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4: Triángulos
4.17: Teorema de la suma del ángulo del triángulo

4.17: Teorema de la suma del ángulo del triángulo

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Los ángulos interiores de un triángulo se suman a 180 grados Usa ecuaciones para encontrar medidas de ángulo faltantes dada la suma de 180 grados.

Teorema de suma de triángulo

El Teorema de la Suma del Triángulo dice que los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman\(180^{\circ}\).

F-D_35DAA1EEB534667D486815C372805963AD3D556E00BF05B424DA4240+Imagen_Tiny+Imagen_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

\(m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3=180^{\circ}\).

Aquí hay una prueba del Teorema de la Suma del Triángulo.

F-D_53c1711c28376afeb3901226345f0d73193630ab1c9d0b81a4076eb2+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Dado:\(\Delta ABC\) con\(\overleftrightarrow{AD} \parallel \overline{BC}\)

Demostrar:\(m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3=180^{\circ}\)

*Comunicado*	*Razón*
1. \(\Delta ABC with \overleftrightarrow{AD} \parallel \overline{BC}\)	Dado
2. \\(angle 1\cong \angle 4,\: \angle 2\cong \angle 5\)	Teorema de ángulos interiores alternos
3. \(m\angle 1=m\angle 4,\: m\angle 2=m\angle 5\)	\ cong ángulos tienen = medidas
4. \(m\angle 4+m\angle CAD=180^{\circ}\)	Postulado de Par Lineal
5. \(m\angle 3+m\angle 5=m\angle CAD\)	Postulado de Adición de Ángulo
6. \(m\angle 4+m\angle 3+m\angle 5=180^{\circ}\)	Sustitución PoE
7. \(m\angle 1+m\angle 3+m\angle 2=180^{\circ}\)	Sustitución PoE

Puedes usar el Teorema de la suma de triángulos para encontrar los ángulos faltantes en los triángulos.

¿Y si supieras que dos de los ángulos en un triángulo medían\(55^{\circ}\)? ¿Cómo se pudo encontrar la medida del tercer ángulo?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dos ángulos interiores de un triángulo miden\(50^{\circ}\) y\(70^{\circ}\). ¿Cuál es el tercer ángulo interior del triángulo?

Solución

\(50^{\circ}+70^{\circ}+x=180^{\circ}\).

Resuelve esta ecuación y encuentras que el tercer ángulo es\(60^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor de\(x\) y la medida de cada ángulo.

f-d_7b8e66f430ffc76bb5534fa671b83a5f2e3fe8ba71eee3ca327e6f8b+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Todos los ángulos se suman a\(180^{\circ}\).

\(\begin{align*} (8x−1)^{\circ}+(3x+9)^{\circ}+(3x+4)^{\circ}&=180^{\circ} \\ (14x+12)^{\circ}&=180^{\circ} \\ 14x&=168 \\ x&=12\end{align*} \)

Sustituye en 12\(x\) para encontrar cada ángulo.

\([3(12)+9]^{\circ}=45^{\circ} \qquad [3(12)+4]^{\circ}=40^{\circ} \qquad [8(12)−1]^{\circ}=95^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Qué es m\ ángulo T?

f-d_bf8a6c18ed5d3f46907e05a48d9e0f134099b1d364de4bc48b4bd236+imagen_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

Sabemos que los tres ángulos en el triángulo deben sumar\(180^{\circ}\). Para resolver este problema, establezca una ecuación y sustituya en la información que conozca.

\(\begin{align*} m\angle M+m\angle A+m\angle T&=180^{\circ} \\ 82^{\circ}+27^{\circ}+m\angle T&=180^{\circ} \\ 109^{\circ}+m\angle T&=180^{\circ} \\ m\angle T &=71^{\circ}\end{align*}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿Cuál es la medida de cada ángulo en un triángulo equiangular?

f-d_cac589bd0ddeabd70da27b6ce7d52157880551006d5bdcbbe28bc805+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

Para resolver, recuerda que\(\Delta ABC\) es un triángulo equiangular, por lo que los tres ángulos son iguales. Escribe una ecuación.

\(\begin{align*} m\angle A+m\angle B+m\angle C &=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle A+m\angle A&=180^{\circ} \qquad &Substitute,\: all\: angles\: are \: equal. \\ 3m\angle A&=180^{\circ} \qquad &Combine\:like \:terms. \\ m\angle A&=60^{\circ}\end{align*}\)

Si\(m\angle A=60^{\circ}\), entonces\(m\angle B=60^{\circ}\) y\(m\angle C=60^{\circ}\).

Cada ángulo en un triángulo equiangular es\(60^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la medida del ángulo faltante.

f-d_c8010a492200ade7e2428f420db7dc2f06bcc408239725f233f05ffb+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{6}\)

Solución

Eso lo sabemos\(m\angle O=41^{\circ}\) y\(m\angle G=90^{\circ}\) porque es un ángulo recto. Establezca una ecuación como en el Ejemplo 3.

\(\begin{align*} m\angle D+m\angle O+m\angle G&=180^{\circ} \\ m\angle D+41^{\circ}+90^{\circ}&=180^{\circ} \\ m\angle D+41^{\circ}&=90^{\circ}\\ m\angle D=49^{\circ}\end{align*}\)

Revisar

Determinar\(m\angle 1\) en cada triángulo.

f-d_0296a21a50edde4acc9e45c33aa3cea7e968b6753ac5de4243dc8330+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{7}\)

f-d_20a99a851820078b550ee5a460f96fdcbb8ad57c82fb9c89031fff48+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{8}\)

f-d_66bb32804169ab7306a83891c975f06a0d4b488fce5de3ac0a2370dd+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{9}\)

f-d_a5ece8c8cc1829ef0a5c9ae93a71e96b573ed34fbb36aa9991a4e07f+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{11}\)

F-D_75bd2abcf85e8184ff656f62a670b474996067a3ef444d21874d1924+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{12}\)

f-d_fc3b9f506d2ae48983721555ab17e27f05f01805333aa21bd0c3bb9c+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{13}\)

8. Dos ángulos interiores de un triángulo miden\(32^{\circ}\) y\(64^{\circ}\). ¿Cuál es el tercer ángulo interior del triángulo?

9. Dos ángulos interiores de un triángulo miden\(111^{\circ}\) y\(12^{\circ}\). ¿Cuál es el tercer ángulo interior del triángulo?

10. Dos ángulos interiores de un triángulo miden\(2^{\circ}\) y\(157^{\circ}\). ¿Cuál es el tercer ángulo interior del triángulo?

Encuentra el valor de\(x\) y la medida de cada ángulo.

11.

F-d_45c767b4c3783a9919fb5476adcc9e4d03b522ba375c76a823030daf+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{14}\)

12.

F-D_89D27293478497A5B50678A7E4EF397006463533F5BA716B52C12ECE+Image_Tiny+Image_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{15}\)

13.

f-d_7a788a2cb589b9d5aba5161f9e6cb988fc0baffb3034a3f57ab02cac+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{16}\)

14.

f-d_26133abb51781b9bea42271ee4b80e896e6fc56fe0f71758fd7f447e+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{17}\)

15.

f-d_00aad463ceee48d56386865c34392be2ef4f321765eed953d6238d53+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{18}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.1.

Recursos

El vocabulario

Término	Definición
Teorema de suma de triángulo	El Teorema de la Suma del Triángulo establece que los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 grados.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios del teorema de la suma del triángulo - Básico

Actividades: Teorema de la suma del triángulo Preguntas de discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de las relaciones

Práctica: Teorema de suma de ángulos triangulares

Mundo real: Teorema de la suma del triángulo