6.3: Derivadas de Funciones Exponenciales
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Las funciones exponenciales y la tasa de cambio se utilizan para modelar muchas situaciones del mundo real, como el crecimiento de la población, la desintegración de la vida media radiactiva, la atenuación de las señales electromagnéticas en los medios y las transacciones financieras. ¿Sabes escribir ecuaciones exponenciales generales para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años, y su tasa de cambio?
Derivadas de Funciones Exponenciales
Una función exponencialf(x) tiene la forma:
f(x)=bx
donde b se llama la base y es un número positivo, real.
La siguiente figura muestra algunas gráficas de función exponencial para 0<b≤10. Es muy claro que el signo de la derivada de un exponencial depende del valor de b. Si 0<b<1, el valor de la derivada de la función (pendiente de la línea tangente) será negativo porque la función siempre va disminuyendo a medida que x aumenta. Para b>1, la derivada de la función siempre será positiva porque la función aumenta a medida que aumenta x.
CC BY-NC-SA
Pero, ¿cuál es la derivada de una función exponencial? Podemos tomar los siguientes pasos para encontrar una expresión paraddx[bx] usando la definición de la derivada:
ddx[bx]=limh→0bx+h−bxh... Definición límite de la derivada
=limh→0bxbh−bxh... Propiedad exponente
=limh→0bh−1h⋅bx... Factoring
=(limh→0bh−1h)⋅bx... Límite de propiedad de un producto
El resultado anterior muestraddx[bx] depende del productolimh→0bh−1h y de la función original. Pero ¿qué eslimh→0bh−1h? Hay varias formas de evaluar este límite, pero por ahora echemos un vistazo rápido al comportamiento debh−1h. Esta función se representa a continuación para un número de valores de b , y el límite ah=0 se indica por los puntos A-E.
CC BY-NC-SA
Si bien no es del todo obvio:limh→0bh−1h=ln(b). ¿Recuerdas la función de logaritmo naturaly=lnx en tu calculadora? El logaritmo natural es la función logaritmo general con baseb=e=2.71828...
Dada la función exponencialf(x)=bx, donde la base b es un número positivo, real, entonces la representación general de la derivada de una función exponencial es:
ddx[bx]=lnb⋅bx
Añadiendo la Regla de Cadena a la definición, dada la función exponencial f (x) =bu, donde u=g (x) y g (x) es una función diferenciable, entonces:
ddx[bu]=(lnb⋅bu)dudx
Ejemplos
Ejemplo 1
Anteriormente, se le preguntó cuál es la ecuación exponencial general para el crecimiento de una población que se duplica cada 5 años es.
Una poblaciónP(t) que se duplica cada 5 años podría modelarse comoP(t)=P02t5, donde la variable t representa número de años desde que la población estaba en un nivel deP0]. ¿Pudiste determinar que la tasa de cambio deP(t) esP′(t)=P0ln25⋅2t5?
Ejemplo 2
Dadoy=500⋅0.7x, ¿qué esdydx?
dydx=ddx[500⋅0.7x]
=500ddx[0.7x]
=500[ln(0.7)⋅0.7x]... Usa tu calculadora para encontrar ln (0.7)
=−178.3⋅0.7x
De ahí quedydx=−178.3⋅0.7x, y como se esperaba, las pendientes de todas las líneas tangentes sean negativas.
Hay un caso especial importante que debes conocer
Ejemplo 3
Dadoy=500⋅ex, ¿qué esdydx?
dydx=ddx[500⋅ex]
=500ddx[ex]
dydx=500[ln(e)⋅ex]... Usa tu calculadora para encontrar ln (e)
=ddx[500⋅ex]
=500[1⋅ex]
=500⋅ex
De ahídydx=500⋅ex,, y esta es solo la función original. Esta función exponencial, con base e, es especial: la tasa de cambio (o pendiente de la línea tangeta) en cualquier punto es igual al valor de la función en ese punto.
Ejemplo 4
Dadoy=10⋅2.5−3x2, ¿qué esdydx?
dydx=ddx[10⋅2.5−3x2]
=10ddx[2.5−3x2]
=10⋅ln(2.5)⋅2.5−3x2⋅ddx[−3x2]
=10⋅(0.9162)⋅2.5−3x2⋅[−6x]
=−55x⋅2.5−3x2
Por lo tanto,dydx=−55x⋅2.5−3x2
Ejemplo 5
Dado y=500⋅e−2x⋅cos(5πx) \nonumber, ¿qué es \frac{dy}{dx} \nonumber?
\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}[500⋅e−2x⋅cos(5πx)] \nonumber
=500⋅[ \frac{d}{dx}(e−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅ \frac{d}{dx}(cos(5πx))] \nonumber... Regla del producto
=500⋅[ln(e)⋅e−2x \frac{d}{dx}(−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅ \frac{d}{dx}(5πx))] \nonumber... Usar regla de cadena
=500⋅[(1)⋅e−2x⋅(−2)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅5π)] \nonumber... Simplificar.
=−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber... Simplificar
Por lo tanto, \frac{dy}{dx} =−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber.
Revisar
Para #1 -14, encuentra la derivada.
- y=7^x \nonumber
- y=3^{2x} \nonumber
- y=5^x−3x^2 \nonumber
- y=2^{x^2} \nonumber
- y=e^{x^2} \nonumber
- f(x)= \frac{1}{ \sqrt{πσ}}e^{−αk(x−x0)^2} \nonumberdonde σ, α, x0 y k son constantes y σ≠ 0.
- y=e^{6x} \nonumber
- y=e^{3x^3}−2x^2+6 \nonumber
- y=\frac{e^x−e−x}{e^x+e−x} \nonumber
- y=cos(e^x) \nonumber
- y=e^{−x}3^x \nonumber
- y=3^{−x^2+2x+1} \nonumber
- y=2^x3^x \nonumber
- y=e^{−x}sinx \nonumber
- Encuentra una ecuación de la línea tangente a f(x)=x^3+2e^x \nonumber en el punto (0, 2).
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
derivado | La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}. |
Función exponencial | Una función exponencial es una función cuya variable está en el exponente. La forma general es y=a⋅b^{x−h}+k \nonumber. |