7.4: El Modelo Extended Mk

El modelo Mk asume que las transiciones entre todos los estados de caracteres posibles ocurren a la misma velocidad. No obstante, esa puede no ser una suposición válida. Por ejemplo, a menudo se supone que es más fácil perder un personaje complejo que ganar uno. Es posible que queramos ajustar modelos que permitan tales asimetrías en las tarifas.

Para los modelos de evolución de secuencias de ADN hay una amplia gama de modelos que permiten diferentes tasas entre distintos tipos de nucleótidos (Yang 2006). Las tasas desiguales generalmente se incorporan al modelo Mk de dos maneras. Primero, se puede considerar el modelo simétrico (SYM; Paradis et al. 2004). En el modelo simétrico, la tasa de cambio entre dos estados de caracteres cualesquiera es la misma hacia adelante que hacia atrás (es decir, las tasas de cambio son simétricas; q _{i j} = q _{j i}). La tasa para un par particular de estados puede diferir de otros pares de estados de caracteres. Tenga en cuenta que cuando k = 2 el modelo simétrico es idéntico al modelo básico de Mk. La matriz de tasas para este modelo tiene tantos parámetros de tasa libre como pares de estados de caracteres:

(eq. 7.11)

\[ p = \frac{k(k-1)}{2} \]

Sin embargo, en general los modelos simétricos no tendrán distribuciones estacionarias donde todos los estados de caracteres ocurren a frecuencias iguales, como se señaló anteriormente para el modelo Mk. Podemos dar cuenta de estas frecuencias desiguales agregando parámetros adicionales a nuestro modelo:

(eq. 7.12)

\[ \pi_{SYM} = \begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \dots & 1 - \sum_{i=1}^{n-1} \pi_i \end{bmatrix} \]

Tenga en cuenta que sólo tenemos que especificar n − 1 frecuencias de equilibrio, ya que sabemos que todas suman a una. Hemos agregado n − 1 nuevos parámetros, para un número total de parámetros:

(eq. 7.13)

\[ p = \frac{k(k-1)}{2} + n-1 \]

Para obtener una matriz Q para este modelo, combinamos la información tanto de las tasas de transición relativas como de las frecuencias de equilibrio:

(eq. 7.14)

\[ \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \cdot & r_1 & \dots & r_{n-1} \\ r_1 & \cdot & \dots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdot & r_{k(k-1)/2} \\ r_{n-1} & \dots & r_{k(k-1)/2} & \cdot \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pi_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \pi_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \pi_n \\ \end{bmatrix} \]

En esta ecuación he dejado como puntos la diagonal de la primera matriz. La matriz Q final debe tener todas las filas sumadas a una, así se pueden ajustar los valores de esa matriz después del paso de multiplicación.

En el caso de un modelo de dos estados, por ejemplo, podemos crear un modelo donde la tasa de avance es el doble de la tasa hacia atrás, y la frecuencia de equilibrio del carácter uno es 0.75. Entonces:

(eq. 7.15)

\[ \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \cdot & 1 \\ 2 & \cdot \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.75 & 0 \\ 0 & 0.25 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdot & 0.25 \\ 1.5 & \cdot \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.25 & 0.25 \\ 1.5 & -1.5 \\ \end{bmatrix} \]

Cabe señalar que este enfoque de establecer parámetros que definen frecuencias de estado de equilibrio, aunque tomado de la evolución molecular, no es completamente estándar en la literatura de métodos comparativos. También se ven las frecuencias de equilibrio tratadas como una propiedad fija del modelo, y se supone que son iguales a través de los estados o están ligadas directamente a los parámetros en la matriz Q.

La segunda extensión común del modelo Mk se denomina modelo de todas las tasas diferentes (ARD; Paradis et al. 2004). En este modelo cada posible tipo de transición puede tener una tasa diferente. Por lo tanto, hay k (k − 1) parámetros de tasa libre para este modelo, y nuevamente n − 1 parámetros para especificar las frecuencias de equilibrio de los estados de carácter.

Se puede usar el mismo algoritmo para calcular la probabilidad para ambos modelos Mk extendidos (SYM y ARD). Estos modelos tienen más parámetros que el estándar Mk. Para encontrar soluciones de máxima verosimilitud, debemos optimizar la verosimilitud en todo el conjunto de parámetros desconocidos (ver Capítulo 7).