11.7: Trigo de Verano

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

1. ¿Cómo se determinan los precios de los bienes almacenables —manzanas, papas o trigo—?

Por lo general, el trigo cosechado en el otoño tiene que durar hasta la siguiente cosecha. ¿Cómo deberían evolucionar los precios durante la temporada? Si sé que necesito trigo en enero, ¿debo comprarlo a la hora de la cosecha y guardarlo yo mismo, o esperar y comprarlo en enero? Podemos usar una teoría análoga a la teoría de coleccionables desarrollada en la Sección 11.6 “Coleccionables” para determinar la evolución de los precios de productos básicos como trigo, maíz, jugo de naranja y aceite de canola.

A diferencia de los coleccionables, los compradores no necesitan tener mercancías para su uso personal, ya que no tiene valor admirar el trigo en tu hogar. Que p (t) sea el precio en el tiempo t, y supongamos que el año tiene longitud T. Generalmente hay una cantidad sustancial de incertidumbre con respecto al tamaño de las cosechas de trigo, y la mayoría de los países mantienen un exceso de inventario como medida de precaución. No obstante, si la cosecha no fuera incierta, no habría necesidad de una tenencia precautoria. En cambio, consumiríamos toda la cosecha en el transcurso de un año, momento en el que entraría la nueva cosecha. Es este tal modelo el que se investiga en esta sección.

Que δ represente la tasa de depreciación (que, para el trigo, incluye la cantidad consumida por los roedores), y seamos el costo de almacenamiento. Comprar en el tiempo t y revender a t + Δ debería ser una propuesta de equilibrio. Si uno compra a tiempo t, cuesta p (t) comprar el bien. La reventa a t + Δ, el costo de almacenamiento es de aproximadamente s Δ. (Este no es el costo precisamente relevante; sino más bien es el valor actual del costo de almacenamiento, y de ahí la restricción a valores pequeños de Δ.) El bien se deprecia para tener solo e −δδ para vender, y el descuento reduce el valor de esa cantidad por el factor e −Rδ. Para que esto sea una propuesta de equilibrio, para pequeños Δ,

\ begin {ecuación} 0=e-r\ Delta e-\ delta\ Delta p (t+\ Delta) -s\ delta-P (t)\ final {ecuación}

o

\ begin {ecuación} p (t+\ Delta) -p (t)\ Delta = 1-E- (r+\ delta)\ Delta\ Delta p (t+\ Delta) +s\ final {ecuación}

tomando el límite como\(\begin{equation}\Delta \rightarrow 0, \mathrm{p}^{\prime}(\mathrm{t})=(\mathrm{r}+\delta) \mathrm{p}(\mathrm{t})+\mathrm{s}\end{equation}\)

Esta condición de arbitraje asegura que es una propuesta de equilibrio invertir en el bien; las ganancias de la apreciación del precio están exactamente equilibradas por la depreciación, los intereses y los costos de almacenamiento. Podemos resolver la ecuación diferencial para obtener

\ begin {ecuación} p (t) =e (r+\ delta) t (p (0) +1-e- (r+\ delta) t r+\ delta s) =e (r+\ delta) t p (0) +e (r+\ delta) t-1 r+\ delta s\ final {ecuación}

El desconocido es p (0). La restricción en p (0), sin embargo, es como el problema de extracción de recursos— p (0) está determinada por la necesidad de agotar la cosecha a lo largo del año.

Supongamos que la demanda tiene elasticidad constante ε. Entonces la cantidad utilizada viene en la forma\(\begin{equation}x(t)=\operatorname{ap}(t)-\varepsilon\end{equation}\). Que z (t) represente el stock en el tiempo t. Entonces la ecuación para la evolución de la acción es\(\begin{equation}z^{\prime}(t)=-x(t)-\delta z(t)\end{equation}\). Esta ecuación se obtiene al señalar que el flujo fuera de stock está compuesto por dos elementos: depreciación, δz, y consumo, x. La ecuación de evolución de stock resuelve

\ begin {ecuación} z (t) = e −δt (q (0) − ∫ 0 t e δu x (u) du). \ end {ecuación}

Así, la cantidad de trigo se consume exactamente si

\ begin {ecuación}\ int 0\ texto {T e}\ delta u x (u) d u=q (0)\ final {ecuación}

Pero esta ecuación determina el precio inicial a través de

\ begin {ecuación} q (0) = ∫ 0 T e δu x (u) du = ∫ 0 T e δu ap (u) −ε du = ∫ 0 T e δu a (e (r+δ) u p (0) + e (r+δ) u −1 r+δ s) −ε du. \ end {ecuación}

Esta ecuación no conduce a una forma cerrada para p (0) sino que se estima fácilmente, lo que proporciona un medio práctico para calcular los precios esperados de las materias primas en oferta temporalmente fija.

Figura 11.7 Precios a lo largo de un ciclo para materias primas de temporada

Figura 11.7 “Precios a lo largo de un ciclo de materias primas de temporada”. La porción creciente es en realidad un exponencial, pero de un grado tan pequeño que parece lineal. Cuando llega la nueva cosecha, los precios bajan abruptamente a medida que el inventario crece dramáticamente, y se repite el mismo patrón.

Figura 11.8 Registro del precio del oro a lo largo del tiempo

La Figura 11.8 “Registro del precio del oro a lo largo del tiempo” muestra el registro del precio futuro del oro a lo largo del tiempo. Los datos relevantes provienen de un mercado de futuros que establece, en un momento dado, el precio del oro para entrega futura, y así representa la estimación actual del precio futuro del oro. Estos datos, entonces, representan el precio futuro esperado en un momento determinado en el tiempo (la tarde del 11 de octubre de 2005), y así corresponden a los precios en la teoría, ya que los riesgos percibidos son fijos. (Por lo general, en el mundo real, el riesgo juega un papel destacado.) Podemos observar que los precios son aproximadamente exponenciales, debido a que el registro de precios es aproximadamente lineal. Sin embargo, la estimación de r + δ es sorprendentemente baja, a un nivel anual inferior a 0.03, o 3% tanto para el descuento como para la depreciación. La depreciación del oro es baja, pero esto sigue representando una tasa de interés muy baja.

Claves para llevar

• Hay un patrón estacional a los bienes que se producen periódicamente. La ecuación de precios produce un patrón de “diente de sierra”. La porción creciente es exponencial.
• Los precios del oro muestran evidencia de crecimiento exponencial pronosticado por la teoría.

EJERCICIO

1. Considere un mercado para una mercancía que pueda almacenarse con costo cero de invierno a verano, pero que no se pueda almacenar de verano a invierno. La demanda y oferta invernales son Qwd = 50 — 2 Pw y Qws = 3 Pw, y la demanda y oferta estivales son Qsd = 100 — 3 Ps y Qss = Ps. Calcular Pw, Ps, Qw y Qs, y la cantidad de acaparamiento de invierno a verano. (Establezca el descuento a cero.)