16: Teoría de juegos

Interdependencia y Equilibrio de Nash

Parece obvio cuando decimos que las firmas son interdependientes, pero ¿qué significa esto exactamente? Considera dos compañías eléctricas que generan y venden electricidad. Este es un buen ejemplo de un producto homogéneo. Asumimos que a los consumidores no les importa en absoluto cuál de las dos firmas proporciona electricidad a sus hogares.

Para que sea simple, supongamos que cada compañía eléctrica puede elegir ya sea un alto nivel de salida o un nivel bajo de producción. El precio de mercado es una función de las decisiones de salida de las dos firmas. Las ganancias de cada compañía eléctrica son funciones de su propia decisión de producir y del precio de mercado.

La Figura 16.1 muestra una matriz de pagos, que muestra las posibles elecciones y resultados. Lees las entradas en la matriz de pagos como pares de coordenadas en una gráfica, la primera parte es para la Firma 1 y la segunda para la Firma 2. El par de $300, $300 en la parte superior izquierda de las cuatro entradas dice que la Firma 1 eligió alto rendimiento y la Firma 2 eligió alto rendimiento. Cada firma termina con bajas ganancias.

Si la Firma 2 hubiera elegido bajo rendimiento (arriba a la derecha), las ganancias de la Firma 1 serían mucho mayores, $1,000, porque hizo mucha producción y el precio subió cuando la Firma 2 decidió recortar.

Este juego en particular es un juego de un solo disparo, movimiento simultáneo conocido como el dilema del prisionero. Probablemente lo hayas visto antes. Dos delincuentes son detenidos e interrogados por separado. Si ambos se quedan callados, obtienen 1 año de cárcel. Si ambos confiesan, obtienen 3 años. Pero si uno confiesa y el otro no, el que habla no recibe tiempo en la cárcel y el silencioso obtiene 10 años.

Puede hacer coincidir esos resultados con la matriz de pagos en la Figura 16.1. El resultado que es mejor para ambas firmas juntas es de $1600 en total, con $800 por cada compañía. Pero, como la versión criminales del juego, ese va a ser un desenlace poco probable. Supongamos que ambos coinciden de antemano en que van a coludir y ambos eligen bajo rendimiento. A menos que puedan escribir un acuerdo vinculante que sea ejecutorio (para que un tramposo pueda ser castigado), hay un incentivo para que cada firma cambie su decisión y elija un alto rendimiento si piensa que la otra firma se quedará con un bajo rendimiento. En consecuencia, ambas firmas terminan con bajas ganancias (y ambos delincuentes confiesan).

Si crees que la otra firma va a hacer trampa, tu mejor jugada es hacer trampa también. Si crees que la otra firma va a honrar el acuerdo, tu mejor jugada, en el sentido de maximización de ganancias, es hacer trampa y producir un alto rendimiento (asumiendo que este es un juego de una sola vez y nunca más tienes que volver a ver a tu oponente). Parece que hacer trampa, producir alto rendimiento (o confesar), es el mejor movimiento sin importar lo que haga la otra firma. Decimos que este juego tiene una estrategia dominanteproducir alto rendimiento (confesar).

Este resultado ilustra la razón por la cual los cártelesgrupos de empresas que se juntan para cobrar el precio del monopolio y dividir los beneficios del monopolio son inestables. Es difícil que las empresas oligopólicas se reúnan y actúen como monopolio porque hay un incentivo para que las empresas individuales engañen al acuerdo y produzcan más para aprovechar los altos precios.

Debido a la interdependencia de la toma de decisiones de las empresas, la competencia entre empresas en un oligopolio puede parecerse a operaciones militares que involucran tácticas, estrategias, movimientos y contramarchas. Los economistas modelan estos sofisticados procesos de toma de decisiones utilizando la teoría de juegos, una rama de las matemáticas y la economía que fue desarrollada por John von Neumann (pronunciado noy-man) y Oskar Morgenstern en la década de 1930. Uno de los contribuyentes más importantes a la teoría de juegos es John Nash, matemático que compartió el Premio Nobel de Economía.

Un análisis teórico de juego del oligopolio se basa en el supuesto de que cada firma asume que sus rivales son agentes optimizadores. Es decir, los directivos actúan como si sus oponentes o rivales siempre adoptaran el contramovimiento más rentable a cualquier movimiento que realicen. El trabajo del gerente es encontrar la respuesta óptima.

La contribución más importante y duradera de Nash es el concepto que lleva su nombre, el equilibrio de Nash. Una vez que estamos en un mundo donde las empresas son interdependientes y las ganancias de una firma dependen de lo que hagan otras firmas, estamos fuera del mundo del precio exógenamente dado que usamos para una competencia perfecta y fuera del mundo aislado del monopolista. John Nash inventó un concepto de equilibrio que describe un estado de descanso en este nuevo mundo de interdependencia.

Un equilibrio de Nash existe cuando cada jugadora, observando lo que sus rivales han elegido, no optaría por alterar el movimiento que ella misma eligió. En otras palabras, este es un equilibrio sin arrepentimientos: Después de observar el resultado, la jugadora no desea que hubiera hecho otra cosa en su lugar.

Exploraremos en detalle un ejemplo concreto de un duopolio (un mercado con dos firmas) con un solo equilibrio de Nash. Recuerda, sin embargo, que esto es simplemente un ejemplo. Algunos juegos tienen un equilibrio de Nash, algunos tienen muchos, y algunos no tienen ninguno. Hay muchos, muchos juegos y escenarios en la teoría de juegos y veremos solo un ejemplo sencillo.

El modelo Cournot

^{Augustin Cournot (pronunciado coor-no) fue un economista francés del siglo XIX notablemente creativo (ver las Referencias en la sección 12.2).} Cournot originalmente configuró un modelo de duopolistas que producen el mismo bien y optimizan eligiendo sus propios niveles de salida basados en suposiciones sobre lo que hará el rival.

Aquí está la puesta en marcha:

• Dos firmas.

• Cada uno produce exactamente el mismo producto.

• Costo unitario constante.

• Las empresas eligen niveles de producción al mismo tiempo.

• Ambos conocen la demanda del mercado para el producto.

El beneficio de cada firma depende de cuánto produzca y de cuánto produzca su rival. Si el rival produce mucho, el precio de mercado cae. La interdependencia es que la decisión de una firma sobre cuánto producir afecta el precio y, por lo tanto, la ganancia del rival.

¿Qué estrategia debe utilizar cada empresa para elegir su nivel de producción? La respuesta depende de sus creencias respecto al comportamiento de su rival.

PASO Abra el libro de Excel GameTheory.xls y lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja Parámetros.

La demanda del mercado viene dada por la curva lineal de demanda inversa y, por simplicidad, asumimos una función lineal de costo total. Esto quiere decir que\(MC = AC\) es una línea horizontal.

PASO Proceder a la hoja PerfectCompetition.

Con muchas pequeñas empresas de PC, la industria en su conjunto producirá donde la demanda se cruza con la oferta (que es la suma de los MC de la firma individual). El gráfico muestra que un mercado perfectamente competitivo producirá 15,000 kwh a un precio de 5/kwh.

¿Qué sucede si una sola firma se hace cargo de todo el mercado?

PASO Proceder a la ficha Monopolio. Utilice el control deslizante Elegir Q para determinar la cantidad maximizadora de ganancias. Mantenga su ojo en la celda B18 mientras ajusta la salida. La salida óptima se encuentra donde\(MR = MC\).

El monopolista producirá 7500 kwh y cobrará un precio de 12.5/kwh. Esta solución genera una ganancia máxima de 56,250 centavos.

No en vano, en comparación con los resultados perfectamente competitivos, el monopolio da como resultado una menor producción y precios más altos.

Cournot fue el primero en hacer la pregunta: “¿Qué pasa si la industria es compartida por dos firmas?”

Para entender la respuesta, el concepto de demanda residual es crucial porque nos permite resolver el problema de optimización de la empresa. La demanda residual es la curva de demanda que enfrenta la firma después de restar las ventas de la otra firma. A partir de ahí, la función de reacción para cada empresa se deriva de un análisis estadístico comparativo. Luego se combinan las dos funciones de reacción para producir el equilibrio de Nash, que es la respuesta a la pregunta de Cournot. Eso es confuso. Pasamos a Excel para ver cada paso y cómo funciona todo.

Demanda Residual

Para averiguar la combinación de cantidad y precio con dos firmas competidoras, necesitamos entender cómo se comportarán las firmas.

PASO Proceder a la hoja ResidualDemand.

Esta hoja muestra cómo la Firma 1 decide qué hacer, dada la decisión de salida de la Firma 2. Piense en la tabla como perteneciente a la Firma 1. Utilizará esta tabla para decidir qué hacer, dados los diferentes escenarios.

Q2 conjetado, en la celda B14, es la variable clave. Una conjetura es una suposición educada. Se basa en información incompleta. La Firma 1 no sabe y no puede controlar lo que va a hacer la Firma 2. La firma 1 debe actuar, sin embargo, por lo que trata la decisión de salida de la Firma 2 como una conjetura y procede con base en ese valor proyectado.

La Q2 conjetada es una variable exógena para la Firma 1. No sabe lo que va a hacer la Firma 2 y no puede controlarla. La salida conjeturada de Firm 2 puede ser diferente de la salida real de Firm 2. La firma 1 puede, sin embargo, examinar cómo reaccionaría a diferentes valores posibles de la salida de la Firma 2.

La hoja ResidualDemand se abre con Conjeturado Q2 = 0. En este escenario, la Firma 2 no produce nada y la Firma 1 se comporta como monopolista, produciendo 7,500 kwh y cobrando un precio de 12.5/kwh.

PASO Haga clic cinco veces en la barra de desplazamiento en la celda C14. Con cada clic, Conjeturado Q2 se eleva en 1,000 unidades y las líneas rojas en la gráfica se desplazan a la izquierda.

Las líneas rojas son el factor crítico para la Firma 1. Representan demanda residual e ingresos marginales residuales. La idea detrás de la demanda residual es que la producción de la Firma 2 se venda primero, dejando a la Firma 1 con el resto del mercado.

El residual en el nombre se refiere al hecho de que la Firma 2 abastecerá una determinada cantidad del mercado y luego la Firma 1 es libre de decidir qué hacer con la demanda que queda.

Con cada clic, la Firma 2 estaba produciendo más y así la demanda sobrante para la Firma 1 estaba cayendo. Es por ello que la demanda residual cambia cuando la Firma 2 produce más.

Como muestra la hoja Parámetros, la curva de demanda inversa para todo el mercado viene dada por la función\(P = 20 - 0.001Q\). Si Conjetura Q2 = 5,000, entonces la curva de demanda inversa residual es\(P = 20 - 0.001Q - 0.001(5000)\). Es decir, restamos la cantidad suministrada por la Firma 2. Así, la curva de demanda inversa residual es\(P = 15 - 0.001Q\).

La Figura 16.2 muestra cómo la demanda residual se desplaza a la izquierda en 5,000 kwh cuando Conjetado Q2 es 5,000. La idea clave es que la salida de la Firma 2 se resta de la curva de demanda y lo que queda, el residual, es la demanda que enfrenta la Firma 1.

Una vez que tenemos demanda residual para la Firma 1, podemos encontrar la solución maximizadora de ganancias. La firma 1 deriva MR residual de su curva de demanda residual y la utiliza para maximizar las ganancias estableciendo residual\(MR = MC\). En la Figura 16.2, la Firma 1 no está maximizando las ganancias al producir 7,500 unidades y cobrando 7.5/kwh. Observe que el precio se lee a partir de la curva de demanda residual, no de la curva de demanda completa del mercado.

PASO Utilice la barra de desplazamiento (debajo de la tabla) para encontrar la solución óptima Firm 1s cuando Conjetado Q2 es 5,000.

Debió haber encontrado que óptimo\(Q\) es 5,000 kwh, óptimo P = 10/kwh y máximo\(\pi\) son 25,000 centavos.

La función de reacción

Ahora que sabemos cómo el duopolista utiliza la demanda residual para elegir la cantidad (y el precio) que maximiza las ganancias, podemos pasar al siguiente paso para responder a la pregunta de Cournot: “¿Qué pasa si la industria es compartida por dos firmas?”

Rastreamos la salida óptima de cada duopolista en función de Conjeturado Q2. Esto da la función de reacción (o mejor respuesta). La función de reacción es un análisis estadístico comparativo basado en el impactante Conjeturado Q2.

PASO Rellene la tabla en la hoja Demanda Residual. Estás recogiendo puntos de la función de reacción de la Firma 1.

Ya tienes dos de las filas. Además de la solución óptima a Conjetado Q2 = 5,000 que acabamos de encontrar, cuando Conjetado Q2 = 0, la salida óptima es de 7,500 y el precio óptimo es de 12.5/kwh. Rellene el resto de la mesa.

PASO Revisa tu trabajo haciendo clic en el botón.

La tabla llenada nos está dando la función de reacción de la Firma 1. Es similar a la salida del CSWIZLa columna más a la izquierda es la variable exógena y las otras columnas son respuestas endógenas.

Derivar la función de reacción de la Firma 1 es un paso importante para averiguar cómo interactuarán dos firmas. La función de reacción nos da la respuesta óptima de la Firma 1 a la decisión de salida de la Firma 2. No sabemos, sin embargo, qué va a hacer realmente la Firma 2. Tiene una función de reacción al igual que la Firma 1. Las dos firmas deben interactuar para determinar qué pasará en el mercado.

Encontrar el equilibrio de Nash

La demanda residual nos permitió comprender la función de reacción. Ya estamos listos para el tercer y último paso para que podamos responder a la pregunta de Cournot sobre los resultados de un duopolio. Recuerda, la competencia perfecta da 15,000 kwh de salida y el monopolio da sólo 7,500 (y a un precio más alto). Presumiblemente, el duopolio está entre ellos, pero ¿dónde?

PASO Proceder a la hoja Duopoly.

La pantalla es nueva, pero fácil de entender. En lugar de trabajar solo con la Firma 1, se muestran ambas. Tienen los mismos costos.

La sábana tiene botones que la hacen un broche de presión para ver qué va a hacer cada firma. La solución analítica se utiliza para que no tenga que ejecutar Solver cada vez que Conjeturado Q2 cambia.

PASO Observe que Q2 Conjetado (en la celda B13) es cero. Para encontrar la solución óptima, haga clic en el botón.

No es sorprendente (dado nuestro trabajo anterior con el gráfico de demanda residual) ya que Conjetado Q2 es cero, la Firma 1 elige producir 7500 kwh.

Pero miren la celda G13Firm 1 ha optimizado, pero ahora tenemos que preguntarnos ¿qué haría la Firma 2 si la Firma 1 fabricara 7,500 kwh? La Firma 2 quiere maximizar las ganancias al igual que la Firma 1.

PASO Haga clic en el botón.

La solución de Firm 2 tiene sentido. Si la Firma 1 produce 7,500 kwh, entonces la Firma 2 maximiza las ganancias al tomar la demanda residual y producir 3,750 kwh. Sus medias de salida combinadas\(P=8.75\).

Esto no es, sin embargo, una solución de equilibrio porque la Firma 1 no va a producir 7,500 kwh. ¿Por qué no?

PASO Mira la celda B13. Haga clic en la celda B13.

La fórmula de B13, =G20, deja claro cómo la decisión de la Firma 1 está conectada con su rival. Si la Firma 2 dice que quiere producir 3,750, entonces la Firma 1 se arrepiente y cambiará su elección anterior. Necesitamos encontrar la salida óptima para la Firma 1 dado el nuevo nivel de producción de la Firma 2.

PASO Haga clic en el botón.

La firma 1 elige hacer 5,625 kwh (basado en la producción de la Firma 2 de 3,750 kwh), pero ahora regresamos a la Firma 2. ¿Producará 3,750 kwh? No. Cuando la Firma 1 cambió su salida, la celda G13 se actualizó. Al igual que B13, G13 conecta la decisión óptima de Firm 2 con la elección de salida de Firm 1.

Es el turno de la Firma 2 para lamentar su decisión anterior. La firma 2 puede obtener mayores ganancias cambiando su producción cuando la Firma 1 gana 5,625 kwh. ¿Cuánto querrá producir Firm 2? Vamos a averiguarlo.

PASO Haga clic en el botón.

Firme 2 está establecido, pero ¿qué pasa con la Firma 1? ¿Se arrepiente de haber hecho 5,625? Sí, lo hace porque puede obtener mayores ganancias cambiando su decisión.

No estaremos en equilibrio hasta que ambas firmas estén contentas con su elección de salida y no deseen cambiarla. Dado que la Firma 2 cambió su salida, la Firma 1 querrá cambiar su salida.

PASO Haga clic en el botón.

Podrías estar pensando que esto nunca terminará. Eso es incorrecto. Se acabará. En realidad se puede ver que termina.

PASO Muévase repetidamente hacia adelante y hacia atrás, haciendo clic en los botones y, uno tras otro. ¿Qué pasa?

Después de hacer clic repetidamente, estás mirando la convergencia. Claramente, los dos niveles de salida óptimos se cerraron en 5,000esta es la solución de equilibrio de Nash a este problema y la respuesta a la pregunta de Cournot. El duopolio producirá un total combinado de 10,000 kwh con un precio de 10/kwh. Esto tiene sentido ya que se encuentra entre los resultados perfectamente competitivos (15,000 kwh) y monopolio (7,500 kwh).

Optimizar manualmente para cada empresa en turno, ida y vuelta, hasta que las soluciones de equilibrio entren en foco es una excelente manera de entender el concepto de equilibrio de Nash. Se trata de una posición de descanso donde ninguna firma lamenta su decisión anterior. De hecho, un equilibrio de Nash a menudo se conoce como un punto de “no arrepentimientos”. Hay, sin embargo, una manera más rápida de encontrar la posición de descanso.

PASO haga clic en el botón.

Este botón hace todo el trabajo duro por ti. Resuelve alternativamente el problema de una empresa dada la producción de la otra muchas veces. Continúa maximizando las ganancias de la firma hasta que haya menos de una diferencia de 0.001 entre la producción óptima de una empresa y su producción óptima basada en la producción conjeturada de su rival.

PASO Para ver esto, da clic en las celdas B20 y G20. Están cerca de 5 mil, pero no exactamente 5 mil.

El botón también muestra las funciones de reacción de la empresa individual (desplácese hacia abajo si es necesario). En este caso, las dos funciones de reacción son idénticas.

Finalmente, el botón muestra las dos funciones de reacción en el mismo gráfico y la intersección revela instantáneamente el equilibrio de Nash. La Figura 16.3 muestra la tabla de equilibrio de Nash con elementos adicionales para ayudar a explicarlo.

El punto 1 de la Figura 16.3 representa la primera vez que la Firma 1 maximizó las ganancias, con Q2 Conjetado de cero. El punto 2 muestra la optimización de la Firma 2 basada en la Firma 1 haciendo 7,500 kwh. Se puede ver, siguiendo las flechas, cómo esto conduciría a la intersección como el equilibrio de Nash.

Quizás te preguntes por qué las funciones de reacción no son las mismas en la Figura 16.3 ya que son idénticas cuando se grafican por ellas mismas (como se muestra debajo de los botones en la hoja Duopoly). La respuesta está en el eje para graficarlos ambos en la misma gráfica, utilizamos la función de reacción para la Firma 2 y la función de reacción inversa para la Firma 1. Desplácese hacia abajo para ver la función de reacción inversa comenzando en la fila 63.

Recuerda: Un equilibrio de Nash existe cuando cada jugador, observando lo que sus rivales han elegido, no elegiría alterar el movimiento que ella misma eligió. El equilibrio de Nash es un punto de no arrepentimiento para todos los jugadores.

La Figura 16.3 muestra que el equilibrio de Nash se encuentra en la intersección de las dos funciones de reacción. Sólo ahí ambas firmas declinarán la oferta para cambiar sus decisiones óptimas. Esta es una posición de descanso.

Evaluando el Equilibrio Nash de Duopoly

Conocemos la respuesta a la pregunta de Cournot. El duopolio, en su equilibrio de Nash, nos deja entre la competencia perfecta y el monopolio. Pero podemos decir más sobre el resultado del duopolio. Nos enfocamos en las ganancias.

PASO En la celda D16 en la hoja Duopoly, ingrese una fórmula que sume las ganancias de las dos firmas en el equilibrio de Nash. ¿Qué son las ganancias de la industria?

Se podría recordar que el monopolio tuvo ganancias máximas de 56 mil 250 centavos. Eso es mejor que los 50,000 centavos que acabas de calcular con tu fórmula en la celda D16 de = B16 + G16.

¿Pueden los duopolistas aumentar sus ganancias a 56,250 como un monopolista? Sí, pueden, pero no podrán honrar sus compromisos.

PASO Establezca las cantidades para ambas empresas (en celdas B20 y G20) en 3,750. ¿Qué pasa con las ganancias?

Sorprendentemente, suben. Si los dos rivales pueden acordar simplemente dividir la producción monopolista de 7,500 kwh, cada uno ganará 28,125 centavos y coincidirá con el resultado del monopolio.

Pero esto no va a durar. ¿Por qué no? ¿Por qué las dos firmas no se juntan y producen 3,750 unidades cada una y obtienen mayores ganancias conjuntas que la solución de equilibrio de Nash? Un solo clic revela la respuesta.

PASO Haga clic en el botón o en el botón.

Si el rival gana 3,750 kwh, la firma maximiza las ganancias en 5,625 kwh. Es decir, tienen un incentivo para hacer trampa al igual que en el juego El dilema del prisionero.

Tan pronto como uno aprovecha, el otro dispara de nuevo y vuelven a girar al equilibrio de Nash.

Podrías sugerir redactar un contrato, pero eso es ilegal e inaplicable en Estados Unidos. Hay otras opciones y estrategias, pero nos alejarían demasiado de la Microeconomía Intermedia. Una atracción fuerte que es fácil de ver es la fusión. Si las dos firmas se combinan en una sola entidad, serán monopolio y gozarán de ganancias monopolistas. Presumiblemente, el Departamento de Justicia se opondría.

Interdependencia

La teoría de juegos es un área emocionante y creciente de la economía. Su principal atractivo radica en el modelado realista de los agentes como tomadores de decisiones estratégicas jugando unos contra otros, moviéndose y contrarrestando. Esto es obviamente lo que hace una firma del mundo real.

El modelo Cournot es un juego sencillo que empareja a dos firmas entre sí. Ilustra muy bien la noción de interdependencia y cómo se mueve una empresa, y luego la otra responde, y así sucesivamente. Mientras que algunos juegos no tienen un equilibrio Nash, los duopolistas de Cournot sí se establecen en una posición de descanso.

La hoja de resumen tiene los resultados de la competencia perfecta, el duopolio y el monopolio. Es claro que el monopolio maximiza las ganancias de la firma, pero la competencia perfecta ofrece al consumidor el precio más bajo y la mayor producción. Volveremos a esta comparación en la tercera y última parte de este libro.

Acabamos de rayar la superficie de la teoría de juegos. Hay muchos, muchos más juegos. El libro RockPaperScissors.xls te permite jugar a este juego infantil en Excel. La Sección 17.7 sobre Cárteles y Pérdida de Peso Muerto tiene otra aplicación de la teoría de juegos.

Para una versión entretenida del dilema del prisionero en un programa de juegos, mira este final del episodio de Golden Balls: tiny.cc/splitsteal. Y para un giro realmente inteligente, mira este: tiny.cc/ibrahim. La estrategia de Nick ha sido proscrita del programa. El blog de teoría de juegos de Cornell tiene una entrada explicándolo: tiny.cc/splitstealanalysis.

Ejercicios

Estos ejercicios se basan en\(c_1=5\). Si hiciste las preguntas de preguntas y respuestas y cambiaste este parámetro, vuelve a cambiarlo a su valor original.

1. Si Conjetado Q2 es 15,000, ¿por qué la Firma 1 decide no producir nada? Utilice la hoja ResidualDemand para apoyar su explicación.

2. Supongamos que la Firma 1 produce 4,500 kwh y la Firma 2 produce 6,000 kwh. ¿La Firma 1 tiene algún arrepentimiento? ¿Firm 2 tiene algún arrepentimiento? Ingresa estos dos valores en la hoja Duopoly y haz clic en los botones. ¿Qué firma cambió de opinión? ¿Por qué?

3. Haga clic en el botón de la hoja Duopoly. Explore el efecto de cambiar la función de costo de la Firma 1 para que\(c_2\) (celda B10) sea 0.001 (con B11 = 5). ¿Cómo afecta esto al equilibrio de Nash?