9.21: Alturas de los Cilindros Dada la Superficie o Volumen
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La familia de Gregory acaba de comprar una bañera de hidromasaje para su casa del lago. La compañía de jacuzzi le dijo a su familia que la tina contiene 125 pies cúbicos de agua. A Gregory le interesa saber qué tan profundo es el jacuzzi. Mide el diámetro de la parte superior y encuentra que el jacuzzi tiene 6 pies de ancho. ¿Cuál es la altura, o profundidad, de la bañera de hidromasaje?
En este concepto, aprenderás a calcular la altura de un cilindro cuando se le da el volumen y el radio o diámetro.
Encontrar la altura de un cilindro dado el volumen
En ocasiones conocerás el volumen y el radio de un cilindro y no sabrás la altura del mismo. Piensa en una torre de agua que sea de forma cilíndrica. Quizás sepas cuánto volumen va a contener el tanque y el radio del tanque, pero no la altura del mismo. Cuando esto sucede, puedes usar la fórmula para el volumen de un cilindro para encontrar la altura que falta:
\(\begin{aligned} V&= \pi r^{2}h \\ V&= \pi (2)^{2}(10) \\ V&= \pi (4)(10) \\ V&= 40\pi \\ V&= 125.6 \text{ in}^{3}\)
Veamos un ejemplo.
Un cilindro con un radio de 2 pulgadas tiene un volumen de 125.6 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es la altura del cilindro?
Se dan el volumen y el radio, así que sustituya estos en la fórmula y luego resuelva por h, la altura.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 125.6&=(3.14)(22)h \\ 125.6&=(3.14)(4)h \\ 125.6&=12.56h \\ 125.6&\divide 12.56 \\ 10 \text{ in}&=12.56 h\divide 12.56=h\end{aligned}\)
La altura del cilindro es de 10 pulgadas.
Revisa tu trabajo sustituyendo la respuesta por la altura. Deberías obtener un volumen de 125.6 pulgadas cúbicas.
\(\begin{aligned} V&= \pi r^{2}h \\ V&= \pi (2)^{2}(10) \\ V&= \pi (4)(10) \\ V&= 40\pi \\ V&= 125.6 \text{ in}^{3}\end{aligned} \)
¿Cuál es la altura de un cilindro que tiene un radio de 6 cm y un volumen de 904.32 cm cúbicos?
Nuevamente, se le ha dado el volumen y el radio. Poner esta información en la fórmula junto con el valor de pi y resolver para h, la altura.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 904.32&=(3.14)(62)h \\ 904.32&=(3.14)(36)h \\ 904.32&=113.04 h \\ 904.32\divide 113.04&=113.04h\divide 113.04 \\ 8 \text{ cm}&=h\end{aligned}\)
La altura de este cilindro es de 8 centímetros.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Antes, te dieron un problema sobre Gregory y el jacuzzi de su familia.
Para resolverlo, usa la fórmula para el volumen de un cilindro. Él ya sabe que el volumen de la tina es de 125 pies cúbicos y el diámetro es de 6 pies.
Solución
Primero, divida el diámetro por 2 y conecte los valores de volumen, pi y radio en la fórmula para el volumen de un cilindro.
\(\begin{aligned}r&= 6\divide 2 \\ r&= 3 \\ V&= \pi r^{2}h \\ 125&=(3.14)(3^{2})h\end{aligned}\)
A continuación, cuadrar el radio y multiplicar los valores juntos.
\(\begin{aligned}125&=(3.14)(3^{2})h \\ 125&=(3.14)(9)h \\ 125&=28.26h\end{aligned} \)
Por último, dividir ambos lados por 200.96 para la respuesta, recordando incluir la unidad de medida apropiada.
\(\begin{aligned}125&=28.26h \\ 125\divide 28.26&=28.26 h\divide 28.26 \\ 4.42 \text{ ft}&=hv\end{aligned}\)
La respuesta es el jacuzzi de Gregory tiene 4.42 pies de profundidad.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Javier quiere construir un recipiente cilíndrico para contener suficiente agua para su pez mascota. Leyó que los peces necesitan vivir en 2,110.08 pulgadas cúbicas de agua. Si construye un tanque con un diámetro de 16 pulgadas, ¿qué tan alto debe hacerlo para que retenga la cantidad correcta de agua?
Solución
Primero, divida el diámetro por 2 y conecte los valores de volumen, pi y radio en la fórmula para el volumen de un cilindro.
\(\begin{aligned}r&= 16\divide 2 \\ r&= 8 \\ V&=(3.14)(82)h \\ 2,110.08&=\pi r^{2}h\end{aligned}\)
A continuación, cuadrar el radio y multiplicar los valores juntos.
\(\begin{aligned}2,110.08&=(3.14)(8^{2})h \\ 2,110.08&=(3.14)(64)h \\ 2,110.08&=200.96h\end{aligned}\)
Después, divida ambos lados por 200.96 para la respuesta, recordando incluir la unidad de medida apropiada.
\(\begin{aligned}2,110.08&=200.96h \\ 2,110.08\divide 200.96&=200.96 h\divide 200.96 \\ 10.5 \text{ in}&=h\end{aligned}\)
La respuesta es Javier debe hacer su tanque de 10.5 pulgadas de alto para que su tanque pueda contener 2,110.08 pulgadas cúbicas de agua.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra la altura de un cilindro con radio = 6 pulgadas y volumen = 904.32 pulgadas cúbicas.
Solución
Primero, conecte los valores del volumen, pi y radio en la fórmula para el volumen de un cilindro.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 904.32&=(3.14)(6^{2})h\end{aligned} \)
A continuación, cuadrar el radio y multiplicar los valores juntos.
\(\begin{aligned}904.32&=(3.14)(62)h \\ 904.32&=(3.14)(36)h \\ 904.32&=113.04h\end{aligned}\)
Por último, divida cada lado por 113.04 para la respuesta, recordando incluir la unidad de medida apropiada.
\(\begin{aligned}904.32&=113.04h \\ 904.32\divide 113.04&=113.04h\divide 113.04 \\ 8 \text{ in}&=h\end{aligned}\)
La respuesta es que la altura del cilindro es de 8 pulgadas.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la altura de un cilindro con radio = 3 metros y volumen = 354.34 metros cúbicos.
Solución
Primero, conecte los valores del volumen, pi y radio en la fórmula para el volumen de un cilindro.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2} h \\ 354.34&=(3.14)(3^{2})h \end{aligned}\)
A continuación, cuadrar el radio y multiplicar los valores juntos.
\(\begin{aligned}354.34&=(3.14)(3^{2})h \\ 904.32&=(3.14)(9)h \\ 354.34&=28.26h \end{aligned}\)
Por último, divida cada lado por 28.26 para la respuesta, recordando incluir la unidad de medida apropiada.
\(\begin{aligned}354.34v=28.26h \\ 354.34\divide 28.26&=28.26h\divide 28.26 \\ 9 \text{ m}&=h\end{aligned}\)
La respuesta es que la altura del cilindro es de 9 metros.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Encuentra la altura de un cilindro con radio = 5 pies y volumen = 785 pies cúbicos.
Solución
Primero, conecte los valores del volumen, pi y radio en la fórmula para el volumen de un cilindro.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2} h \\ 785&=(3.14)(52)h\end{aligned}\)
A continuación, cuadrar el radio y multiplicar los valores juntos.
\(\begin{aligned}785&=(3.14)(52)h \\ 785&=(3.14)(25)h \\ 785&=78.5h \end{aligned}\)
Por último, divida cada lado por 78.5 para la respuesta, recordando incluir la unidad de medida apropiada.
\(\begin{aligned}785&=78.5h \\ 785\divide 78.5&=78.5\divide 78.5 \\ 10 \text{ ft}&=h\end{aligned} \)
La respuesta es que la altura del cilindro es de 10 pies.
Revisar
Dado el volumen y el radio, encuentra la altura de cada cilindro.
- \(r= 6 \text{ in}\),\(V&= 904.32 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 5 \text{ in}\),\(V&= 706.5 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 7 \text{ ft}\),\(V&= 2307.9 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 8 \text{ ft}\),\(V&= 4019.2 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 7 \text{ ft}\),\(V&= 1538.6 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 12\text{ m}\),\(V&= 6330.24\text{ m}^{3}\)
- \(r= 9\text{ m}\),\(V&= 4069.49\text{ m}^{3}\)
- \(r= 10\text{ m}\),\(V&= 5652\text{ m}^{3}\)
- \(r= 12 \text{ in}\),\(V&= 11304 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 11 \text{ ft}\),\(V&= 3039.52 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 10 \text{ in}\),\(V&= 1570 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 9.5 \text{ in}\),\(V&= 1700.31 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 8\text{ m}\),\(V&= 1808.64\text{ m}^{3}\)
- \(r= 14 \text{ ft}\),\(V&= 5538.96 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 13.5 \text{ in}\),\(V&= 4005.85 \text{ in}^{3}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.13.
Recursos
Elemento Interactivo
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Unidades Cúbicas | Las unidades cúbicas son unidades de medida tridimensionales, como en el volumen de una figura sólida. |
| Volumen | Volumen es la cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto tridimensional. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Volumen del cilindro y área de superficie
Práctica: Alturas de los Cilindros Dada la Superficie o Volumen
Mundo real: Todos gritamos por helado