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LibreTexts Español

6.3: Derivadas de Funciones Exponenciales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Las funciones exponenciales y la tasa de cambio se utilizan para modelar muchas situaciones del mundo real, como el crecimiento de la población, la desintegración de la vida media radiactiva, la atenuación de las señales electromagnéticas en los medios y las transacciones financieras. ¿Sabes escribir ecuaciones exponenciales generales para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años, y su tasa de cambio?


Derivadas de Funciones Exponenciales

Una función exponencialf(x) tiene la forma:

f(x)=bx

donde b se llama la base y es un número positivo, real.

La siguiente figura muestra algunas gráficas de función exponencial para 0<b≤10. Es muy claro que el signo de la derivada de un exponencial depende del valor de b. Si 0<b<1, el valor de la derivada de la función (pendiente de la línea tangente) será negativo porque la función siempre va disminuyendo a medida que x aumenta. Para b>1, la derivada de la función siempre será positiva porque la función aumenta a medida que aumenta x.

Screen Shot 2020-11-12 a las 11.45.54 PM.png

CC BY-NC-SA

Pero, ¿cuál es la derivada de una función exponencial? Podemos tomar los siguientes pasos para encontrar una expresión paraddx[bx] usando la definición de la derivada:

ddx[bx]=limh0bx+hbxh... Definición límite de la derivada

=limh0bxbhbxh... Propiedad exponente

=limh0bh1hbx... Factoring

=(limh0bh1h)bx... Límite de propiedad de un producto

El resultado anterior muestraddx[bx] depende del productolimh0bh1h y de la función original. Pero ¿qué eslimh0bh1h? Hay varias formas de evaluar este límite, pero por ahora echemos un vistazo rápido al comportamiento debh1h. Esta función se representa a continuación para un número de valores de b , y el límite ah=0 se indica por los puntos A-E.

Screen Shot 2020-11-21 en 6.04.44 PM.png

CC BY-NC-SA

Si bien no es del todo obvio:limh0bh1h=ln(b). ¿Recuerdas la función de logaritmo naturaly=lnx en tu calculadora? El logaritmo natural es la función logaritmo general con baseb=e=2.71828...

Dada la función exponencialf(x)=bx, donde la base b es un número positivo, real, entonces la representación general de la derivada de una función exponencial es:

ddx[bx]=lnbbx

Añadiendo la Regla de Cadena a la definición, dada la función exponencial f (x) =bu, donde u=g (x) y g (x) es una función diferenciable, entonces:

ddx[bu]=(lnbbu)dudx


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cuál es la ecuación exponencial general para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años es.

Una poblaciónP(t) que se duplica cada 5 años podría modelarse comoP(t)=P02t5, donde la variable t representa número de años desde que la población estaba en un nivel deP0]. ¿Pudiste determinar que la tasa de cambio deP(t) esP(t)=P0ln252t5?

Ejemplo 2

Dadoy=5000.7x, ¿qué esdydx?

dydx=ddx[5000.7x]

=500ddx[0.7x]

=500[ln(0.7)0.7x]... Usa tu calculadora para encontrar ln (0.7)

=178.30.7x

De ahí quedydx=178.30.7x, y como se esperaba, las pendientes de todas las líneas tangentes sean negativas.

Hay un caso especial importante que debes conocer

Ejemplo 3

Dadoy=500ex, ¿qué esdydx?

dydx=ddx[500ex]

=500ddx[ex]

dydx=500[ln(e)ex]... Usa tu calculadora para encontrar ln (e)

=ddx[500ex]

=500[1ex]

=500ex

De ahídydx=500ex,, y esta es solo la función original. Esta función exponencial, con base e, es especial: la tasa de cambio (o pendiente de la línea tangeta) en cualquier punto es igual al valor de la función en ese punto.

Ejemplo 4

Dadoy=102.53x2, ¿qué esdydx?

dydx=ddx[102.53x2]

=10ddx[2.53x2]

=10ln(2.5)2.53x2ddx[3x2]

=10(0.9162)2.53x2[6x]

=55x2.53x2

Por lo tanto,dydx=55x2.53x2

Ejemplo 5

Dado y=500⋅e−2x⋅cos(5πx) \nonumber, ¿qué es \frac{dy}{dx} \nonumber?

\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}[500⋅e−2x⋅cos(5πx)] \nonumber

=500⋅[ \frac{d}{dx}(e−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅ \frac{d}{dx}(cos(5πx))] \nonumber... Regla del producto

=500⋅[ln(e)⋅e−2x \frac{d}{dx}(−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅ \frac{d}{dx}(5πx))] \nonumber... Usar regla de cadena

=500⋅[(1)⋅e−2x⋅(−2)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅5π)] \nonumber... Simplificar.

=−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber... Simplificar

Por lo tanto, \frac{dy}{dx} =−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber.


Revisar

Para #1 -14, encuentra la derivada.

  1. y=7^x \nonumber
  2. y=3^{2x} \nonumber
  3. y=5^x−3x^2 \nonumber
  4. y=2^{x^2} \nonumber
  5. y=e^{x^2} \nonumber
  6. f(x)= \frac{1}{ \sqrt{πσ}}e^{−αk(x−x0)^2} \nonumberdonde σ, α, x0 y k son constantes y σ≠ 0.
  7. y=e^{6x} \nonumber
  8. y=e^{3x^3}−2x^2+6 \nonumber
  9. y=\frac{e^x−e−x}{e^x+e−x} \nonumber
  10. y=cos(e^x) \nonumber
  11. y=e^{−x}3^x \nonumber
  12. y=3^{−x^2+2x+1} \nonumber
  13. y=2^x3^x \nonumber
  14. y=e^{−x}sinx \nonumber
  15. Encuentra una ecuación de la línea tangente a f(x)=x^3+2e^x \nonumber en el punto (0, 2).

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.9.


El vocabulario

Término Definición
derivado La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}.
Función exponencial Una función exponencial es una función cuya variable está en el exponente. La forma general es y=a⋅b^{x−h}+k \nonumber.

Recursos adicionales


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