7.1: Introducción al álgebra booleana

Las reglas matemáticas se basan en los límites definitorios que colocamos a las cantidades numéricas particulares tratadas. Cuando decimos que 1 + 1 = 2 o 3 + 4 = 7, estamos implicando el uso de cantidades enteras: los mismos tipos de números que todos aprendimos a contar en la educación primaria. Lo que la mayoría de la gente asume que son reglas de aritmética evidentes, válidas en todo momento y para todos los fines, en realidad depende de lo que definamos un número para ser.

Por ejemplo, al calcular cantidades en circuitos de CA, encontramos que las cantidades de números “reales” que nos sirvieron tan bien en el análisis de circuitos de CC son inadecuadas para la tarea de representar cantidades de CA. Sabemos que los voltajes se agregan cuando se conectan en serie, pero también sabemos que es posible conectar una fuente de CA de 3 voltios en serie con una fuente de CA de 4 voltios y terminar con un voltaje total de 5 voltios (¡3 + 4 = 5)! ¿Significa esto que se han violado las reglas inviolables y evidentes de la aritmética? No, solo significa que las reglas de los números “reales” no se aplican a los tipos de cantidades que se encuentran en los circuitos de CA, donde cada variable tiene tanto una magnitud como una fase. En consecuencia, debemos usar un tipo diferente de cantidad numérica, u objeto, para los circuitos de CA (números complejos, en lugar de números reales), y junto con este sistema diferente de números viene un conjunto diferente de reglas que nos dicen cómo se relacionan entre sí.

Una expresión como “3 + 4 = 5” no tiene sentido dentro del alcance y definición de números reales, pero encaja muy bien dentro del alcance y definición de números complejos (piense en un triángulo rectángulo con lados opuestos y adyacentes de 3 y 4, con una hipotenusa de 5). Debido a que los números complejos son bidimensionales, son capaces de “sumarse” entre sí trigonométricamente ya que los números “reales” de una sola dimensión no pueden.

Leyes matemáticas y “lógica difusa”

La lógica es muy parecida a las matemáticas en este sentido: las llamadas “Leyes” de la lógica dependen de cómo definamos qué es una proposición. El filósofo griego Aristóteles fundó un sistema de lógica basado únicamente en dos tipos de proposiciones: la verdadera y la falsa. Su definición bivalente (bimodal) de verdad condujo a las cuatro leyes fundacionales de la lógica: la Ley de la Identidad (A es A); la Ley de la no contradicción (A no es no-A); la Ley del Medio Excluido (ya sea A o no-A); y la Ley de Inferencia Racional. Estas llamadas Leyes funcionan dentro del ámbito de la lógica donde una proposición se limita a uno de los dos valores posibles, pero pueden no aplicarse en los casos en que las proposiciones puedan contener valores distintos de “verdadero” o “falso”. De hecho, se ha trabajado mucho y se sigue haciendo sobre la lógica “multivalor” o difusa, donde las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas en un grado limitado. En tal sistema de lógica, “Leyes” como la Ley del Medio Excluido simplemente no se aplican, porque se basan en el supuesto de bivalencia. De igual manera, muchas premisas que violarían la Ley de no contradicción en la lógica aristotélica tienen validez en la lógica “difusa”. Nuevamente, los límites definitorios de los valores proposicionales determinan las Leyes que describen sus funciones y relaciones.

El nacimiento del álgebra booleana

El matemático inglés George Boole (1815-1864) buscó dar forma simbólica al sistema de lógica de Aristóteles. Boole escribió un tratado sobre el tema en 1854, titulado Una investigación de las leyes del pensamiento, sobre las cuales se fundamentan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades, que codificaba varias reglas de relación entre cantidades matemáticas limitadas a uno de dos valores posibles: verdadero o falso, 1 o 0. Su sistema matemático llegó a ser conocido como álgebra booleana.

Todas las operaciones aritméticas realizadas con cantidades booleanas tienen solo uno de dos resultados posibles: ya sea 1 o 0. No hay tal cosa como “2” o “-1” o “1/2” en el mundo booleano. Es un mundo en el que todas las demás posibilidades son inválidas por fiat. Como se podría adivinar, este no es el tipo de matemáticas que desea usar al equilibrar una chequera o calcular la corriente a través de una resistencia. Sin embargo, Claude Shannon de la fama del MIT reconoció cómo el álgebra booleana podría aplicarse a circuitos de encendido y apagado, donde todas las señales se caracterizan como “altas” (1) o “bajas” (0). Su tesis de 1938, titulada Un análisis simbólico de circuitos de relé y conmutación, puso en uso el trabajo teórico de Boole de una manera que Boole nunca podría haber imaginado, dándonos una poderosa herramienta matemática para diseñar y analizar circuitos digitales.

Álgebra Booleana vs “Álgebra Normal”

En este capítulo, encontrarás muchas similitudes entre álgebra booleana y álgebra “normal”, el tipo de álgebra que involucra los llamados números reales. Solo hay que tener en cuenta que el sistema de números que define álgebra booleana está severamente limitado en términos de alcance, y que sólo puede haber uno de dos valores posibles para cualquier variable booleana: 1 o 0. En consecuencia, las “Leyes” del álgebra booleana a menudo difieren de las “Leyes” del álgebra de números reales, haciendo posibles declaraciones tales como 1 + 1 = 1, que normalmente se considerarían absurdas. Una vez que comprendes la premisa de que todas las cantidades en álgebra booleana están limitadas a las dos posibilidades de 1 y 0, y el principio filosófico general de las Leyes dependiendo de las definiciones cuantitativas, el “disparate” del álgebra booleana desaparece.

Números booleanos vs. números binarios

Debe entenderse claramente que los números booleanos no son lo mismo que los números binarios. Mientras que los números booleanos representan un sistema matemático completamente diferente al de los números reales, el binario no es más que una notación alternativa para los números reales. Los dos suelen confundirse porque tanto la matemática booleana como la notación binaria usan los mismos dos cifrados: 1 y 0. La diferencia es que las cantidades booleanas están restringidas a un solo bit (ya sea 1 o 0), mientras que los números binarios pueden estar compuestos por muchos bits sumando en forma ponderada por lugar a un valor de cualquier tamaño finito. El número binario 10011 ₂ (“diecinueve”) no tiene más lugar en el mundo booleano que el número decimal 2 ₁₀ (“dos”) o el número octal 32 ₈ (“veintiséis”).