Capítulo 10 Ejercicios de revisión
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Búsqueda de funciones compuestas e inversas
En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, encuentra
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
1. \(f(x)=7 x-2\) y \(g(x)=5 x+1\)
2. \(f(x)=4 x\) y \(g(x)=x^{2}+3 x\)
- Contestar
-
2.
- \(4 x^{2}+12 x\)
- \(16 x^{2}+12 x\)
- \(4 x^{3}+12 x^{2}\)
En los siguientes ejercicios, evalúe la composición.
- Para las funciones \(f(x)=3 x^{2}+2\) y \(g(x)=4 x-3\), encontrar
- \((f \circ g)(-3)\)
- \((g \circ f)(-2)\)
- \((f \circ f)(-1)\)
- Para las funciones \(f(x)=2 x^{3}+5\) y \(g(x)=3 x^{2}-7\), encontrar
- \((f \circ g)(-1)\)
- \((g \circ f)(-2)\)
- \((g \circ g)(1)\)
- Contestar
-
2.
- \(-123\)
- \(356\)
- \(41\)
En los siguientes ejercicios, para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y si es así, es la función uno-a-uno.
- \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
- \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
- \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)
- Contestar
-
2. Función; no uno a uno
En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno-a-uno.
-
Figura 10.E.1
Figura 10.E.2
-
Figura 10.E.3
Figura 10.E.4
- Contestar
-
1.
- Función; no uno a uno
- No es una función
En el siguiente ejercicio, encuentra el inverso de la función. Determinar el dominio y rango de la función inversa.
- \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)
- Contestar
-
1. Función inversa: \(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). Dominio: \(\{1,2,5,10\}\). Rango: \(\{-3,-2,-1,0\}\).
En el siguiente ejercicio, grafica la inversa de la función uno-a-uno mostrada.
- Contestar
-
Resuelve por tu cuenta
En los siguientes ejercicios, verifique que las funciones sean funciones inversas.
- \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
- \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)
- Contestar
-
1. \(g(f(x))=x,\) y \(f(g(x))=x,\) por lo tanto son inversos.
- \(f(x)=6 x-11\)
- \(f(x)=x^{3}+13\)
- \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
- \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)
- Contestar
-
1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)
3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)
Evaluar y graficar funciones exponenciales
En los siguientes ejercicios, grafica cada una de las siguientes funciones.
- \(f(x)=4^{x}\)
- \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
- \(g(x)=(0.75)^{x}\)
- \(g(x)=3^{x+2}\)
- \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
- \(f(x)=e^{x}+5\)
- \(f(x)=-e^{x}\)
- Contestar
-
1.
Figura 10.E.6 3.
Figura 10.E.7 5.
Figura 10.E.8 7.
Figura 10.E.9
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.
- \(3^{5 x-6}=81\)
- \(2^{x^{2}}=16\)
- \(9^{x}=27\)
- \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
- \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
- \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)
- Contestar
-
2. \(x=-2, x=2\)
4. \(x=-1\)
6. \(x=-3, x=5\)
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- Félix invirtió $\(12,000\) en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés es \(4\)% ¿cuánto habrá en la cuenta en \(12\) años por cada método de compounding?
- compuesto trimestral
- compuesto mensual
- compuesto continuamente
- Sayed deposita $\(20,000\) en una cuenta de inversión. ¿Cuál será el valor de su inversión en \(30\) años si la inversión está ganando \(7\)% anual y se agrava continuamente?
- Un investigador del Centro para el Control y Prevención de Enfermedades está estudiando el crecimiento de una bacteria. Ella inicia su experimento con \(150\) de la bacteria que crece a una tasa de \(15\)% por hora. Ella revisará la bacteria cada \(24\) hora. ¿Cuántas bacterias encontrará en \(24\) horas?
- En los últimos cinco años la población de Estados Unidos ha crecido a una tasa de \(0.7\)% anual a aproximadamente \(318,900,000\). Si esta tasa continúa, ¿cuál será la población en \(5\) más años?
- Contestar
-
2. \(\$ 163,323.40\)
4. \(330,259,000\)
Evaluar y graficar funciones logarítmicas
En los siguientes ejercicios, conviértalo de forma exponencial a logarítmica.
- \(5^{4}=625\)
- \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
- \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
- \(e^{y}=16\)
- Contestar
-
2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)
4. \(\ln 16=y\)
En los siguientes ejercicios, convierte cada ecuación logarítmica a forma exponencial.
- \(7=\log _{2} 128\)
- \(5=\log 100,000\)
- \(4=\ln x\)
- Contestar
-
2. \(100000=10^{5}\)
En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\).
- \(\log _{x} 125=3\)
- \(\log _{7} x=-2\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)
- Contestar
-
1. \(x=5\)
3. \(x=4\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora.
- \(\log _{2} 32\)
- \(\log _{8} 1\)
- \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
- Contestar
-
2. \(0\)
En los siguientes ejercicios, grafica cada función logarítmica.
- \(y=\log _{5} x\)
- \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
- \(y=\log _{0.8} x\)
- Contestar
-
1.
Figura 10.E.10 3.
Figura 10.E.11
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación logarítmica.
- \(\log _{a} 36=5\)
- \(\ln x=-3\)
- \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
- \(\ln e^{3 x}=24\)
- \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)
- Contestar
-
2. \(x=e^{-3}\)
4. \(x=8\)
¿Cuál es el nivel de decibelios de un silbato de tren con \(10^{−3}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
- Contestar
-
\(90\) dB
Utilizar las propiedades de los logaritmos
En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar.
-
- \(\log _{7} 1\)
- \(\log _{12} 12\)
-
- \(5^{\log _{5} 13}\)
- \(\log _{3} 3^{-9}\)
-
- \(10^{\log \sqrt{5}}\)
- \(\log 10^{-3}\)
-
- \(e^{\ln 8}\)
- \(\ln e^{5}\)
- Contestar
-
2.
- \(13\)
- \(-9\)
4.
- \(8\)
- \(5\)
En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Producto de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique si es posible.
- \(\log _{4}(64 x y)\)
- \(\log 10,000 m\)
- Contestar
-
2. \(4+\log m\)
En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Cociente de los Logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplificar, si es posible.
- \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
- \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)
- Contestar
-
2. \(5-\ln 2\)
En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para expandir cada logaritmo. Simplificar, si es posible.
- \(\log x^{-9}\)
- \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)
- Contestar
-
2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)
En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplifique si es posible.
- \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
- \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
- \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
- \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)
- Contestar
-
2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)
4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)
En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo. Simplifique si es posible.
- \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
- \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
- \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
- \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)
- Contestar
-
2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)
4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)
En los siguientes ejercicios, redondeando a tres decimales, aproxima cada logaritmo.
- \(\log _{5} 97\)
- \(\log _{\sqrt{3}} 16\)
- Contestar
-
2. \(5.047\)
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En los siguientes ejercicios, resuelve para \(x\).
- \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
- \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
- \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
- \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
- \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)
- Contestar
-
2. \(x=4\)
4. \(x=3\)
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- \(2^{x}=101\)
- \(e^{x}=23\)
- \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
- \(7 e^{x+3}=28\)
- \(e^{x-4}+8=23\)
- Contestar
-
1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)
3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)
5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)
- Jerome invierte $\(18,000\) a la edad \(17\). Espera que las inversiones valgan $\(30,000\) cuando gire \(26\). Si el interés se compone continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo? ¿Es eso una expectativa razonable?
- Elise invierte $\(4500\) en una cuenta que aumenta los intereses mensualmente y gana \(6\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
- Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de \(100\) a \(300\) en \(8\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en \(24\) horas?
- Las poblaciones de ratones pueden duplicarse en \(8\) meses \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tiempo tardará en triplicar una población de ratones?
- La vida media del yodo radiactivo es de \(60\) días. ¿Cuánto de una muestra de \(50\) mg quedará en \(40\) días?
- Contestar
-
2. \(11.6\) años
4. \(12.7\) meses
Prueba de práctica
- Para las funciones, \(f(x)=6x+1\) y \(g(x)=8x−3\), encontrar
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Determine si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función y si es así, es la función uno a uno. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
- Determina si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno-a-uno.
Figura 10.E.12
Figura 10.E.13
- Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno a uno que se muestra.
5. Encuentra el inverso de la función \(f(x)=x^{5}−9\).
6. Grafica la función \(g(x)=2^{x-3}\).
7. Resuelve la ecuación \(2^{2 x-4}=64\).
8. Resuelve la ecuación \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).
9. Megan invirtió $\(21,000\) en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés es \(5\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en \(8\) años por cada método de compounding?
- compuesto trimestral
- compuesto mensual
- compuesto continuamente
10. Convertir la ecuación de forma exponencial a logarítmica: \(10^{-2}=\frac{1}{100}\).
11. Convertir la ecuación de ecuación logarítmica a forma exponencial: \(3=\log _{7} 343\).
12. Resolver para \(x\): \(\log _{5} x=-3\)
13. Evaluar registro \(_{11} 1\).
14. Evaluar \(\log _{4} \frac{1}{64}\).
15. Grafica la función \(y=\log _{3} x\).
16. Resolver para \(x\): \(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)
17. ¿Cuál es el nivel de decibelios de un ventilador pequeño con \(10^{−8}\) vatios de intensidad por pulgada cuadrada?
18. Evaluar cada uno.
- \(6^{\log _{6} 17}\)
- \(\log _{9} 9^{-3}\)
- Contestar
-
1.
- \(48 x-17\)
- \(48 x+5\)
- \(48 x^{2}-10 x-3\)
3.
- No es una función
- Función uno a uno
5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)
7. \(x=5\)
9.
- $\(31,250.74\)
- $\(31,302.29\)
- $\(31,328.32\)
11. \(343=7^{3}\)
13. \(0\)
15.
Figura 10.E.15 17. \(40\) dB
En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión como una suma de logaritmos, simplificando si es posible.
- \(\log _{5} 25 a b\)
- \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
- \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)
- Contestar
-
1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)
3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)
En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de los Logaritmos para condensar el logaritmo, simplificando si es posible.
- \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
- \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
- Redondeo a tres decimales, aproximado \(\log _{4} 73\).
- Resolver para \(x\): \(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)
- Contestar
-
2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)
4. \(x=6\)
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.
- \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
- \(5 e^{x-4}=40\)
- Jacob invierte $\(14,000\) en una cuenta que multiplica intereses trimestralmente y gana \(4\)%. ¿Cuánto tardará en duplicarse su dinero?
- Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de \(500\) a \(700\) en \(5\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en \(20\) horas?
- Cierta población de escarabajos puede duplicarse en \(3\) meses \(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tardará en triplicar esa población de escarabajos?
- Contestar
-
2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)
4. \(1,921\) bacterias