Hay ocasiones en este curso donde necesitarás computar elasticidades. Para ello se utilizan dos fórmulas. Una es la fórmula puntual. La fórmula puntual será lo más importante para este curso y también es más común en estudios publicados sobre demanda de alimentos. La otra fórmula se llama fórmula de arco o promedio. Dediquemos algo de tiempo en cada uno.
La fórmula puntual para las elasticidades a la demanda
La fórmula general para una elasticidad puede ser reordenada algebraicamente para llegar a la fórmula puntual. Para ilustrar, reescriba la fórmula de elasticidad de precio propio que se muestra arriba de la siguiente manera:
\[\epsilon_{11} = \dfrac{\% \Delta Q_{1}}{\% \Delta P_{1}} = \dfrac{(\Delta Q_{1} / Q_{1}) \times 100}{(\Delta P_{1} / P_{1}) \times 100} = \dfrac{\Delta Q_{1}}{\Delta P_{1}} \times \dfrac {P_{1}}{Q_{1}}\]
Las fórmulas puntuales para diferentes tipos de elasticidades de demanda se reportan en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Anote la similitud en la fórmula para cada tipo de elasticidad. Como cuestión práctica, se necesitan tres términos (números) para calcular una elasticidad usando la fórmula de puntos.
- Dependiendo del tipo de elasticidad, el primer número que necesitas es\(\dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta P_{i}}, \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta P_{j}}, \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta M}, \: or \: \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta X}\). Estos números son términos de pendiente de una relación de demanda directa. Quizás recuerdes de la clase de álgebra que la pendiente es el ascenso sobre la carrera. En este caso la subida es\(\Delta Q_{i}\) y la carrera es\(\Delta P_{i}, \Delta P_{j}, \Delta M, \: or \: \Delta X\).
- El segundo número que necesitas es el valor de la variable demanda en cuestión\(P_{i}, P_{j}, M, \: or \: X\).
- El tercer y último número que necesitas es el valor de\(Q_{i}\).
Mesa\(\PageIndex{1}\). Fórmulas puntuales para elasticidades de demanda.
| Tipo |
Fórmula |
| Elasticidad de precio propio |
\(\epsilon_{ii} = \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta P_{i}} \times \dfrac{P_{i}}{Q_{i}}\) |
| Elasticidad cruzada |
\(\epsilon_{ij}= \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta P_{j}} \times \dfrac{P_{j}}{Q_{i}}, i \neq j\) |
| Elasticidad de ingresos |
\(\epsilon_{iM} = \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta M} \times \dfrac{M}{Q_{i}}\) |
| Elasticidad para otra variable de cambio de demanda\(X\) |
\(\epsilon_{iX} = \dfrac{\Delta Q_{i}}{\Delta X} \times \dfrac{X}{Q_{i}}\) |
Para ilustrar la implementación de la fórmula puntual, considere la siguiente ecuación de demanda directa para el bien 1:
\[Q_{1} = 1.5A + 0.01M + 2P_{2} -4P_{1}\]
En esta ecuación,\(Q_{1}\) está la cantidad de bien 1 en miles de unidades,\(A\) es publicidad,\(M\) es ingreso disponible en dólares,\(P_{2}\) es el precio del bien 2 en dólares, y\(P_{1}\) es el precio del bien 1 en dólares. Primero calculemos la cantidad demandada para el siguiente punto de datos:\((A^{0} = 40, M^{0} = 30000, \(P_{2}^{0} = 20, \: and \: P_{1}^{0} = 60)\). Introducir estos valores en la ecuación de demanda proporciona una cantidad demandada de
\[Q_{1}^{0} = 1.5 \times 40 + 0.01 \times 30000 + 2 \times 20 - 4 \times 60 = 160 \: thousand \: units\]
Ahora puedes usar la fórmula de puntos para obtener medidas de elasticidad. Estas elasticidades se reportan en la Tabla\(\PageIndex{2}\) bajo el rubro “Punto de Datos 0”. Tómate un tiempo para mirar los cálculos de elasticidad. Asegúrese de ver dónde se origina cada valor utilizado en el cálculo de elasticidad.
Ahora, repita el cálculo de elasticidad en otro punto de datos ligeramente diferente:\((A^{1} = 40, M^{1} = 30000, P_{2}^{1} = 20, \: and \: P_{1}^{1} = 50)\). En este nuevo punto de datos, llamémoslo “Data Point 1”, obtenemos una nueva cantidad demandada de
\(Q_{1}^{1} = 1.5 \times 40 + 0.01 \times 30000 + 2 \times 20 - 4 \times 50 = 200 \: thousand \: units\)
Las elasticidades para este nuevo punto de datos también se reportan en la Tabla\(\PageIndex{2}\). Observe que todas las elasticidades de punto son diferentes aunque los propios puntos de datos difieran solo en el valor de\(P_{1}\). La conclusión aquí es que la fórmula puntual da un número de elasticidad en un punto de datos específico y las elasticidades pueden depender del punto de ubicación a lo largo de la ecuación de demanda. Esta es una de las razones por las que se debe tener precaución al usar una elasticidad para pronosticar los efectos de un gran cambio en una de las variables de demanda. Los valores de elasticidad podrían ser muy diferentes en el nuevo punto y en el viejo.
Mesa\(\PageIndex{2}\). Computación de elasticidades con la fórmula puntual.
| Tipo |
Punto de Datos 0 |
Punto de Datos 1 |
| Elasticidad de precio propio |
\(\epsilon_{11} = -4 \times \dfrac{60}{160} = -1.5\) |
\(\epsilon_{11}= -4 \times \dfrac{50}{200} = 1.0\) |
| Elasticidad cruzada |
\(\epsilon_{12} = 2 \times \dfrac{20}{160} = 0.25\) |
\(\epsilon_{12} = 2 \times \dfrac{20}{200} = 0.20\) |
| Elasticidad de ingresos |
\(\epsilon_{1M} = 0.01 \times \dfrac{30000}{160} = 1.875\) |
\(\epsilon_{1M} = 0.01 \times \dfrac{30000}{200} = 1.5\) |
| Elasticidad publicitaria |
\(\epsilon_{1A} = 1.5 \times \dfrac{40}{160} = 0.375\) |
\(\epsilon_{1A} = 1.5 \times \dfrac{40}{200} = 0.30\) |
En este curso, utilizará principalmente especificaciones de demanda lineal, como la que usamos para obtener los números de elasticidad en la Tabla 3. Con demandas lineales, la elasticidad dependerá del punto de ubicación a lo largo del cronograma de demanda. Esto se ilustra a continuación en el Panel A de la Demostración 3. El Panel A muestra que la demanda es elástica a precios altos e inelástica a precios bajos.
La idea de que la demanda sea más elástica a precios más altos tiene sentido intuitivo y probablemente sea cierta para la mayoría de los casos del mundo real. Por ejemplo, los consumidores serán más receptivos cuando el precio de la gasolina aumente de $4.00 por galón a $4.40 por galón que cuando el precio de la gasolina aumente de $2.00 a $2.20 por galón. En cada caso, hay un incremento del 10 por ciento en el precio, pero el incremento provoca más dolor a 4.00 dólares que a $2.00. Sin embargo, el hecho de que las elasticidades varíen a lo largo de un programa lineal de demanda, como el presentado en el Panel A de Demostración\(\PageIndex{1}\), es consecuencia del uso de una especificación lineal para la demanda.
El Panel B de Demostración\(\PageIndex{1}\), muestra una especificación de demanda alternativa que proporciona una elasticidad constante. Esta es una especificación de demanda log-log. Se utiliza el término “log-log”” porque este tipo de horario de demanda es lineal si tomamos su transformación logarítmica (es lineal en logaritmos). Con la curva de demanda lineal, la pendiente no cambia. En otras palabras, siempre\(\dfrac{\Delta Q_{1}}{\Delta P_{1}}\) es lo mismo independientemente de la ubicación en el horario de demanda. Sin embargo, como se muestra en el Panel A de Demostración\(\PageIndex{1}\), la elasticidad de precio propio no es constante y variará entre ser elástica, elástica unitaria e inelástica a medida que pasemos de precios altos a bajos. Con la demanda log-log, la pendiente del horario de demanda cambia a medida que pasamos de precios altos a bajos, pero la elasticidad siempre es constante.
La fórmula de arco para elasticidades
Una fórmula alternativa para calcular las elasticidades es la fórmula del arco. La fórmula de arco devuelve la elasticidad en el promedio de dos puntos en la ecuación de demanda. La Tabla 4 proporciona fórmulas de elasticidad de arco para diferentes elasticidades de demanda.
Mesa\(\PageIndex{3}\). Fórmulas de arco para elasticidades de demanda.
| Tipo |
Fórmula |
| Elasticidad de precio propio |
\(\epsilon_{ii} = \dfrac{Q_{i}^{1} - Q_{i}^{0}}{P_{i}^{1} - P_{i}^{0}} \times \dfrac{P_{i}^{1} + P_{i}^{0}}{Q_{i}^{1} + Q_{i}^{0}}\) |
| Elasticidad cruzada |
\(\epsilon_{ij} = \dfrac{Q_{i}^{1} - Q_{i}^{0}}{P_{j}^{1} - P_{j}^{0}} \times \dfrac{P_{j}^{1} + P_{j}^{0}}{Q_{i}^{1} + Q_{i}^{0}}, i \neq j\) |
| Elasticidad de ingresos |
\(\epsilon_{iM} = \dfrac{Q_{i}^{1}-Q_{i}^{0}}{M^{1}-M^{0}} \times \dfrac{M^{1} + M^{0}}{Q_{i}^{1} + Q_{i}^{0}}\) |
| Elasticidad para otra variable de cambio de demanda\(X\) |
\(\epsilon_{iX} = \dfrac{Q_{i}^{1}- Q_{i}^{0}}{X^{1}-X^{0}} \times \dfrac{X^{1} + X^{0}}{Q_{i}^{1} + Q_{i}^{0}}\) |
Calculemos la elasticidad del arco de precio propio sobre los dos puntos de datos que ya hemos considerado a partir de la ecuación de demanda anterior. Para la elasticidad de precio propio, los dos pares de cantidad de precios son (60,160) y (50,200), respectivamente. Usando estos, la fórmula de elasticidad de arco proporciona una elasticidad en el promedio de estos dos puntos en el cronograma de demanda
\(\epsilon_{11} = \dfrac{200-160}{50-60} \times \dfrac{50 + 60}{200 + 160} = -1.22.\)
Observe que no importa qué punto se designe con un superíndice 1 o superíndice 0, sino que se deben mantener los puntos rectos en el primer término de la fórmula de arco. Invierta el orden de los puntos para que (60,160) se le asigne el superíndice 0 y (50,200) se le asigne el superíndice 1, se obtiene
\(\epsilon_{11} = \dfrac{160-200}{60-50} \times \dfrac{60 + 50}{160 + 200} = -1.22.\)
Usando la fórmula de puntos, encontró la elasticidad del propio precio en\((P_{1}= 60, Q_{1} = 160)\) ser\(\epsilon_{11} = 1.5\). Al\((P_{1} = 50, Q_{1} = 200)\), lo era\(\epsilon_{11} =-1\). El promedio de estos dos puntos es\((P_{1}= 55, Q_{1}=180)\). El uso de la fórmula puntual para medir la elasticidad en este punto promedio proporciona\(\epsilon_{11}=-1.22\), que es lo que se obtuvo de la fórmula de arco. Esto debería ayudarte a obtener algo de intuición sobre la fórmula del arco. La fórmula de arco proporciona una elasticidad en el promedio de los dos puntos utilizados en su cálculo.
Una característica convincente de la fórmula del arco es que solo necesitas conocer dos puntos para calcular una elasticidad. No obstante, es importante hacer hincapié en la disposición de “todo lo demás mantenido constante”. En el ejemplo anterior, esta provisión se cumplió porque los ingresos, el precio del bien 2, y la publicidad se mantuvieron constantes. La única diferencia en los dos puntos de datos fue el precio del bien 1. La aplicación de la fórmula de arco requiere que asuma que todo el cambio de\(Q_{1}^{0}\) a\(Q_{1}^{1}\) es atribuible solo a un cambio observado en\(P_{1}\). En el mundo real, puede ser difícil defender esta suposición.
Como ejercicio, use la fórmula de arco para replicar los rangos de elasticidad reportados anteriormente en la Demostración 3.2.2 después de aumentar o disminuir el precio. En este caso sabes que todo lo demás se ha mantenido constante porque estás comparando dos puntos en el mismo horario de demanda. Puede haber un pequeño error de redondeo en la demostración, pero la fórmula de arco debería darte algo muy cercano al mismo número cuando lo computas a partir de un aumento o disminución de precios.
