8.7: Mapas Karnaugh de 4 variables más grandes

Saber generar código Gray debería permitirnos construir mapas más grandes. En realidad, todo lo que necesitamos hacer es mirar la secuencia de izquierda a derecha en la parte superior del mapa de 3 variables, y copiarlo hacia abajo por el lado izquierdo del mapa de 4 variables. Ver abajo.

Reducciones de 4 mapas K variables

Los siguientes cuatro mapas variables de Karnaugh ilustran la reducción de expresiones booleanas demasiado tediosas para el álgebra booleana. Las reducciones podrían hacerse con álgebra booleana. Sin embargo, el mapa de Karnaugh es más rápido y más fácil, sobre todo si hay muchas reducciones lógicas que hacer.

La expresión booleana anterior tiene siete términos de producto. Se mapean de arriba a abajo y de izquierda a derecha en el mapa K de arriba. Por ejemplo, el primer término P A'B'CD es la primera fila, tercera celda, correspondiente a la ubicación del mapa A=0, B=0, C=1, D=1. Los otros términos del producto se colocan de manera similar. Rodeando los grupos más grandes posibles, se muestran arriba dos grupos de cuatro. El grupo horizontal discontinua corresponde al término de producto simplificado AB. El grupo vertical corresponde a CD booleano. Dado que hay dos grupos, habrá dos términos de producto en el resultado de Suma-de-Productos de out=AB+CD.

Dobla las esquinas del mapa de abajo como si fuera una servilleta para hacer las cuatro celdas físicamente adyacentes.

Las cuatro celdas anteriores son un grupo de cuatro porque todas tienen en común las variables booleanas B' y D'. En otras palabras, B=0 para las cuatro celdas y D=0 para las cuatro celdas. Las otras variables (A, C) son 0 en algunos casos, 1 en otros casos con respecto a las cuatro celdas de esquina. Así, estas variables (A, C) no están involucradas con este grupo de cuatro. Este único grupo sale del mapa como un término de producto para el resultado simplificado: Out=B'D'

Para el mapa K a continuación, enrolle los bordes superior e inferior en un cilindro formando ocho celdas adyacentes.

El grupo anterior de ocho tiene una variable booleana en común: B=0. Por lo tanto, el grupo uno de ocho está cubierto por un término p: B'. La expresión booleana original de ocho términos simplifica a Out=B'

Términos P en 4 Mapas Variables K

La expresión booleana a continuación tiene nueve términos p, tres de los cuales tienen tres booleanos en lugar de cuatro. La diferencia es que mientras que cuatro términos de producto variable booleana cubren una celda, los tres términos p booleanos cubren un par de celdas cada uno.

Los seis términos de producto de cuatro variables booleanas se mapean de la manera habitual anterior como celdas individuales. Los tres términos de variables booleanas (tres cada uno) se mapean como pares de celdas, lo que se muestra arriba. Tenga en cuenta que estamos mapeando términos p en el mapa K, no sacándolos en este punto.

Para la simplificación, formamos dos grupos de ocho. Las celdas en las esquinas se comparten con ambos grupos. Esto está bien. De hecho, esto lleva a una mejor solución que formar un grupo de ocho y un grupo de cuatro sin compartir ninguna célula. La solución final está fuera=B'+D'

A continuación mapeamos la expresión booleana no simplificada al mapa de Karnaugh.

Arriba, tres de las celdas se forman en grupos de dos celdas. Una cuarta célula no se puede combinar con nada, lo que suele ocurrir en problemas del “mundo real”. En este caso, el ABCD booleano de término p permanece inalterado en el proceso de simplificación. Resultado: Out= B'C'D'+A'B'D'+ABCD

Muchas veces hay más de una solución de costo mínimo para un problema de simplificación. Tal es el caso que se ilustra a continuación.

Ambos resultados anteriores tienen cuatro términos de producto de tres variables booleanas cada uno. Ambas son igualmente válidas soluciones de costo mínimo. La diferencia en la solución final se debe a cómo se agrupan las celdas como se muestra arriba. Una solución de costo mínimo es un diseño lógico válido con el número mínimo de puertas con el número mínimo de entradas.

A continuación mapeamos la ecuación booleana no simplificada como de costumbre y formamos un grupo de cuatro como primer paso de simplificación. Puede que no sea obvio cómo recoger las celdas restantes.

Recoge tres celdas más en un grupo de cuatro, centro arriba. Aún quedan dos celdas. El método de costo mínimo para recogerlas es agruparlas con celdas vecinas como grupos de cuatro como arriba a la derecha.

En una nota cautelar, no intente formar grupos de tres. Las agrupaciones deben ser poderes de 2, es decir, 1, 2, 4, 8...

A continuación tenemos otro ejemplo de dos posibles soluciones de costo mínimo. Comienza formando un par de grupos de cuatro después de mapear las celdas.

Las dos soluciones dependen de si la única celda restante se agrupa con el primer o el segundo grupo de cuatro como un grupo de dos celdas. Esa celda o bien sale como ABC' o ABD, tu elección. De cualquier manera, esta celda está cubierta por cualquiera de los términos del producto booleano. Los resultados finales se muestran arriba.

A continuación tenemos un ejemplo de simplificación usando el mapa de Karnaugh a la izquierda o álgebra booleana a la derecha. Trazar C' en el mapa como el área de todas las celdas cubiertas por la dirección C=0, las 8 celdas a la izquierda del mapa. Después, graficar la celda ABCD única. Esa sola célula forma un grupo de 2 celdas como se muestra, lo que simplifica a ABD de término P, para un resultado final de Out = C' + ABD.

Esto (arriba) es un raro ejemplo de un problema de cuatro variables que se puede reducir con álgebra booleana sin mucho trabajo, suponiendo que recuerdes los teoremas.