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9.7: Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

  • Page ID
    51794
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Reconocer la gráfica de una función cuadrática
    • Encuentra el eje de simetría y vértice de una parábola
    • Encuentra las interceptaciones de una parábola
    • Graficar funciones cuadráticas usando propiedades
    • Resolver aplicaciones máximas y mínimas

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Grafica la función \(f(x)=x^{2}\) trazando puntos.
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 3.54.
    2. Resolver: \(2 x^{2}+3 x-2=0\).
      Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.45.
    3. Evaluar \(-\frac{b}{2 a}\) cuándo \(a=3\) y \(b=-6\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.21.

    Reconocer la gráfica de una función cuadrática

    Anteriormente miramos muy brevemente la función \(f(x)=x^{2}\), a la que llamamos la función cuadrada. Fue una de las primeras funciones no lineales que miramos. Ahora graficaremos funciones de la forma \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) si \(a \neq 0\). Llamamos a este tipo de función una función cuadrática.

    Definición \(\PageIndex{1}\)

    Una función cuadrática, donde \(a, b\), y \(c\) son números reales y \(a≠0\), es una función de la forma

    \(f(x)=a x^{2}+b x+c\)

    Se graficó la función cuadrática \(f(x)=x^{2}\) trazando puntos.

    Figura 9.6.1

    Cada función cuadrática tiene una gráfica que se ve así. A esta figura la llamamos parábola. Practiquemos graficar una parábola trazando algunos puntos.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Gráfica: \(f(x)=x^{2}-1\).

    Solución:

    Gráficaremos la función trazando puntos.

    Elija valores enteros para \(x\),
    sustituirlos en la ecuación
    y simplificar para encontrar \(f(x)\).
    Registre los valores de los pares ordenados en el gráfico.

    Trazar los puntos, y luego
    conectarlos con una curva suave. El
    resultado será la gráfica de la
    función \(f(x)=x^{2}-1\).
    .
    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Gráfica \(f(x)=-x^{2}\).

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (0, 0).
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}-1\).

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (0, â'1).

    Todas las gráficas de funciones cuadráticas de la forma \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) son parábola que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ver Figura 9.6.6

    Observe que la única diferencia en las dos funciones es el signo negativo antes del término cuadrático (\(x^{2}\) en la ecuación de la gráfica en la Figura 9.6.6). Cuando el término cuadrático, es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

    Definición \(\PageIndex{2}\)

    Orientación Parábola

    Para la gráfica de la función cuadrática \(f(x)=a x^{2}+b x+c\), si

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Determine si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

    1. \(f(x)=-3 x^{2}+2 x-4\)
    2. \(f(x)=6 x^{2}+7 x-9\)

    Solución:

    a. Encuentre el valor de \(a\).

    .

    Ya que el \(a\) es negativo, la parábola se abrirá a la baja.

    b. Encuentre el valor de \(a\).

    .

    Ya que el \(a\) es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba.

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Determine si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

    1. \(f(x)=2 x^{2}+5 x-2\)
    2. \(f(x)=-3 x^{2}-4 x+7\)
    Contestar
    1. arriba
    2. abajo
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Determine si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

    1. \(f(x)=-2 x^{2}-2 x-3\)
    2. \(f(x)=5 x^{2}-2 x-1\)
    Contestar
    1. abajo
    2. arriba

    Encuentra el Eje de Simetría y Vértice de una Parábola

    Mira de nuevo en la Figura 9.6.10. ¿Ves que podríamos doblar cada parábola por la mitad y entonces un lado quedaría sobre el otro? La 'línea de doblez' es una línea de simetría. Lo llamamos el eje de simetría de la parábola.

    Volvemos a mostrar las mismas dos gráficas con el eje de simetría.

    Esta imagen muestra 2 gráficas lado a lado. El gráfico de la izquierda muestra una parábola de apertura hacia arriba y una línea vertical discontinua graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1) y pasa por los puntos (negativo 4, 3) y (0, 3). La ecuación de esta parábola es x al cuadrado más 4 x más 3. La línea vertical pasa por el punto (negativo 2, 0) y tiene la ecuación x es igual a 2 negativo. El gráfico de la derecha muestra una parábola de apertura hacia abajo y una línea vertical discontinua graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 7) y pasa por los puntos (0, 3) y (4, 3). La ecuación de esta parábola es negativa x al cuadrado más 4 x más 3. La línea vertical pasa por el punto (2, 0) y tiene la ecuación x es igual a 2.

    La ecuación del eje de simetría se puede derivar mediante el uso de la Fórmula Cuadrática. Omiremos la derivación aquí y procederemos directamente a usar el resultado. La ecuación del eje de simetría de la gráfica de \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) es \(x=-\frac{b}{2 a}\).

    Entonces para encontrar la ecuación de simetría de cada una de las parábola que graficamos arriba, vamos a sustituir en la fórmula \(x=-\frac{b}{2 a}\).

    Comparar la función f de x es igual a x al cuadrado más 4 x más 3 a la forma estándar de una función cuadrática, f de x es igual a x al cuadrado más b x más c. El eje de simetría es la línea x es igual a b negativa dividida por el producto 2 a. Sustituyendo por b y a rendimientos x es igual a negativo 4 dividido por el producto 2 veces 1. El eje de simetría es igual a negativo 2. A continuación, compare la función f de x es igual a negativo x cuadrado más 4 x más 3 a la forma estándar de una función cuadrática, f de x es igual a a x al cuadrado más b x más c. El eje de simetría es la línea x es igual a b negativa dividida por el producto 2 a. Sustituyendo por b y a rendimientos x es igual a 4 negativo dividido por el producto 2 veces negativo 1. El eje de simetría es igual a 2.

    Observe que estas son las ecuaciones de las líneas azules discontinuas en las gráficas.

    El punto en la parábola que es la más baja (la parábola se abre), o la más alta (la parábola se abre hacia abajo), yace en el eje de simetría. A este punto se le llama el vértice de la parábola.

    Podemos encontrar fácilmente las coordenadas del vértice, porque sabemos que está en el eje de simetría. Esto significa que su
    \(x\)-coordenada es \(-\frac{b}{2 a}\). Para encontrar la \(y\)coordenada del vértice sustituimos el valor de la \(x\)coordenada -por la función cuadrática.

    Eje de simetría y vértice de una parábola

    La gráfica de la función \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) es una parábola donde:

    • el eje de simetría es la línea vertical \(x=-\frac{b}{2 a}\).
    • el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su \(x\)coordenada es \(-\frac{b}{2 a}\)
    • la \(y\)coordenada del vértice se encuentra sustituyendo \(x=-\frac{b}{2 a}\) en la ecuación cuadrática.
    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Para la gráfica de \(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\) encontrar:

    1. el eje de simetría
    2. el vértice

    Solución:

    a.

      .
    El eje de simetría es la línea vertical \(x=-\frac{b}{2 a}\).  
    Sustituir los valores \(a,b\) en la ecuación. \(x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}\)
    Simplificar. \(x=1\)
      El eje de simetría es la línea \(x=1\).

    b.

      \(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)
    El vértice es un punto en la línea de simetría, por lo que su \(x\)coordenada lo será \(x=1\). Encuentra \(f(1)\). .
    Simplificar. .
    El resultado es la \(y\)coordenada. \(f(1)=-1\)
      El vértice es \((1,-1)\).
    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Para la gráfica de \(f(x)=2 x^{2}-8 x+1\) encontrar:

    1. el eje de simetría
    2. el vértice
    Contestar
    1. \(x=2\)
    2. \((2,-7)\)
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Para la gráfica de \(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\) encontrar:

    1. el eje de simetría
    2. el vértice
    Contestar
    1. \(x=1\)
    2. \((1,-5)\)

    Encuentra las Intercepciones de una Parábola

    Cuando graficamos ecuaciones lineales, a menudo usamos las \(y\)interceptaciones \(x\)- y -para ayudarnos a graficar las líneas. Encontrar las coordenadas de las intercepciones también nos ayudará a graficar parábola.

    Recuerde, en la \(y\)-intercepción el valor de \(x\) es cero. Entonces para encontrar la \(y\)-intercepción, sustituimos \(x=0\) en la función.

    Encontremos los \(y\)-interceptos de las dos parábola que se muestran en la Figura 9.6.20.

    Un \(x\)-intercept resulta cuando el valor de \(f(x)\) es cero. Para encontrar un \(x\)-intercepto, lo dejamos \(f(x)=0\). En otras palabras, necesitaremos resolver la ecuación \(0=a x^{2}+b x+c\) para \(x\).

    \(\begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ 0 &=a x^{2}+b x+c \end{aligned}\)

    ¡Resolver ecuaciones cuadráticas como esta es exactamente lo que hemos hecho anteriormente en este capítulo!

    Ahora podemos encontrar las \(x\)-intercepciones de las dos parábola que miramos. Primero encontraremos las \(x\)-intercepciones de la parábola cuya función es \(f(x)=x^{2}+4 x+3\).

      \(f(x)=x^{2}+4 x+3\)
    Vamos \(f(x)=0\). \(\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3\)
    Factor. \(0=(x+1)(x+3)\)
    Utilice la Propiedad de Producto Cero. \(x+1=0 \quad x+3=0\)
    Resolver. \(x=-1 \quad x=-3\)
      Las \(x\)-intercepciones son \((-1,0)\) y \((-3,0)\).

    Ahora encontraremos los \(x\)-interceptos de la parábola cuya función es \(f(x)=-x^{2}+4 x+3\).

      \(f(x)=-x^{2}+4 x+3\)
    Vamos \(f(x)=0\). \(\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3\)
    Este cuadrático no factor, por lo que utilizamos la Fórmula Cuadrática. \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
    \(a=-1, b=4, c=3\) \(x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}\)
    Simplificar. \(x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}\)
      \(x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}\)
      \(x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}\)
      \(x=2 \pm \sqrt{7}\)
      Las \(x\)-intercepciones son \((2+\sqrt{7}, 0)\) y \((2-\sqrt{7}, 0)\).

    Usaremos las aproximaciones decimales de las \(x\)-interceptas, para que podamos ubicar estos puntos en la gráfica,

    \((2+\sqrt{7}, 0) \approx(4.6,0) \quad(2-\sqrt{7}, 0) \approx(-0.6,0)\)

    ¿Estos resultados concuerdan con nuestras gráficas? Ver Figura 9.6.34

    Esta imagen muestra 2 gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra la parábola de apertura hacia arriba definida por la función f de x es igual a x al cuadrado más 4 x más 3 y una línea vertical discontinua, x es igual a 2 negativo, graficada en el plano de coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (negativo 2, negativo 1). La intercepción y es (0, 3) y las intercepciones x son (negativo 1, 0) y (negativo 3, 0). La gráfica de la derecha muestra la parábola de apertura hacia abajo definida por la función f de x es igual a x negativo al cuadrado más 4 x más 3 y una línea vertical discontinua, x es igual a 2, graficada en el plano de coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 7). La intercepción y es (0, 3) y las intercepciones x son (2 más raíz cuadrada 7, 0), aproximadamente (4.6, 0) y (2 menos raíz cuadrada, 0), aproximadamente (menos 0.6, 0).

    Encuentra las Intercepciones de una Parábola

    Encontrar las interceptaciones de una parábola cuya función es \(f(x)=a x^{2}+b x+c\):

    \(y\)-interceptar

    Dejar \(x=0\) y resolver para \(f(x)\).

    \(x\)-intercepta

    Deje \(f(x)=0\) y resuelva para \(x\)

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra las interceptaciones de la parábola cuya función es \(f(x)=x^{2}-2 x-8\).

    Solución:

    Para encontrar el \(y\)-interceptar, dejar \(x=0\) y resolver para \(f(x)\). \(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
      \(f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8\)
      \(f(0)=-8\)
      Cuando \(x=0\), entonces \(f(0)=-8\). El \(y\)-intercepto es el punto \((0,-8)\).
    Para encontrar el \(x\)-interceptar, dejar \(f(x)=0\) y resolver para \(x\). \(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
      \(0=x^{2}-2 x-8\)
    Resolver por factoring. \(0=(x-4)(x+2)\)
      \(0=x-4 \quad 0=x+2\)
      \(4=x \quad-2=x\)
      Cuando \(f(x)=0\), entonces \(x=4\) o \(x=-2\). Los \(x\)-interceptos son los puntos \((4,0)\) y \((-2,0)\).
    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra las interceptaciones de la parábola cuya función es \(f(x)=x^{2}+2 x-8\).

    Contestar

    \(y\) -interceptar: \((0,-8) x\) -intercepta \((-4,0),(2,0)\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra las interceptaciones de la parábola cuya función es \(f(x)=x^{2}-4 x-12\).

    Contestar

    \(y\) -interceptar: \((0,-12) x\) -intercepta \((-2,0),(6,0)\)

    En este capítulo, hemos estado resolviendo ecuaciones cuadráticas de la forma \(a x^{2}+b x+c=0\). Solucionamos para \(x\) y los resultados fueron las soluciones a la ecuación.

    Ahora estamos viendo las funciones cuadráticas de la forma \(f(x)=a x^{2}+b x+c\). Las gráficas de estas funciones son parábola. Las \(x\)-intercepciones de las parábola ocurren donde \(f(x)=0\).

    Por ejemplo:

    Ecuación cuadrática

    \(\begin{aligned}x^{2}-2 x-15 & =0\quad \text{Let}\:f(x)=0 \\ (x-5)(x+3) &=0 \\ x-5=0\:\:x+3 & =0 \\ x=5\:\:\:x&=-3\end{aligned}\)

    Función cuadrática

    \(\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=(x-5)(x+3) \\ x-5 &=0 \quad x+3=0 \\ x &=5 \quad x=-3 \\(5,0) & \text { and }(-3,0) \\& x\text { -intercepts } \end{aligned}\)

    Las soluciones de la función cuadrática son los \(x\) valores de los \(x\)-interceptos.

    Antes, vimos que las ecuaciones cuadráticas tienen \(2, 1\), o \(0\) soluciones. Las gráficas a continuación muestran ejemplos de parábola para estos tres casos. Dado que las soluciones de las funciones dan las \(x\)-intercepciones de las gráficas, el número de \(x\)-interceptos es el mismo que el número de soluciones.

    Previamente, se utilizó el discriminante para determinar el número de soluciones de una función cuadrática de la forma \(a x^{2}+b x+c=0\). Ahora podemos usar el discriminante para decirnos cuántos \(x\)-interceptos hay en la gráfica.

    Esta imagen muestra tres gráficas lado a lado. La gráfica de la izquierda muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra debajo del eje x y la parábola cruza el eje x en dos puntos diferentes. Si b al cuadrado menos 4 a c es mayor que 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 tiene dos soluciones, y la gráfica de la parábola tiene 2 x interceptas. La gráfica en el medio muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra en el eje x, el único punto de intersección entre la parábola y el eje X. Si b al cuadrado menos 4 a c es igual a 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 tiene una solución, y la gráfica de la parábola tiene 1 x intercepta. La gráfica de la derecha muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El vértice de la parábola se encuentra por encima del eje x y la parábola no cruza el eje X. Si b al cuadrado menos 4 a c es menor que 0, entonces la ecuación cuadrática a x al cuadrado más b x más c es igual a 0 no tiene soluciones, y la gráfica de la parábola no tiene intercepciones x.

    Antes de encontrar los valores de las \(x\)-interceptas, es posible que desee evaluar el discriminante para saber cuántas soluciones esperar.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra las intercepciones de la parábola para la función \(f(x)=5 x^{2}+x+4\).

    Solución:

      .
    Para encontrar el \(y\)-interceptar, dejar \(x=0\) y resolver para \(f(x)\). .
      .
      Cuando \(x=0\), entonces \(f(0)=4\). El \(y\)-intercepto es el punto \((0,4)\).
    Para encontrar el \(x\)-interceptar, dejar \(f(x)=0\) y resolver para \(x\). .
      .
    Encontrar el valor del discriminante para predecir el número de soluciones que es también el número de \(x\)-intercepciones.  
    \(\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}\)  
     

    Dado que el valor del discriminante es negativo, no existe una solución real a la ecuación.

    No hay \(x\)-intercepciones.

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Encuentra las interceptaciones de la parábola cuya función es \(f(x)=3 x^{2}+4 x+4\).

    Contestar

    \(y\)-interceptar: \((0,4)\) no \(x\)-interceptar

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra las interceptaciones de la parábola cuya función es \(f(x)=x^{2}-4 x-5\)

    Contestar

    \(y\)-interceptar: \((0,-5)\) \(x\)-intercepta \((-1,0),(5,0)\)

    Graficar funciones cuadráticas usando propiedades

    Ahora tenemos todas las piezas que necesitamos para graficar una función cuadrática. Sólo tenemos que ponerlos juntos. En el siguiente ejemplo veremos cómo hacerlo.

    Ejemplo de \(\PageIndex{6}\) cómo graficar una función cuadrática usando propiedades

    Gráfica \(f(x)=x^{2}-6x+8\) mediante el uso de sus propiedades.

    Solución:

    Paso 1: Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

    Mira \(a\) en la ecuación \(f(x)=x^{2}-6x+8\)

    Ya que \(a\) es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

    \(f(x)=x^{2}-6x+8\)

    \(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\)

    La parábola se abre hacia arriba.

    Paso 2: Encuentra el eje de simetría.

    \(f(x)=x^{2}-6x+8\)

    El eje de simetría es la línea \(x=-\frac{b}{2 a}\).

    Eje de simetría

    \(x=-\frac{b}{2 a}\)

    \(x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}\)

    \(x=3\)

    El eje de simetría es la línea \(x=3\).

    Paso 3: Encuentra el vértice. El vértice está en el eje de simetría. Sustituir \(x=3\) en la función.

    Vértice

    \(f(x)=x^{2}-6x+8\)

    \(f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8\)

    \(f(3)=-1\)

    El vértice es \((3,-1)\).

    Paso 4: Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.

    Nos encontramos \(f(0)\).

    Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la \(y\)-intercepción. La \(y\)-intercepción es \(3\) unidades a la izquierda del eje de simetría, \(x=3\). Un punto \(3\) unidades a la derecha del eje de simetría tiene \(x=6\).

    \(y\)-interceptar

    \(f(x)=x^{2}-6 x+8\)

    \(f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8\)

    \(f(0)=8\)

    El \(y\)-intercepto es \((0,8)\).

    Punto simétrico a \(y\)-interceptar:

    El punto es \((6,8)\).

    Paso 5: Encuentra las \(x\)-intercepciones. Encuentre puntos adicionales si es necesario.

    Nosotros resolvemos \(f(x)=0\).

    Podemos resolver esta ecuación cuadrática por factoring.

    \(x\)-intercepta

    \(f(x)=x^{2}-6 x+8\)

    \(\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8\)

    \(\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)\)

    \(x=2 or x=4\)

    Los \(x\)-interceptos son \((2,0)\) y \((4,0)\).

    Paso 6: Grafica la parábola. Gráficamos el vértice, las intercepciones y el punto simétrico a la \(y\)-intercepción. Conectamos estos \(5\) puntos para esbozar la parábola. Captura de pantalla (1) .png
    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}+2x-8\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. El eje de simetría, x es igual a 1 negativo, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 9). La intercepción y de la parábola es el punto (0, negativo 8). Las interceptaciones x de la parábola son los puntos (negativo 4, 0) y (4, 0).
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}-8x+12\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar

    Aquí enumeramos los pasos a seguir para graficar una función cuadrática.

    Para graficar una función cuadrática usando propiedades

    1. Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
    2. Encuentra la ecuación del eje de simetría.
    3. Encuentra el vértice.
    4. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la \(y\)-intercepción a través del eje de simetría.
    5. Encuentra los \(x\)-interceptos. Encuentre puntos adicionales si es necesario.
    6. Grafica la parábola.

    Pudimos encontrar las \(x\)-interceptas en el último ejemplo por factoring. Encontramos las \(x\)-interceptas en el siguiente ejemplo por factoring, también.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Gráfica \(f(x)=-x^{2}+6 x-9\) mediante el uso de sus propiedades.

    Solución:

      .
    Ya que \(a\) es \(-1\), la parábola se abre hacia abajo.  
      .
    Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice \(x=-\frac{b}{2 a}\). \(x=-\frac{b}{2 a}\)
      \(x=-\frac{6}{2(-1)}\)
      \(x=3\)
     

    El eje de simetría es \(x=3\).

    El vértice está en la línea \(x=3\).

      .
    Encuentra \(f(3)\). \(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
      .
      \(f(3)=-9+18-9\)
      \(f(3)=0\)
      El vértice es \((3,0)\).
      .
    La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\). Encuentra \(f(0)\). \(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
    Sustituto \(x=0\). .
    Simplificar. \(f(0)=-9\)
    El punto \((0,-9)\) está a tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es \((6,-9)\). .
      El punto simétrico a la \(y\)-intercepción es \((6,-9)\)
    La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(f(x)=0\). .
    Encuentra \(f(x)=0\). .
    Factor el FGC. .
    Factor el trinomio. .
    Resolver para \(x\). .
    Conecte los puntos para graficar la parábola. .
    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Gráfica \(f(x)=3 x^{2}+12 x-12\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 15 a 10. La parábola tiene un vértice en (2, 0). Se grafica la intercepción y (0, negativo 12) así como el eje de simetría, x es igual a 2.
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Gráfica \(f(x)=4 x^{2}+24 x+36\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 30 a 20. El eje y del plano va de menos 10 a 40. La parábola tiene un vértice en (negativo 3, 0). Se grafica la intercepción y (0, 36) así como el eje de simetría, x es igual a 3 negativo.

    Para la gráfica de \(f(x)=-x^{2}+6 x-9\), el vértice y el \(x\)-intercepto fueron el mismo punto. ¿Recuerdas cómo el discriminante determina el número de soluciones de una ecuación cuadrática? El discriminante de la ecuación \(0=-x^{2}+6x-9\) es \(0\), por lo que sólo hay una solución. Eso significa que sólo hay una \(x\)-intercepción, y es el vértice de la parábola.

    ¿Cuántas \(x\)-interceptaciones esperarías ver en la gráfica de \(f(x)=x^{2}+4 x+5\)?

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}+4 x+5\) mediante el uso de sus propiedades.

    Solución:

      .
    Ya que \(a\) es \(-1\), la parábola se abre hacia abajo.  
      .
    Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice \(x=-\frac{b}{2 a}\). .
     
      .
     

    La ecuación del eje de simetría es\ (x=-2).

      .
    El vértice está en la línea \(x=-2\).  
    Encuentra \(f(x)\) cuándo \(x=-2\). .
      .
      .
     
     

    El vértice es \((-2,1)\).

     
    La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\).
    Encuentra \(f(0)\).
    Simplificar.
      El \(y\)-intercepto es \((0,5)\).
    El punto \((-4,5)\) es de dos unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto a las unidades a la derecha de la línea de simetría es\ ((0,5)\. .
      Punto simétrico a la \(y\)-intercepción es \((-4,5)\).
    La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(f(x)=0\).
    Encuentra \(f(x)=0\).
    Prueba al discriminante.  
     
      .
      .
      .
    Dado que el valor del discriminante es negativo, no hay solución real y por lo tanto no \(x\)-interceptación.  
    Conecte los puntos para graficar la parábola. Es posible que desee elegir dos puntos más para una mayor precisión. .
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Gráfica \(f(x)=x^{2}-2 x+3\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Gráfica \(f(x)=-3x^{2}-6 x-4\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 2. El eje y del plano va de menos 5 a 1. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 2). La intercepción y (0, negativo 4) se grafica al igual que la línea de simetría, x es igual a 1 negativo.

    Encontrar la \(y\)-intercepción por encontrar \(f(0)\) es fácil, ¿no? A veces necesitamos usar la Fórmula Cuadrática para encontrar los \(x\)-interceptos.

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Gráfica \(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\) mediante el uso de sus propiedades.

    Solución:

      .

    Desde \(a\) es \(2\), la parábola se abre hacia arriba.

    .
    Para encontrar la ecuación del eje de simetría, utilice \(x=-\frac{b}{2 a}\). \(x=-\frac{b}{2 a}\)
      \(x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}\)
      \(x=1\)
      La ecuación del eje de simetría es \(x=1\).
    El vértice está en la línea \(x=1\). \(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
    Encuentra \(f(1)\). .
      \(f(1)=2-4-3\)
      \ (\ f (1) =-5)
      El vértice es \((1,-5)\).
    La \(y\)-intercepción ocurre cuando \(x=0\). \(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
    Encuentra \(f(0)\).
    Simplificar. \(f(0)=-3\)
      El \(y\)-intercepto es \((0,-3)\).
    El punto \((0,-3)\) es una unidad a la izquierda de la línea de simetría. El punto simétrico a la \(y\)-intercepción es \((2,-3)\)
    El punto una unidad a la derecha de la línea de simetría es \((2,3)\).  
    La \(x\)-intercepción ocurre cuando \(y=0\). \(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
    Encuentra \(f(x)=0\).
    Utilice la fórmula cuadrática. \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
    Sustituir en los valores de \(a,b\) y \(c\). \(x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}\)
    Simplificar. \(x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\)
    Simplificar dentro del radical. \(x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}\)
    Simplifica lo radical. \(x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}\)
    Factor el FGC. \(x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}\)
    Eliminar factores comunes. \(x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\)
    Escribir como dos ecuaciones. \(x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\)
    Aproximar los valores. \(x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6\)
      Los valores aproximados de las \(x\)-intercepciones son \((2.5,0)\) y \((-0.6,0)\).
    Grafica la parábola usando los puntos encontrados. .
    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Gráfica \(f(x)=5 x^{2}+10 x+3\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de negativo 4 a 4. El eje y del plano va de negativo 4 a 4. El eje de simetría, x es igual a 1 negativo, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, negativo 2). La intercepción y de la parábola es el punto (0, 3). Las interceptaciones x de la parábola son aproximadamente (negativo 1.6, 0) y (negativo 0.4, 0).
    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Gráfica \(f(x)=-3 x^{2}-6 x+5\) mediante el uso de sus propiedades.

    Contestar
    Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x del plano va de menos 10 a 10. El eje y del plano va de menos 10 a 10. El eje de simetría, x es igual a 1 negativo, se grafica como una línea discontinua. La parábola tiene un vértice en (negativo 1, 8). La intercepción y de la parábola es el punto (0, 5). Las intercepciones x de la parábola son aproximadamente (negativo 2.6, 0) y (0.6, 0).

    Resolver aplicaciones máximas y mínimas

    Saber que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática. La coordenada ydel vértice es el valor mínimode una parábola que se abre hacia arriba. Es el valor máximo de una parábola que se abre hacia abajo. Ver Figura 9.6.124.

    Esta figura muestra 2 gráficas lado a lado. La gráfica izquierda muestra una parábola de apertura descendente trazada en el plano x y. Una flecha apunta al vértice con el máximo de etiqueta. La gráfica derecha muestra una parábola de apertura ascendente trazada en el plano x y. Una flecha apunta al vértice con el mínimo de etiqueta.
    Figura 9.6.124

    Valores mínimos o máximos de una función cuadrática

    La coordenada ydel vérticede la gráfica de una función cuadrática es la

    • valormínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba .
    • valormáximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo .
    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra el valor mínimo o máximo de la función cuadrática \(f(x)=x^{2}+2 x-8\).

    Solución:

      \(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
    Ya que \(a\) es positivo, la parábola se abre hacia arriba. La ecuación cuadrática tiene un mínimo.  
    Encuentra la ecuación del eje de simetría. \(x=-\frac{b}{2 a}\)
      \(x=-\frac{2}{2 \times 1}\)
      \(x=-1\)
      La ecuación del eje de simetría es \(x=-1\).
    El vértice está en la línea \(x=-1\). \(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
    Encuentra \(f(-1)\). .
      \(f(-1)=1-2-8\)
      \(f(-1)=-9\)
      El vértice es \((-1,-9)\).
    Dado que la parábola tiene un mínimo, la \(y\)-coordenada del vértice es el \(y\)valor -mínimo de la ecuación cuadrática. El valor mínimo de la cuadrática es \(-9\) y se produce cuando \(x=-1\).  
      .

    Mostrar la gráfica para verificar el resultado.

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

    Encuentra el valor máximo o mínimo de la función cuadrática \(f(x)=x^{2}-8 x+12\).

    Contestar

    El valor mínimo de la función cuadrática es \(−4\) y se produce cuando \(x=4\).

    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

    Encuentra el valor máximo o mínimo de la función cuadrática \(f(x)=-4 x^{2}+16 x-11\).

    Contestar

    El valor máximo de la función cuadrática es \(5\) y se produce cuando \(x=2\).

    Hemos utilizado la fórmula

    \(h(t)=-16 t^{2}+v_{0} t+h_{0}\)

    para calcular la altura en pies \(h\), de un objeto disparado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, \(v_{0}\), después de \(t\) segundos.

    Esta fórmula es una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al resolver las coordenadas del vértice \((t,h)\), podemos encontrar cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar su altura máxima. Entonces podemos calcular la altura máxima.

    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    La ecuación cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+176 t+4\) modela la altura de un golpe de voleibol recto hacia arriba con velocidad \(176\) pies por segundo a partir de una altura de \(4\) pies.

    1. ¿Cuántos segundos tardará el voleibol en alcanzar su máxima altura?
    2. Encuentra la altura máxima del voleibol.

    Solución:

    \(h(t)=-16 t^{2}+176 t+4\)

    Ya que \(a\) es negativa, la parábola se abre a la baja. La función cuadrática tiene un máximo.

    a. Encuentra la ecuación del eje de simetría.

    \(\begin{array}{l}{t=-\frac{b}{2 a}} \\ {t=-\frac{176}{2(-16)}} \\ {t=5.5}\end{array}\)

    La ecuación del eje de simetría es \(t=5.5\).

    El vértice está en la línea \(t=5.5\).

    El máximo ocurre cuando \(t=5.5\) segundos.

    b. Encontrar \(h(5.5)\).

    \(\begin{array}{l}{h(t)=-16 t^{2}+176 t+4} \\ {h(t)=-16(5.5)^{2}+176(5.5)+4}\end{array}\)

    Usa una calculadora para simplificar.

    \(h(t)=488\)

    El vértice es \((5.5,488)\).

    Dado que la parábola tiene un máximo, la \(h\)-coordenada del vértice es el valor máximo de la función cuadrática.

    El valor máximo de la cuadrática es \(488\) pies y ocurre cuando \(t=5.5\) segundos.

    Después de \(5.5\) segundos, el voleibol alcanzará su máxima altura de \(488\) pies.

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\)

    Resuelve, redondeando respuestas a la décima más cercana.

    La función cuadrática \(h(t)=-16 t^{2}+128 t+32\) se utiliza para encontrar la altura de una piedra lanzada hacia arriba desde una altura de \(32\) pies a una velocidad de \(128\) pies/seg. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

    Contestar

    Tomará \(4\) segundos para que la piedra alcance su altura máxima de \(288\) pies.

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\)

    Una trayectoria de un cohete de juguete arrojado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de \(208\) pies/seg es modelada por la función cuadrática de \(h(t)=-16 t^{2}+208 t\). ¿Cuándo alcanzará el cohete su altura máxima? ¿Cuál será la altura máxima?

    Contestar

    Tomará \(6.5\) segundos para que el cohete alcance su altura máxima de \(676\) pies.

    Conceptos Clave

    • Orientación Parábola
      • Para la gráfica de la función cuadrática \(f(x)=a x^{2}+b x+c\), si
        • \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
        • \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.
    • Eje de Simetría y Vértice de una Parábola La gráfica de la función \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) es una parábola donde:
      • el eje de simetría es la línea vertical \(x=-\frac{b}{2 a}\).
      • el vértice es un punto en el eje de simetría, por lo que su \(x\)coordenada es \(-\frac{b}{2 a}\).
      • la \(y\)coordenada del vértice se encuentra sustituyendo \(x=-\frac{b}{2 a}\) en la ecuación cuadrática.
    • Encuentra las Intercepciones de una Parábola
      • Encontrar las interceptaciones de una parábola cuya función es \(f(x)=a x^{2}+b x+c\):
        • \(y\)-interceptar
          • Dejar \(x=0\) y resolver para \(f(x)\).
        • \(x\)-intercepta
          • Dejar \(f(x)=0\) y resolver para \(x\).
    • Cómo graficar una función cuadrática usando propiedades.
      1. Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
      2. Encuentra la ecuación del eje de simetría.
      3. Encuentra el vértice.
      4. Encuentra la \(y\)-intercepción. Encuentra el punto simétrico a la intercepción ya través del eje de simetría.
      5. Encuentra los \(x\)-interceptos. Encuentre puntos adicionales si es necesario.
      6. Grafica la parábola.
    • Valores mínimos o máximos de una ecuación cuadrática
      • La \(y\)coordenada del vértice de la gráfica de una ecuación cuadrática es la
      • valormínimo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba .
      • valormáximo de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo .

    Glosario

    función cuadrática
    Una función cuadrática, donde \(a, b\), y \(c\) son números reales y \(a≠0\), es una función de la forma \(f(x)=ax^{2}+bx+c\).

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