8.3: Relaciones booleanas en diagramas de Venn

El cuarto ejemplo tiene A parcialmente solapado B. Sin embargo, primero veremos toda el área sombreada debajo, luego solo la región superpuesta. Vamos a asignar algunas expresiones booleanas a las regiones de arriba como se muestra a continuación.
Abajo a la izquierda hay un área rayada horizontal roja para A. Hay un área rayada vertical azul para B.

Si observamos toda el área de ambos, independientemente del estilo de sombreado, la suma total de todas las áreas sombreadas, obtenemos la ilustración de arriba a la derecha que corresponde a la función OR inclusiva de A, B. La expresión booleana es A+B. Esto se muestra por el área rayada de 45 ^o. Cualquier cosa fuera del área sombreada corresponde a (A+B) -no como se muestra arriba. Pasemos a la siguiente parte del cuarto ejemplo

La otra forma de ver un diagrama de Venn con círculos superpuestos es mirar solo la parte común tanto a A como a B, el área de doble rayado debajo de la izquierda. La expresión booleana para esta área común correspondiente a la función AND es AB como se muestra abajo a la derecha. Tenga en cuenta que todo fuera de AB con doble eclosión es AB-no.

Obsérvese que algunos de los integrantes de A, arriba, son miembros de (AB) '. Algunos de los miembros de B son miembros de (AB) '. Pero, ninguno de los integrantes de (AB) 'se encuentra dentro de la zona doblemente eclosionada AB.

Hemos repetido el segundo ejemplo arriba a la izquierda. Su quinto ejemplo, que previamente esbozó, se proporciona arriba a la derecha para su comparación. Posteriormente encontraremos el elemento ocasional, o grupo de elementos, totalmente contenido dentro de otro grupo en un mapa de Karnaugh.

A continuación, mostramos el desarrollo de una expresión booleana que involucra una variable complementada a continuación.

Ejemplo: (arriba)

Mostrar un diagrama de Venn para A'B (A-NOT AND B).

Solución:

Comenzando por arriba arriba a la izquierda tenemos rojo sombreado horizontal A' (A-no), luego, arriba a la derecha, B. A continuación, en la parte inferior izquierda, formamos la función AND A'B superponiendo las dos regiones anteriores. La mayoría de la gente usaría esto como respuesta al ejemplo planteado. Sin embargo, solo el A'B de doble rayado se muestra muy a la derecha para mayor claridad. La expresión A'B es la región donde tanto A' como B se superponen. La región clara fuera de A'B es (A'B) ', que no formaba parte del ejemplo planteado.

Probemos algo similar con la función OR booleana.

Ejemplo:

Encuentra B'+A

Solución:

Arriba a la derecha empezamos con B que se complementa con B'. Finalmente superponemos A encima de B'. Ya que estamos interesados en formar la función OR, buscaremos todas las áreas sombreadas independientemente del estilo de sombreado. Así, A+B' es toda área rayada arriba a la derecha. Se muestra como una sola región de sombreado debajo a la izquierda para mayor claridad.

Ejemplo:

Buscar (A+B') '

Solución:

El área sombreada verde 45 ^o A+B' fue el resultado del ejemplo anterior. Pasando a a to, (A+B') ', el presente ejemplo, arriba a la izquierda, vamos a encontrar el complemento de A+B', que es el área blanca clara arriba a la izquierda correspondiente a (A+B')'. Tenga en cuenta que hemos repetido, a la derecha, el resultado de doble tramado AB' de un ejemplo anterior para compararlo con nuestro resultado. Las regiones correspondientes a (A+B') 'y AB' arriba izquierda y derecha respectivamente son idénticas. Esto se puede probar con el teorema de DeMorgan y la doble negación.

Esto trae a colación un punto. Los diagramas de Venn en realidad no prueban nada. El álgebra booleana es necesario para las pruebas formales. Sin embargo, los diagramas de Venn se pueden utilizar para la verificación y visualización. Hemos verificado y visualizado el teorema de DeMorgan con un diagrama de Venn.

Ejemplo:

¿Cómo se ve la expresión booleana A'+B' en un diagrama de Venn?

Solución: arriba de la figura

Comience con A' rayado horizontal rojo y azul sombreado vertical B' arriba. Superponga los diagramas como se muestra. Todavía podemos ver la escotilla horizontal roja A' superpuesta a la otra escotilla. También rellena lo que solía ser parte del círculo B (B-true), pero solo esa parte del círculo abierto B no común al círculo abierto A. Si solo miramos la escotilla vertical azul B', llena esa parte del círculo A abierto que no es común a B. Cualquier región con alguna escotilla, independientemente del tipo, corresponde a A'+B'. Es decir, todo menos el espacio blanco abierto en el centro.

Ejemplo:

¿Qué aspecto tiene la expresión booleana (A'+B') 'en un diagrama de Venn?

Solución: arriba de la figura, abajo a la izquierda

Al mirar el espacio blanco abierto en el centro, es todo NO en la solución anterior de A'+B', que es (A'+B') '.

Ejemplo:

Mostrar que (A'+B') '= AB

Solución: debajo de la figura, abajo a la izquierda

Anteriormente mostramos en el diagrama de arriba a la derecha que la región blanca abierta es (A'+B') '. En un ejemplo anterior mostramos una región doblemente sombreada en la intersección (superposición) de AB. Se trata de las figuras izquierda y media que aquí se repiten. Comparando los dos diagramas de Venn, vemos que esta región abierta, (A'+B') ', es la misma que la región doblemente sombreada AB (A Y B). También podemos probar que (A'+B') '=AB por el teorema de DeMorgan y la doble negación como se muestra arriba.

Se muestra un diagrama de Venn de tres variables arriba con las regiones A (rojo horizontal), B (azul vertical) y C (verde 45 ^o). En el centro, tenga en cuenta que las tres regiones se superponen representando la expresión booleana ABC. También hay una región más grande en forma de pétalo donde A y B se superponen correspondientes a la expresión booleana AB. De manera similar A y C se superponen produciendo la expresión booleana AC. Y B y C se superponen produciendo expresión booleana BC.

Al observar el tamaño de las regiones descritas por las expresiones AND anteriores, vemos que el tamaño de la región varía con el número de variables en la expresión AND asociada.

• A, 1-variable es una región circular grande.
• AB, 2-variable es una región con forma de pétalo más pequeña.
• ABC, 3-variable es la región más pequeña.
• Cuantas más variables haya en el término AND, menor será la región.