^2}{s^2−16}÷\dfrac{s^3−4s^2+16s}{s^3−64}\)

Contestar

\(\dfrac{3s}{s+4}\)

46. \(\dfrac{r^2−9}{15}÷\dfrac{r^3−27}{5r^2+15r+45}\)

47. \(\dfrac{p^3+q^3}{3p^2+3pq+3q^2}÷\dfrac{p^2−q^2}{12}\)

Contestar

\(\dfrac{4(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}\)

48. \(\dfrac{v^3−8w^3}{2v^2+4vw+8w^2}÷\dfrac{v^2−4w^2}{4}\)

49. \(\dfrac{x^2+3x−10}{4x}÷(2x^2+20x+50)\)

Contestar

\(\dfrac{x−2}{8x(x+5)}\)

50. \(\dfrac{2y^2−10yz−48z^2}{2y−1}÷(4y^2−32yz)\)

51. \(\dfrac{\dfrac{2a^2−a−21}{5a+20}}{\dfrac{a^2+7a+12}{a^2+8a+16}}\)

Contestar

\(\dfrac{2a−7}{5}\)

52. \(\dfrac{\dfrac{3b^2+2b−8}{12b+18}}{\dfrac{3b^2+2b−8}{2b^2−7b−15}}\)

53. \(\dfrac{\dfrac{12c^2−12}{2c^2−3c+1}}{\dfrac{4c+4}{6c^2−13c+5}}\)

Contestar

\(3(3c−5)\)

54. \(\dfrac{\dfrac{4d^2+7d−2}{35d+10}}{\dfrac{d^2−4}{7d^2−12d−4}}\)

Para los siguientes ejercicios, realice las operaciones indicadas.

55. \(\dfrac{10m^2+80m}{3m−9}·\dfrac{m^2+4m−21}{m^2−9m+20}÷\dfrac{5m^2+10m}{2m−10}\)

Contestar

\(\dfrac{4(m+8)(m+7)}{3(m−4)(m+2)}\)

56. \(\dfrac{4n^2+32n}{3n+2}·\dfrac{3n^2−n−2}{n^2+n−30}÷\dfrac{108n^2−24n}{n+6}\)

57. \(\dfrac{12p^2+3p}{p+3}÷\dfrac{p^2+2p−63}{p^2−p−12}·\dfrac{p−7}{9p^3−9p^2}\)

Contestar

\(\dfrac{(4p+1)(p−4)}{3p(p+9)(p−1)}\)

58. \(\dfrac{6q+3}{9q^2−9q}÷\dfrac{q^2+14q+33}{q^2+4q−5}·\dfrac{4q^2+12q}{12q+6}\)

Multiplicar y dividir funciones racionales

En los siguientes ejercicios, encuentra el dominio de cada función.

59. \(R(x)=\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

Contestar

\(x\neq 5\) y \(x\neq −5\)

60. \(R(x)=\dfrac{x^3+3x^2−4x−12}{x^2−4}\)

61. \(R(x)=\dfrac{3x^2+15x}{6x^2+6x−36}\)

Contestar

\(x\neq 2\) y \(x\neq −3\)

62. \(R(x)=\dfrac{8x^2−32x}{2x^2−6x−80}\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra \(R(x)=f(x)·g(x)\) dónde \(f(x)\) y \(g(x)\) se dan.

63. \(f(x)=\dfrac{6x^2−12x}{x^2+7x−18} \quad g(x)=\dfrac{x^2−81}{3x^2−27x}\)

Contestar

\(R(x)=2\)

64. \(f(x)=\dfrac{x^2−2x}{x^2+6x−16} \quad g(x)=\dfrac{x^2−64}{x^2−8x}\)

65. \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2−3x−10} \quad g(x)=\dfrac{x^2−25}{8x^2}\)

Contestar

\(R(x)=\dfrac{x+5}{2x(x+2)}\)

66. \(f(x)=\dfrac{2x^2+8x}{x^2−9x+20} \quad g(x)=\dfrac{x−5}{x^2}\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra \(R(x)=f(x)g(x)\) dónde \(f(x)\) y \(g(x)\) se dan.

67. \(f(x)=\dfrac{27x^2}{3x−21} \quad g(x)=\dfrac{3x^2+18x}{x^2+13x+42}\)

Contestar

\(R(x)=\dfrac{3x(x+7)}{x−7}\)

68. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−8} \quad g(x)=\dfrac{4x^3+28x^2}{x^2+11x+28}\)

69. \(f(x)=\dfrac{16x^2}{4x+36} \quad g(x)=\dfrac{4x^2−24x}{x^2+4x−45}\)

Contestar

\(R(x)=\dfrac{x(x−5)}{x−6}\)

70. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−4} \quad g(x)=\dfrac{12x^2+36x}{x^2−11x+18}\)

Ejercicios de escritura

71. Explica cómo encuentras los valores de x para los cuales la expresión racional no \(\dfrac{x^2−x−20}{x^2−4}\) está definida.

Contestar

Las respuestas variarán.

72. Explica todos los pasos que das para simplificar la expresión racional \(\dfrac{p^2+4p−21}{9−p^2}\).

73. a. multiplica \(\dfrac{7}{4}·\dfrac{9}{10}\) y explica todos tus pasos.
b. Multiplica \(\dfrac{n}{n−3}·\dfrac{9}{n+3}\) y explica todos tus pasos.
c. Evalúa tu respuesta a la parte b. cuando \(n=7\). ¿Obtuviste la misma respuesta que obtuviste en parte a.? ¿Por qué o por qué no?

Contestar

Las respuestas variarán.

74. a. divide \(\dfrac{24}{5}÷6\) y explica todos tus pasos.
b. Divide \(\dfrac{x^2−1}{x}÷(x+1)\) y explica todos tus pasos.
c. Evalúa tu respuesta a la parte b. cuando \(x=5\). ¿Obtuviste la misma respuesta que obtuviste en parte a.? ¿Por qué o por qué no?

Autocomprobación

a. Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! ¡Has logrado tus objetivos en esta sección! Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir utilizándolas. ¿Qué hiciste para tener confianza en tu capacidad para hacer estas cosas? ¡Sé específico!

... con alguna ayuda. Estodebe abordarse rápidamente ya que los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. Las matemáticas son secuenciales: cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no - ¡No lo pillo! Estoes crítico y no debes ignorarlo. Necesitas obtener ayuda de inmediato o rápidamente te sentirás abrumado. Consulta a tu instructor lo antes posible para discutir tu situación. Juntos pueden idear un plan para conseguirle la ayuda que necesita.