8.6: Simplificación lógica con mapas de Karnaugh

Los ejemplos de simplificación lógica que hemos hecho hasta ahora podrían haberse realizado con álgebra booleana casi tan rápido. Los problemas de simplificación lógica del mundo real requieren mapas Karnaugh más grandes para que podamos hacer un trabajo serio. Trabajaremos algunos ejemplos ingeniosos en esta sección, dejando la mayoría de las aplicaciones del mundo real para el capítulo de Lógica Combinatoria. Por artificial, nos referimos a ejemplos que ilustran técnicas. Este enfoque desarrollará las herramientas que necesitamos para hacer la transición a las aplicaciones más complejas en el capítulo Lógica Combinatoria.

Mapas de Karnaugh y secuencia de código gris

Mostramos nuestro mapa de Karnaugh previamente desarrollado. Usaremos el formulario de la derecha.

Anote la secuencia de números en la parte superior del mapa. No está en secuencia binaria que sería 00, 01, 10, 11. Es 00, 01, 11 10, que es la secuencia de código Gray. La secuencia de código gris solo cambia un bit binario a medida que pasamos de un número al siguiente en la secuencia, a diferencia del binario. Eso significa que las celdas adyacentes solo variarán en un bit, o variable booleana. Esto es lo que necesitamos para organizar las salidas de una función lógica para que podamos ver lo común. Además, los encabezados de columna y fila deben estar en orden de código Gray, o el mapa no funcionará como un mapa de Karnaugh. Las celdas que comparten variables booleanas comunes ya no serían adyacentes, ni mostrarían patrones visuales. Las celdas adyacentes varían solo en un bit porque una secuencia de código Gray varía solo en un bit.

Generación de código gris

Si bosquejamos nuestros propios mapas de Karnaugh, necesitamos generar código Gray para mapa de cualquier tamaño que podamos usar. Así es como generamos código Gray de cualquier tamaño.

Tenga en cuenta que la secuencia de código Gray, arriba a la derecha, solo varía en un bit a medida que bajamos por la lista, o abajo para rematar la lista. Esta propiedad del código Gray suele ser útil para la electrónica digital en general. En particular, es aplicable a los mapas de Karnaugh.

Ejemplos de Simplificación con Karnaugh Maps

Pasemos a algunos ejemplos de simplificación con mapas de Karnaugh de 3 variables. Mostramos cómo mapear los términos del producto de la lógica no simplificada al mapa K. Ilustramos cómo identificar grupos de celdas adyacentes lo que lleva a una simplificación de Suma-de-Productos de la lógica digital.

Arriba colocamos los 1's en el mapa K para cada uno de los términos del producto, identificamos un grupo de dos, luego escribimos un término p (término del producto) para el único grupo como nuestro resultado simplificado.

El mapeo de los cuatro términos de producto anteriores arroja un grupo de cuatro cubiertos por A' booleano

Al mapear los cuatro términos p se obtiene un grupo de cuatro, el cual está cubierto por una variable C.

Después de mapear los seis términos p anteriores, identificar el grupo superior de cuatro, recoger las dos celdas inferiores como un grupo de cuatro compartiendo las dos con dos más del otro grupo. Cubrir estos dos con un grupo de cuatro da un resultado más sencillo. Dado que hay dos grupos, habrá dos términos p en el resultado Suma-de-Productos A'+B

Los dos términos de producto anteriores forman un grupo de dos y simplifican a BC

Mapear los cuatro términos p produce un solo grupo de cuatro, que es B

Al mapear los cuatro términos p anteriores se obtiene un grupo de cuatro. Visualiza el grupo de cuatro enrollando los extremos del mapa para formar un cilindro, luego las celdas son adyacentes. Normalmente marcamos el grupo de cuatro como arriba a la izquierda. De las variables A, B, C, hay una variable común: C'. C' es un 0 total de cuatro celdas. El resultado final es C'.

Las seis celdas anteriores de la ecuación no simplificada se pueden organizar en dos grupos de cuatro. Estos dos grupos deberían darnos dos términos p en nuestro resultado simplificado de A' + C'.

Simplificación de ecuaciones booleanas con mapas de Karnaugh

A continuación, revisamos el incinerador de desechos tóxicos del capítulo de álgebra booleana. Consulte el capítulo de álgebra booleana para obtener detalles sobre este ejemplo. Simplificaremos la lógica usando un mapa de Karnaugh.

La ecuación booleana para la salida tiene cuatro términos de producto. Mapa cuatro 1's correspondientes a los términos p. Formando grupos de células, tenemos tres grupos de dos. Habrá tres términos p en el resultado simplificado, uno por cada grupo. Consulte Convertir tablas de verdad en expresiones booleanas del capítulo 7 para ver un diagrama de puerta del resultado, que se reproduce a continuación.

A continuación repetimos la simplificación del álgebra booleana del incinerador de residuos tóxicos para su comparación.

A continuación repetimos la solución del mapa Karnaugh del incinerador de desechos tóxicos para su comparación con la simplificación del álgebra booleana anterior. Este caso ilustra por qué el mapa de Karnaugh es ampliamente utilizado para la simplificación lógica.

El método del mapa de Karnaugh ciertamente parece más fácil que las páginas anteriores del álgebra booleana.