8.4: Hacer que un diagrama de Venn parezca un mapa de Karnaugh

Comenzando con el círculo A en un universo A' rectangular en la figura (a) de abajo, transformamos un diagrama de Venn en casi un mapa de Karnaugh.

Expandimos el círculo A en (b) y (c), nos conformamos al universo rectangular A' en (d) y cambiamos A a un rectángulo en (e). Cualquier cosa que quede fuera de A es A'. Asignamos un rectángulo a A' en (f). Además, no utilizamos sombreado en los mapas de Karnaugh. Lo que tenemos hasta ahora se asemeja a un mapa de Karnaugh de 1 variable, pero es de poca utilidad. Necesitamos múltiples variables.

La figura (a) anterior es la misma que el diagrama de Venn anterior que muestra A y A' anteriores excepto que las etiquetas A y A' están por encima del diagrama en lugar de dentro de las regiones respectivas. Imagínese que hemos pasado por un proceso similar a las figuras (a-f) para obtener un “diagrama cuadrado de Venn” para B y B' como mostramos en la figura media (b). Ahora vamos a superponer los diagramas en las Figuras (a) y (b) para obtener el resultado en (c), tal como lo hemos estado haciendo para los diagramas de Venn. La razón por la que hacemos esto es para que podamos observar aquello que puede ser común a dos regiones superpuestas, digamos donde A se superpone a B. La celda inferior derecha en la figura (c) corresponde a AB donde A se solapa con B.

No perdemos el tiempo dibujando un mapa de Karnaugh como (c) anterior, dibujando una versión simplificada como arriba a la izquierda en su lugar. Se entiende que la columna de dos celdas bajo A' está asociada con A', y el encabezado A se asocia con la columna de celdas debajo de ella. La fila encabezada por B' está asociada con las celdas a la derecha de la misma. De manera similar B se asocia con las celdas a la derecha del mismo. En aras de la simplicidad, no delineamos las diversas regiones con tanta claridad como con los diagramas de Venn.

El mapa de Karnaugh arriba a la derecha es una forma alternativa utilizada en la mayoría de los textos. Los nombres de las variables se listan junto a la línea diagonal. La A por encima de la diagonal indica que la variable A (y A') está asignada a las columnas. El 0 es un sustituto de A', y el 1 sustituye a A. La B debajo de la diagonal está asociada con las filas: 0 para B' y 1 para B

Ejemplo:

Marcar la celda correspondiente a la expresión booleana AB en el mapa de Karnaugh anterior con un 1

Solución:

Sombra o circule la región correspondiente a A. Después, sombrear o encerrar la región correspondiente a B. El solapamiento de las dos regiones es AB. Coloque un 1 en esta celda. No necesariamente encerramos las regiones A y B como arriba a la izquierda.

Desarrollamos un mapa de Karnaugh de 3 variables arriba, comenzando con el diagrama de Venn como regiones. El universo (dentro del rectángulo negro) se divide en dos regiones rectangulares estrechas estrechas para A' y A. Las variables B' y B dividen el universo en dos regiones cuadradas. C ocupa una región cuadrada en el centro del rectángulo, con C' dividido en dos rectángulos verticales a cada lado del cuadrado C.

En la figura final, superponemos las tres variables, intentando etiquetar claramente las distintas regiones. Las regiones son menos obvias sin impresión en color, más obvias en comparación con las otras tres figuras. Este K-Map de 3 variables (mapa de Karnaugh) tiene 2 ³ = 8 celdas, los cuadrados pequeños dentro del mapa. Cada celda individual se identifica de manera única por las tres Variables Booleanas (A, B, C). Por ejemplo, ABC' selecciona únicamente la celda inferior derecha (*), A'B'C' selecciona la celda superior izquierda (x).

Normalmente no etiquetamos el mapa de Karnaugh como se muestra arriba a la izquierda. Aunque esta figura muestra claramente la cobertura del mapa por variables booleanas únicas de una región de 4 celdas. Los mapas de Karnaugh están etiquetados como la ilustración de la derecha. Cada celda todavía se identifica de manera única por un término de producto de 3 variables, una expresión booleana AND. Tomemos, por ejemplo, ABC' siguiendo la fila A a la derecha y la columna BC' hacia abajo, ambas intersectándose en la celda inferior derecha ABC'. Ver (*) figura anterior.

Las dos formas diferentes anteriores de un mapa de Karnaugh de 3 variables son equivalentes, y es la forma final que toma. La versión a la derecha es un poco más fácil de usar, ya que no tenemos que anotar tantos encabezados alfabéticos booleanos y barras de complemento, tan solo 1 s y 0 s Usa la forma de mapa a la derecha y busca el de la izquierda en algunos textos. Los encabezados de columna a la izquierda B'C', B'C, BC, BC' son equivalentes a 00, 01, 11, 10 a la derecha. Los encabezados de fila A, A' son equivalentes a 0, 1 en el mapa de la derecha.