6.2: Tarifas Relacionadas

En el concepto sobre diferenciación implícita, aprendiste que dada una relación entre dos cantidades, se puede determinar la relación entre sus respectivas tasas de cambio. Esta suele ser una herramienta invaluable en aplicaciones, ya que nos permite encontrar la tasa a la que alguna cantidad está cambiando relacionándola con otras cantidades cuyas tasas de cambio se conocen (o al menos se encuentran más fácilmente). Por ejemplo, si estuvieras en el lugar de un accidente donde un derrame de petróleo de un gran petrolero se está extendiendo en un patrón circular cuyo radio determina que está aumentando aproximadamente 1 pie por segundo, ¿podría decirle a alguien qué tan rápido estaba aumentando el área de derrame de petróleo cuando el radio era de aproximadamente 30 pies?

---

Tarifas Relacionadas

¿Qué entendemos por tarifas relacionadas? Estas son simplemente las derivadas, tasas, de uno o más parámetros que se relacionan entre sí a través de una ecuación. La relación entre las tasas se obtiene tomando la derivada de alguna otra relación entre los parámetros.

Un ejemplo sencillo con una forma geométrica familiar debería ayudar a ilustrar el concepto.

Considera el triángulo rectángulo simple en la figura de abajo con los lados x, y y z. La relación entre los lados se rige por el Teorema de Pitágoras.

\[ x^2+y^2=z^2 \nonumber\]

CC BY-NC-SA

Fácilmente podríamos adjuntar alguna situación de la vida real a esta figura geométrica. Digamos por ejemplo que x e y representan los caminos de dos personas comenzando en el punto p y caminando hacia el Norte y el Oeste, respectivamente, durante dos horas. La cantidad z representa la distancia entre ellos en cualquier momento t. Vamos a determinar ahora cualquier relación entre las diversas tasas de cambio que obtenemos diferenciando implícitamente la ecuación original x ² +y ² =z ² con respecto al tiempo t.

\[ \frac{d}{dt}[x^2+y^2]=\frac{d}{dt}[z^2] \nonumber\]

\[ 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=2z\frac{dz}{dt} \nonumber\]

\[ x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=z\frac{dz}{dt} \nonumber\]

... Ecuación 1

La diferenciación implícita de la relación pitagórica entre las longitudes laterales ha dado lugar a relaciones entre las derivadas de longitud lateral, y dado que las derivadas son tasas, este es un ejemplo de tasas relacionadas.

¿Cómo podría usarse la relación anterior para resolver o responder un problema?

Digamos que esa persona camina en la dirección x a 5 mph, y que otra persona camina en dirección y a 3 mph. La distancia, z, entre los caminantes va cambiando con el tiempo, y la tasa de cambio temporal de, z, ^dz/_dt, depende de las tasas a las que caminan las dos personas.

Un problema que podríamos plantear es:

¿A qué ritmo aumenta la distancia entre x e y después de una hora? Es decir, ¿qué es dzdt después de una hora?

Supongamos que han caminado durante una hora. Entonces x=5 mi e y=3.

Usando el Teorema de Pitágoras, encontramos que la distancia entre ellos después de una hora es\[ z=\sqrt{34}=5.83 \nonumber\]

CC BY-NC-SA

Si sustituimos los valores de x, y y z en la Ecuación 1 junto con las tasas individuales, obtenemos

\[ 5(5)+3(3)=\sqrt{34}\frac{dz}{dt} \nonumber\]

\[ 34=\sqrt{34}\frac{dz}{dt} \nonumber\]

\[ \frac{34}{\sqrt{34}}=\frac{dz}{dt} \nonumber\]

De ahí que después de una hora la distancia entre las dos personas esté aumentando a un ritmo de:

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{34}{\sqrt{34}}≈5.83 mph \nonumber\]

Supongamos que tenemos un campo rectangular y sabemos que en un instante de tiempo, la longitud está cambiando a razón de 8 pies/hora y el perímetro está cambiando a una velocidad de 24 pies/hora. ¿A qué velocidad cambia el ancho en ese instante? ¿A qué ritmo cambia el área en ese instante?

Usted está familiarizado con las fórmulas para Perímetro:

\[ P=2l+2w \nonumber\]

Si diferenciamos la ecuación perimetral, tenemos

Ecuación 2:\[ \frac{dP}{dt}=2\frac{dl}{dt}+2\frac{dw}{dt} \nonumber\]

Sustituyendo nuestra información conocida en la Ecuación 2, tenemos

\[ 24=(2×8)+2×\frac{dw}{dt} \nonumber\]

\[ 8=2×\frac{dw}{dt} \nonumber\]

\[ 4=\frac{dw}{dt} \nonumber\]

El ancho está cambiando a una velocidad de 4 pies/h.

---

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó acerca de estar en el lugar de un accidente donde un derrame de petróleo de un gran petrolero se está extendiendo en un patrón circular cuyo radio determina está aumentando aproximadamente 1 pie por segundo. ¿Podrías decirle a alguien qué tan rápido aumentaba el área de derrame de petróleo cuando el radio era de unos 30 pies?

Dado que el área circular del derrame es\[ A=πr^2 \nonumber\] la tasa de tiempo de cambio del área es\[ \frac{dA}{dt}=π2r\frac{dr}{dt} \nonumber\] Esto significa que con\[ \frac{dr}{dt}=1 \frac{ft}{s} \nonumber\] cuando r=30 pies,\[ \frac{dA}{dt}=60π \frac{ft^2}{s} \nonumber\]

Ejemplo 2

Tenemos un tanque de agua en forma de cono circular derecho invertido. Supongamos que el agua fluye hacia el tanque a razón de 5 ft3/min. ¿A qué ritmo aumenta el nivel del agua cuando la altura del agua en el tanque es de 6 pies?

CC BY-NC-SA

Sabemos que el volumen de agua en el tanque de agua es:

\[ V=\frac{1}{3} \pi r^2h \nonumber\]

Cuando diferenciamos esta ecuación obtenemos:

\[ \frac{dV}{dt}=\frac{1}{3} \pi (h)(2r)\frac{dr}{dt}+\frac{1}{3} \pi r^2\frac{dh}{dt} \nonumber\]

Esta es una ecuación de tasas relacionadas. La tasa ^dV/_dt está relacionada con las tasas ^dr/_dt y ^dh/_dt.

Sabemos\[ \frac{dV}{dt}=5 \frac{ft^3}{min} \nonumber\] no sabemos ^dr/_dt, pero queremos encontrar ^dh/_dt. Necesitamos de alguna manera encontrar una relación entre h y r.

Deje que r1 sea el radio de la superficie del agua a medida que fluye fuera del tanque.

CC BY-NC-SA

Tenga en cuenta que los dos triángulos son similares y por lo tanto las partes correspondientes son proporcionales. En particular,

\[ \frac {r_1}{h} = \frac{8}{20} \nonumber\]

\[ r_1 = \frac{8h}{20} = \frac{2h}{5} \nonumber\]

Podemos escribir esto como una relación general entre r y h.

\[ r = \frac{2h}{5} \nonumber\]

lo que significa también que

\[ \frac{dr}{dt} =\frac{2}{5} \frac{dh}{dt} \nonumber\]

Tenemos las relaciones que necesitamos.

Ahora podemos resolver el problema de un par de maneras: (a) sustituto

\[ r = \frac{2h}{5} \nonumber\]en la ecuación original para V, o (b) sustituir

\[ r = \frac{2h}{5} \nonumber\]y

\[ \frac{dr}{dt} =\frac{2}{5} \frac{dh}{dt} \nonumber\]en la ecuación para\[ \frac{dV}{dt} \nonumber\]

Intentemos el enfoque (a).

\[ V = \frac{1}{3} \pi (\frac{2h}{5})^2 h = \frac{4 \pi}{75} h^3 \nonumber\]

De ahí

\[ \frac{dV}{dt} = \frac{12 \pi}{75} h^2 \frac{dh}{dt} \nonumber\]

y por sustitución,

\[ 5 = \frac{12 \pi}{75} (36) \frac{dh}{dt} \nonumber\]

\[ \frac{dh}{dt} = \frac{375}{432 \pi} \approx 0.28 \frac{ft}{min} \nonumber\]

---

Revisar

1. Conformar un problema de tarifas relacionado sobre el área de un rectángulo. Ilustrar la solución a su problema.
2. Supongamos que una partícula se está moviendo a lo largo de la curva 4x ² +16y ² =32. Cuando alcanza el punto (2, 1), la coordenada x aumenta a una velocidad de 3 pies/seg. ¿A qué velocidad cambia la coordenada y en ese instante?
3. Un diamante de softbol de regulación es un cuadrado con cada lado de 60 pies de longitud. Supongamos que un jugador corre de primera base a segunda base a una velocidad de 18 pies/seg. ¿A qué ritmo cambia la distancia entre el corredor y el plato principal cuando el corredor es ²/₃ del camino de la primera a la segunda base?
4. En un reciente festival de Globos Aerostáticos, se lanzó un globo aerostático. Al alcanzar una altura de 300 pies, se elevaba a una velocidad de 20 pies/seg. El señor Smith estaba a 100 pies del lugar de lanzamiento observando el globo. ¿A qué ritmo cambiaba en ese instante la distancia entre el señor Smith y el globo?
5. Dos trenes salieron de la estación de tren de San Luis a última hora de la mañana. El primer tren viajaba hacia el Este a una velocidad constante de 65 mph. El segundo tren viajó hacia el sur a una velocidad constante de 75 mph. A las 3 de la tarde, el primer tren había recorrido una distancia de 120 millas mientras que el segundo había recorrido una distancia de 130 millas. ¿Qué tan rápido estaba cambiando la distancia entre los dos trenes en ese momento?
6. Supongamos que una escalera de 17 pies se desliza por una pared a una velocidad de -6 pies/seg. ¿A qué velocidad se mueve la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 8 pies del suelo?
7. Supongamos que la longitud de un rectángulo está aumentando a razón de 6 pies/min y el ancho está aumentando a una velocidad de 2 pies/min. ¿A qué velocidad cambia el área del rectángulo cuando su longitud es de 25 pies y su ancho es de 15 pies?
8. Supongamos que la demanda de cantidad de nuevos televisores de plasma 40′′ está relacionada con su precio unitario por la fórmula p+x ² =1200, donde p se mide en dólares y x se mide en unidades de mil. ¿Cómo cambia la demanda de cantidad cuando x=20, p=1500, y el precio por TV está disminuyendo a una tasa de $10?
9. El volumen de un cubo con lado s está cambiando. En cierto instante, los lados del cubo son de 6 pulgadas y aumentando a razón de ¹/₄ pulgadas/min. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cubo en ese momento?
10. (1) Supongamos que el área de un círculo está aumentando a una velocidad de 24 en ² /min. ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el área es 36π en ²? (2) ¿Qué tan rápido cambia la circunferencia en ese instante?
11. El radio de un círculo es cada vez más grande a una velocidad de 5 centímetros por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el área del círculo cuando el radio es igual a diez centímetros?
12. El área de un círculo se está expandiendo a una velocidad de 100 centímetros cuadrados por segundo en un instante cuando su radio se expande a una velocidad de 50 centímetros por segundo. ¿Cuál es el radio del círculo en ese instante?
13. En un instante dado, el volumen de un cilindro con un área de sección transversal de 6 centímetros cuadrados está aumentando a una velocidad de 10 centímetros cúbicos por segundo. ¿Cuál es la tasa de incremento de su altura en ese instante?
14. Expresar la velocidad de cambio del volumen de un cilindro en función de su radio, su altura y la velocidad de cambio de su radio, si se supone que su altura se mantiene constante.
15. Un objeto de cuatro dimensiones cuyo impulso viene dado por la fórmula\[ M=sin( \pi x_1)+δx_2^3+ln(x_3x_4)x_1^5, where delta is a constant, is falling into a black hole. The resulting compression causes its x₁ value to shrink at a rate of 8 million miles a second (while the other variables remain constant.) If \[ x_3= \frac{5}{x_4} \nonumber\] ¿cuál es el cambio instantáneo en su momento cuando x ₁ =1?

---

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.1.

---

vocabulario

Término	Definición
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}.
tarifas relacionadas	Las tasas relacionadas son derivadas de variables que son comunes (relacionadas) a una o más ecuaciones vinculadas.

---

Recurso Adicional

Video - Problema con la tasa de cambio de escalera

Practica - Tarifas Relacionadas

Mundo Real - Reacción en Cadena