9.9: Resolver desigualdades cuadráticas
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Resolver desigualdades cuadráticas gráficamente
- Resuelve las desigualdades cuadráticas algebraicamente
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver: \(2x−3=0\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2. - Resolver: \(2y^{2}+y=15\).
Si se le pasó este problema, revise el Ejemplo 6.45. - Resuelve \(\frac{1}{x^{2}+2 x-8}>0\)
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 7.56.
Hemos aprendido a resolver desigualdades lineales y desigualdades racionales previamente. Algunas de las técnicas que utilizamos para resolverlos eran las mismas y otras eran diferentes. Ahora aprenderemos a resolver desigualdades que tienen una expresión cuadrática. Utilizaremos algunas de las técnicas de resolución de desigualdades lineales y racionales, así como ecuaciones cuadráticas. Resolveremos desigualdades cuadráticas de dos formas, tanto gráfica como algebraicamente.
Resolver desigualdades cuadráticas gráficamente
Una ecuación cuadrática está en forma estándar cuando se escribe como \(ax^{2}+bx+c=0\). Si sustituimos el signo igual por un signo de desigualdad, tenemos una desigualdad cuadrática en forma estándar.
Una desigualdad cuadrática es una desigualdad que contiene una expresión cuadrática. La forma estándar de una desigualdad cuadrática está escrita:
\(\begin{array}{ll}{a x^{2}+b x+c<0} & {a x^{2}+b x+c \leq 0} \\ {a x^{2}+b x+c>0} & {a x^{2}+b x+c \geq 0}\end{array}\)
La gráfica de una función cuadrática \(f(x)=a x^{2}+b x+c=0\) es una parábola. Cuando preguntamos cuándo es \(a x^{2}+b x+c<0\), estamos preguntando cuándo es \(f(x)<0\). Queremos saber cuando la parábola está por debajo del \(x\)eje.
Cuando preguntamos cuándo es \(a x^{2}+b x+c>0\), estamos preguntando cuándo es \(f(x)>0\). Queremos saber cuando la parábola está por encima del \(y\)eje.
Resolver \(x^{2}−6x+8<0\) gráficamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
Solución:
Paso 1: Escribe la desigualdad cuadrática en forma estándar.
La desigualdad está en forma estándar.
\(x^{2}-6 x+8<0\)
Paso 2: Grafica la función \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) usando propiedades o transformaciones.
Vamos a graficar usando las propiedades.
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
Mira \(a\) en la ecuación.
\(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\)
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
Como \(a\) es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
La parábola se abre hacia arriba.
\(f(x)=x^{2}-6 x+8\)
El eje de simetría es la línea \(x=-\frac{b}{2 a}\).
Eje de simetría
\(x=-\frac{b}{2 a}\)
\(\begin{array}{l}{x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}} \\ {x=3}\end{array}\)
El eje de simetría es la línea \(x=3\).
El vértice está en el eje de simetría. Sustituir \(x=3\) en la función.
Vértice
\(\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8} \\ {f(3)=-1}\end{array}\)
El vértice es \((3,-1)\).
Encontramos \(f(0)\)
\(y\)-interceptar
\(\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8} \\ {f(0)=8}\end{array}\)
El \(y\)-intercepto es \((0.8)\).
Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la \(y\)-intercepción. La \(y\)-intercepción es \(3\) unidades a la izquierda del eje de simetría, \(x=3\). Un punto \(3\) unidades a la derecha del eje de simetría tiene \(x=6\).
Punto simétrico a \(y\)-interceptar
El punto es \((6,8)\).
Nosotros resolvemos \(f(x)=0\).
\(x\)-intercepta
Podemos resolver esta ecuación cuadrática por factoring.
\(\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}(x-2)(x-4) \\ x &=2 \text { or } x=4 \end{aligned}\)
Los \(x\)-interceptos son \((2,0)\) y \((4,0)\).
Gráficamos el vértice, las intercepciones y el punto simétrico al \(y\)-intercepto. Conectamos estos \(5\) puntos para esbozar la parábola.
Paso 3: Determinar la solución a partir de la gráfica.
\(x^{2}-6 x+8<0\)
La desigualdad pide los valores de los \(x\) cuales hacen que la función sea menor que \(0\). Qué valores de \(x\) hacer la parábola por debajo del \(x\)eje.
No incluimos los valores \(2\), \(4\) ya que la desigualdad es menor que sólo.
La solución, en notación de intervalo, es \((2,4)\).
- Resolver \(x^{2}+2 x-8<0\) gráficamente
- Escribe la solución en notación de intervalos
- Contestar
-
Figura 9.8.4- \((-4,2)\)
- Resolver \(x^{2}-8 x+12 \geq 0\) gráficamente
- Escribe la solución en notación de intervalos
- Contestar
-
Figura 9.8.5- \((-\infty, 2] \cup[6, \infty)\)
Enumeramos gráficamente los pasos a seguir para resolver una desigualdad cuadrática.
Resuelve una desigualdad cuadrática gráficamente
- Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar.
- Grafica la función \(f(x)=ax^{2}+bx+c\).
- Determinar la solución a partir de la gráfica.
En el último ejemplo, la parábola se abrió hacia arriba y en el siguiente, se abre hacia abajo. En ambos casos, estamos buscando la parte de la parábola que está por debajo del \(x\)eje -pero notamos cómo la posición de la parábola afecta la solución.
Resolver \(-x^{2}-8 x-12 \leq 0\) gráficamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
Solución:
| La desigualdad cuadrática en forma estándar. | \(-x^{2}-8 x-12 \leq 0\) |
|
Grafica la función \(f(x)=-x^{2}-8 x-12\) |
La parábola se abre hacia abajo. |
| Encuentra la línea de simetría. | \(\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{2 a}} \\ {x=-\frac{-8}{2(-1)}} \\ {x=-4}\end{array}\) |
| Encuentra el vértice. |
\(\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-8 x-12 \\ f(-4) &=-(-4)^{2}-8(-4)-12 \\ f(-4) &=-16+32-12 \\ & f(-4)=4 \end{aligned}\) Vértice \((-4,4)\) |
| Encuentra las \(x\)-intercepciones. Vamos \(f(x)=0\). | \(\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-8 x-12 \\ 0 &=-x^{2}-8 x-12 \end{aligned}\) |
| Factor: Utilice la Propiedad de Producto Cero. | \(\begin{array}{l}{0=-1(x+6)(x+2)} \\ {x=-6 \quad x=-2}\end{array}\) |
| Grafica la parábola. |
\(x\)-intercepta \((-6,0), (-2.0)\) |
| Determinar la solución a partir de la gráfica. Incluimos los \(x\)-interceptos ya que la desigualdad es “menor o igual a”. | \((-\infty,-6] \cup[-2, \infty)\) |
- Resolver \(-x^{2}-6 x-5>0\) gráficamente
- Escribe la solución en notación de intervalos
- Contestar
-
Figura 9.8.8- \((-5,-1)\)
- Resolver \(−x^{2}+10x−16≤0\) gráficamente
- Escribe la solución en notación de intervalos
- Contestar
-
Figura 9.8.9- \((-\infty, 2] \cup[8, \infty)\)
Resolver las desigualdades cuadráticas algebraicamente
El método algebraico que usaremos es muy similar al método que empleamos para resolver desigualdades racionales. Encontraremos los puntos críticos para la desigualdad, que serán las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada. Recuerde que una expresión polinómica puede cambiar signos solo donde la expresión es cero.
Utilizaremos los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos y luego determinar si la expresión cuadrática será positiva o negativa en el intervalo. Determinamos entonces la solución para la desigualdad.
Resolver \(x^{2}-x-12 \geq 0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
Solución:
| Paso 1: Escribe la desigualdad cuadrática en forma estándar. | La desigualdad está en forma estándar. | \(x^{2}-x-12 \geq 0\) |
| Paso 2: Determinar los puntos críticos: las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada. | Cambiar el signo de desigualdad a un signo igual y luego resolver la ecuación. | \(\begin{array}{c}{x^{2}-x-12=0} \\ {(x+3)(x-4)=0} \\ {x+3=0 \quad x-4=0} \\ {x=-3 \quad x=4}\end{array}\) |
| Paso 3: Usa los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos. | Utilice \(-3\) y \(4\) para dividir la línea numérica en intervalos. |  |
| Paso 4: Encima de la línea numérica mostrar el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituido de la desigualdad original. |
Prueba: \(x=-5\) \(x=0\) \(x=5\) |
\(\begin{array}{ccc}{x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} \\ {(-5)^{2}-(-5)-12} & {0^{2}-0-12} & {5^{2}-5-12} \\ {18} & {-12} & {8}\end{array}\) 
|
| Paso 5: Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos. |
\(x^{2}-x-12 \geq 0\) La desigualdad es positiva en el primer y último intervalo e iguala \(0\) en los puntos \(-4,3\). |
La solución, en notación de intervalo, es \((-\infty,-3] \cup[4, \infty)\). |
Resolver \(x^{2}+2x−8≥0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\((-\infty,-4] \cup[2, \infty)\)
Resolver \(x^{2}−2x−15≤0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\([-3,5]\)
En este ejemplo, dado que la expresión \(x^{2}−x−12\) factores amablemente, también podemos encontrar el signo en cada intervalo al igual que lo hicimos cuando resolvimos desigualdades racionales. Encontramos el signo de cada uno de los factores, y luego el signo del producto. A nuestra línea numérica le gustaría esto:
El resultado es el mismo que encontramos usando el otro método.
Aquí resumimos los pasos.
Resolver una desigualdad cuadrática algebraicamente
- Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar.
- Determinar los puntos críticos: las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada.
- Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.
- Por encima de la línea numérica se muestra el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituido en la desigualdad original.
- Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.
Resolver \(x^{2}+6x−7≥0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
Solución:
| Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar. | \(-x^{2}+6 x-7 \geq 0\) |
| Multiplica ambos lados de la desigualdad por \(-1\). Acuérdate de revertir el signo de desigualdad. | \(x^{2}-6 x+7 \leq 0\) |
| Determinar los puntos críticos resolviendo la ecuación cuadrática relacionada. | \(x^{2}-6 x+7=0\) |
| Escribe la Fórmula Cuadrática. | \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) |
| Entonces sustituya en los valores de \(a, b, c\). | \(x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(7)}}{2 \cdot 1}\) |
| Simplificar. | \(x=\frac{6 \pm \sqrt{8}}{2}\) |
| Simplifica lo radical. | \(x=\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2}\) |
| Eliminar el factor común, \(2\). | \(\begin{array}{l}{x=\frac{2(3 \pm \sqrt{2})}{2}} \\ {x=3 \pm \sqrt{2}} \\ {x=3+\sqrt{2}} \quad x=3-\sqrt{2} \\ {x \approx 1.6}\quad\quad\:\:\: x\approx 4.4\end{array}\) |
| Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos. Números de prueba de cada intervalo en la desigualdad original. | |
| Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos. | \(-x^{2}+6 x-7 \geq 0\) en el intervalo medio \([3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}]\) |
Resolver \(−x^{2}+2x+1≥0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\([-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}]\)
Resolver \(−x^{2}+8x−14<0\) algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.
- Contestar
-
\((-\infty, 4-\sqrt{2}) \cup(4+\sqrt{2}, \infty)\)
Las soluciones de las desigualdades cuadráticas en cada uno de los ejemplos anteriores, fueron un intervalo o la unión de dos intervalos. Esto se debió a que, en cada caso, encontramos dos soluciones a la ecuación cuadrática correspondiente \(ax^{2}+bx+c=0\). Estas dos soluciones nos dieron entonces las dos \(x\)interceptaciones para la gráfica o los dos puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.
Esto se correlaciona con nuestra discusión previa del número y tipo de soluciones a una ecuación cuadrática utilizando el discriminante.
Para una ecuación cuadrática de la forma \(ax^{2}+bc+c=0, a≠0\).
La última fila de la tabla nos muestra cuando las parábola nunca se cruzan con el \(x\)eje. Utilizando la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática, la radicanda es negativa. Obtenemos dos soluciones complejas.
En el siguiente ejemplo, las soluciones de desigualdad cuadrática resultarán de que la solución de la ecuación cuadrática sea compleja.
Resuelve, escribiendo cualquier solución en notación de intervalos:
- \(x^{2}-3 x+4>0\)
- \(x^{2}-3 x+4 \leq 0\)
Solución:
a.
| Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar. | \(-x^{2}-3 x+4>0\) |
| Determinar los puntos críticos resolviendo la ecuación cuadrática relacionada. | \(x^{2}-3 x+4=0\) |
| Escribe la Fórmula Cuadrática. | \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) |
| Entonces sustituya en los valores de \(a, b, c\). | \(x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(4)}}{2 \cdot 1}\) |
| Simplificar. | \(x=\frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}\) |
| Simplificar el radicando. | \(x=\frac{3 \pm \sqrt{7 i}}{2}\) |
| Las soluciones complejas nos dicen que la parábola no intercepta el \(x\)eje. También, la parábola se abre hacia arriba. Esto nos dice que la parábola está completamente por encima del \(x\)eje. |
Soluciones complejas |
Estamos para encontrar la solución a \(x^{2}−3x+4>0\). Dado que para todos los valores de \(x\) la gráfica está por encima del \(x\)eje -, todos los valores de \(x\) hacen que la desigualdad sea verdadera. En notación de intervalos escribimos \((−∞,∞)\).
b. Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar.
\(x^{2}-3 x+4 \leq 0\)
Determinar los puntos críticos resolviendo la ecuación cuadrática relacionada.
\(x^{2}-3 x+4=0\)
Dado que la ecuación cuadrática correspondiente es la misma que en la parte (a), la parábola será la misma. La parábola se abre hacia arriba y está completamente por encima del \(x\)eje, ninguna parte de ella está por debajo del \(x\)eje.
Estamos para encontrar la solución a \(x^{2}−3x+4≤0\). Dado que para todos los valores de \(x\) la gráfica nunca está por debajo del \(x\)eje -, no hay valores de \(x\) hacer realidad la desigualdad. No hay solución a la desigualdad.
Resuelve y escribe cualquier solución en notación de intervalos:
- \(-x^{2}+2 x-4 \leq 0\)
- \(-x^{2}+2 x-4 \geq 0\)
- Contestar
-
- \((-\infty, \infty)\)
- no hay solución
Resuelve y escribe cualquier solución en notación de intervalos:
- \(x^{2}+3 x+3<0\)
- \(x^{2}+3 x+3>0\)
- Contestar
-
- no hay solución
- \((-\infty, \infty)\)
Conceptos Clave
- Resuelve una desigualdad cuadrática gráficamente
- Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar.
- Grafica la función \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) usando propiedades o transformaciones.
- Determinar la solución a partir de la gráfica.
- Cómo resolver una desigualdad cuadrática algebraicamente
- Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar.
- Determinar los puntos críticos — las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada.
- Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos.
- Por encima de la línea numérica se muestra el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituido en la desigualdad original.
- Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.
Glosario
- desigualdad cuadrática
- Una desigualdad cuadrática es una desigualdad que contiene una expresión cuadrática.