10.11: Teorema de Millman revisitado

Quizás te hayas preguntado de dónde sacamos esa extraña ecuación para la determinación de “Millman Voltage” a través de ramas paralelas de un circuito donde cada rama contiene una fuente de resistencia y voltaje en serie:

Partes de esta ecuación nos parecen familiares a las ecuaciones que hemos visto antes. Por ejemplo, el denominador de la fracción grande se parece notoriamente al denominador de nuestra ecuación de resistencia paralela. Y, por supuesto, los términos E/R en el numerador de la fracción grande deberían dar cifras para corriente, siendo la Ley de Ohm lo que es (I=E/R).

Ahora que hemos cubierto las equivalencias de fuentes de Thevenin y Norton, tenemos las herramientas necesarias para entender la ecuación de Millman. Lo que realmente está haciendo la ecuación de Millman es tratar cada rama (con su fuente de voltaje en serie y resistencia) como un circuito equivalente a Thevenin y luego convertir cada una en circuitos Norton equivalentes.

Así, en el circuito anterior, la batería B ₁ y la resistencia _R1 se ven como una fuente Thevenin para convertirse en una fuente Norton de 7 amperios (28 voltios/4 Ω) en paralelo con una resistencia de 4 Ω. La rama más a la derecha se convertirá en una fuente de corriente de 7 amperios (7 voltios/1 Ω) y una resistencia de 1 Ω en paralelo. La rama central, que no contiene ninguna fuente de voltaje, se convertirá en una fuente Norton de 0 amperios en paralelo con una resistencia de 2 Ω:

Dado que las fuentes de corriente agregan directamente sus respectivas corrientes en paralelo, la corriente total del circuito será de 7 + 0 + 7, o 14 amperios. Esta adición de corrientes fuente Norton es lo que se representa en el numerador de la ecuación de Millman:

Todas las resistencias Norton están en paralelo entre sí también en el circuito equivalente, por lo que disminuyen para crear una resistencia total. Esta disminución de las resistencias fuente es lo que se representa en el denominador de la ecuación de Millman:

En este caso, la resistencia total será igual a 571.43 miliohmios (571.43 mΩ). Podemos volver a dibujar nuestro circuito equivalente ahora como uno con una sola fuente de corriente Norton y resistencia Norton:

La Ley de Ohm puede decirnos el voltaje a través de estos dos componentes ahora (E=IR):

Resumamos lo que sabemos del circuito hasta el momento. Sabemos que la corriente total en este circuito viene dada por la suma de todos los voltajes de rama divididos por sus respectivas resistencias. También sabemos que la resistencia total se encuentra tomando el recíproco de todos los recíprocos de resistencia de rama. Además, debemos ser conscientes de que el voltaje total en todas las ramas se puede encontrar multiplicando la corriente total por la resistencia total (E=IR). Todo lo que tenemos que hacer es armar las dos ecuaciones que teníamos antes para la corriente total del circuito y la resistencia total, multiplicándolas para encontrar voltaje total:

La ecuación de Millman no es más que una conversión de Thevenin a Norton emparejada con la fórmula de resistencia paralela para encontrar voltaje total en todas las ramas del circuito. Entonces, ¡ojalá que parte del misterio se haya ido ahora!