7.2: Aritmética booleana

Comencemos nuestra exploración del álgebra booleana sumando números:

Las tres primeras sumas tienen perfecto sentido para cualquiera que esté familiarizado con la adición elemental. La última suma, sin embargo, es muy posiblemente responsable de más confusión que cualquier otra afirmación única en la electrónica digital, porque parece ir en contra de los principios básicos de las matemáticas. Bueno, sí contradice principios de suma para números reales, pero no para números booleanos. Recuerda que en el mundo del álgebra booleana, solo hay dos valores posibles para cualquier cantidad y para cualquier operación aritmética: 1 o 0. No existe tal cosa como “2” dentro del alcance de los valores booleanos. Dado que la suma “1 + 1” ciertamente no es 0, debe ser 1 por proceso de eliminación.

Tampoco importa cuántos o pocos términos sumemos. Considera las siguientes sumas:

Eche un vistazo de cerca a las sumas de dos plazos en el primer conjunto de ecuaciones. ¿Te resulta familiar ese patrón? ¡Debería! Es el mismo patrón de 1's y 0's como se ve en la tabla de verdad para una puerta OR. En otras palabras, la suma booleana corresponde a la función lógica de una puerta “OR”, así como a los contactos de conmutación paralelos:

No existe tal cosa como la resta en el ámbito de las matemáticas booleanas. La resta implica la existencia de números negativos: 5 - 3 es lo mismo que 5 + (-3), y en álgebra booleana se prohíben las cantidades negativas. Tampoco existe tal cosa como la división en las matemáticas booleanas, ya que la división en realidad no es más que una resta agravada, de la misma manera que la multiplicación es suma agravada.

La multiplicación es válida en álgebra booleana, y por suerte es lo mismo que en el álgebra de números reales: cualquier cosa multiplicada por 0 es 0, y cualquier cosa multiplicada por 1 permanece sin cambios:

Este conjunto de ecuaciones también debería parecerte familiar: es el mismo patrón que se encuentra en la tabla de verdad para una puerta AND. En otras palabras, la multiplicación booleana corresponde a la función lógica de una puerta “AND”, así como a los contactos de conmutación en serie:

Al igual que el álgebra “normal”, el álgebra booleana utiliza letras alfabéticas para denotar variables. Sin embargo, a diferencia del álgebra “normal”, las variables booleanas son siempre mayúsculas, nunca minúsculas. Debido a que se les permite poseer solo uno de dos valores posibles, ya sea 1 o 0, todas y cada una de las variables tienen un complemento: el opuesto de su valor. Por ejemplo, si la variable “A” tiene un valor de 0, entonces el complemento de A tiene un valor de 1. La notación booleana usa una barra encima del carácter variable para denotar complementación, así:

En forma escrita, el complemento de “A” se denota como “A-not” o “A-bar”. A veces se usa un símbolo “primo” para representar la complementación. Por ejemplo, A' sería el complemento de A, lo mismo que usar un símbolo primo para denotar diferenciación en cálculo en lugar de la notación fraccionaria d/dt. Por lo general, sin embargo, el símbolo de “barra” encuentra un uso más generalizado que el símbolo “primo”, por razones que se harán más evidentes más adelante en este capítulo.

La complementación booleana encuentra equivalencia en la forma de la puerta NOT, o un interruptor o contacto de relé normalmente cerrado:

La definición básica de cantidades booleanas ha llevado a las reglas simples de suma y multiplicación, y ha excluido tanto la resta como la división como operaciones aritméticas válidas. Tenemos una simbología para denotar variables booleanas, y sus complementos. En la siguiente sección procederemos a desarrollar identidades booleanas.

Revisar

• La adición booleana es equivalente a la función lógica OR, así como a los contactos de conmutación paralelos.
• La multiplicación booleana es equivalente a la función lógica AND, así como a los contactos de conmutación en serie.
• La complementación booleana es equivalente a la función lógica NOT, así como a los contactos de relé normalmente cerrados.