4.8: Aplicaciones de Trigonometría Triangular Básica

Decidir cuándo usar SOH, CAH, TOA, Ley de Cosinos o Ley de Senos no siempre es obvio. A veces más de un enfoque funcionará y a veces los cálculos correctos aún pueden llevar a resultados incorrectos. Esto se debe a que la interpretación correcta sigue siendo esencial.

Si usas tanto la Ley de Cosinos como la Ley de los Senos en un triángulo con lados 4, 7, 10 terminas con respuestas contradictorias. ¿Por qué?

Aplicaciones de trigonometría

Al aplicar la trigonometría, es importante tener una caja de herramientas clara de técnicas matemáticas para usar. Algunas de las técnicas pueden ser revisadas como el hecho de que los tres ángulos en un triángulo se suman a ser\(180^{\circ}\), otras técnicas pueden ser más nuevas como la Ley de cosenos. Echa un vistazo a todas las herramientas que tienes en tu caja de herramientas para resolver aplicaciones con trigonometría.

Caja de herramientas

• Los tres ángulos en un triángulo suman a ser\(180^{\circ}\).
• Hay\(360^{\circ}\) en un círculo y esto puede ayudarnos a interpretar los ángulos negativos como ángulos positivos.
• El Teorema de Pitágoras afirma que para piernas\(a, b\) e hipotenusa\(c\) en un triángulo rectángulo,\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)
• El Teorema de la Desigualdad del Triángulo establece que para cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos lados debe ser mayor que el tercer lado.
• La Ley de los cosenos:\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C\)
• La Ley de los senos:\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\) o\(\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}\) (Cuidado con el caso ambiguo)
• SOH CAH TOA es un dispositivo mnemotécnico para ayudarte a recordar las tres funciones trigonométricas originales:

\(\sin \theta=\frac{o p p}{h y p} \quad \cos \theta=\frac{a d j}{h y p} \quad \tan \theta=\frac{o p p}{a d j}\)

• \(30-60-90\)los triángulos rectos tienen relaciones laterales\(x, x \sqrt{3}, 2 x\)
• 45-45-90 triángulos rectos tienen relaciones laterales\(x, x, x \sqrt{2}\)
• Los triples numéricos pitagóricos son extremadamente comunes y siempre deben reconocerse en los problemas del triángulo rectángulo. Ejemplos de triples son 3,4,5 y\(5,12,13 .\)

También serán necesarias algunas definiciones para resolver aplicaciones. El ángulo de elevación es el ángulo en el que se ve y se opone por encima del horizonte. El ángulo de depresión es el ángulo en el que se ve y se opone por debajo del horizonte. El rumbo es cómo se mide la dirección en el mar. Norte es\(0^{\circ},\) Este es\(90^{\circ},\) Sur es\(180^{\circ}\) y Occidente es\(270^{\circ}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, te preguntaron por qué puedes terminar con respuestas contradictorias si usas tanto la Ley de los Sinos como la Ley de los Cosinos. En ocasiones al usar la Ley de los Sinos se pueden obtener respuestas que no coinciden con la Ley de los Cosinos. Ambas respuestas pueden ser correctas computacionalmente, pero la Ley de los Sines puede implicar interpretación cuando el triángulo es obtuso. La Ley de Cosinos no requiere de esta interpretación.

Primero, usa Ley de cosenos para encontrar\(\angle B\):

\(12^{2}=3^{2}+14^{2}-2 \cdot 3 \cdot 14 \cdot \cos B\)
\(\angle B=\cos ^{-1}\left(\frac{12^{2}-3^{2}-14^{2}}{-2 \cdot 3 \cdot 14}\right) \approx 43.43^{\circ}\)

Entonces, usa Ley de los senos para encontrar\(\angle C\). Utilice el valor no redondeado\(B\) aunque se muestre un valor redondeado.

\(\begin{aligned} \frac{\sin 43.43^{\circ}}{12} &=\frac{\sin C}{14} \\ \frac{14 \sin 43.43^{\circ}}{12} &=\sin C \\ \angle C &=\sin ^{-1}\left(\frac{14 \sin 43.43^{\circ}}{12}\right) \approx 53.3^{\circ} \end{aligned}\)

Utilice la Ley de cosenos para verificar dos veces\(\angle C\).

\(\begin{aligned} 14^{2} &=3^{2}+12^{2}-2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot \cos C \\ C &=\cos ^{-1}\left(\frac{14^{2}-3^{2}-12^{2}}{-2 \cdot 3 \cdot 12}\right) \approx 126.7^{\circ} \end{aligned}\)

Observe que las dos últimas respuestas no coinciden, sino que son complementarias. Esto se debe a que este triángulo es obtuso y la\(\sin ^{-1}\left(\frac{o p p}{h y p}\right)\) función se restringe a producir solamente ángulos agudos.

Ejemplo 2

A un equipo de topografía se le da el trabajo de verificar la altura de un acantilado. Desde el punto\(A\), miden un ángulo de elevación hasta la cima del acantilado para ser\(\alpha=21.567^{\circ}\). Se mueven 507 metros más cerca del acantilado y encuentran que el ángulo hacia la cima del acantilado es ahora\(\beta=25.683^{\circ}\). ¿Qué tan alto es el acantilado?

Tenga en cuenta que\(\alpha\) es solo la letra griega alfa y en este caso representa el número\(21.567^{\circ} . \beta\) es la letra griega beta y representa el número\(25.683^{\circ}\).

Primero, dibuja la imagen y etiquete lo que sabes.

A continuación, debido a que la altura se mide en ángulo recto con el suelo, establece dos ecuaciones. Recuerda eso\(\alpha\) y\(\beta\) son solo números, no variables.

\(\tan \alpha=\frac{h}{507+x}\)
\(\tan \beta=\frac{h}{x}\)

Ambas ecuaciones se pueden resolver para\(h\) y luego establecer iguales entre sí para encontrar\(x\).

\(\begin{aligned} h=\tan \alpha(507+x) &=x \tan \beta \\ 507 \tan \alpha+x \tan \alpha &=x \tan \beta \\ 507 \tan \alpha &=x \tan \beta-x \tan \alpha \\ 507 \tan \alpha &=x(\tan \beta-\tan \alpha) \\ x=\frac{507 \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} &=\frac{507 \tan 21.567^{\circ}}{\tan 25.683^{\circ}-\tan 21.567^{\circ}} \approx 2340 \text { meters} \end{aligned}\)

ya que el problema pidió la altura, es necesario sustituir la\(x\) espalda y resolver por\(h\).
\(h=x \tan \beta=2340 \tan 25.683^{\circ} \approx 1125.31\)metros

Ejemplo 3

Dado un triángulo con SSS o SAS sabes usar la Ley de cosenos. En triángulos donde hay ángulos y lados correspondientes como AAS o SSA tiene sentido utilizar la Ley de los senos. ¿Qué pasa con ASA?

Dado\(\Delta A B C\) con\(A=\frac{\pi}{4}\) radianes,\(C=\frac{\pi}{6}\) radianes y\(b=10\) en que es\(a\)?

Primero, dibuja un cuadro.

La suma de los ángulos en un triángulo es\(180^{\circ}\). ya que este problema está en radianes necesitas convertir esta regla a radianes, o convertir la imagen a grados.

\ begin {array} {l}
A=\ frac {\ pi} {4}\ cdot\ frac {180^ {\ circ}} {\ pi} =45^ {\ circ}\\
C=\ frac {\ pi} {6}\ cdot\ frac {180^ {\ circ}} {\ pi} =30^ {\ circ}
\ end array}

El ángulo faltante debe ser\(\angle B=105^{\circ}\). Ahora puedes usar la Ley de los senos para resolver\(a\).

\(\begin{aligned} \frac{\sin 105^{\circ}}{10} &=\frac{\sin 45^{\circ}}{a} \\ a &=\frac{10 \sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 7.32 i n \end{aligned}\)

Ejemplo 4

El ángulo de depresión de una embarcación en la distancia desde la cima de un faro es\(\frac{\pi}{10}\). El faro mide 200 pies de altura. Encuentra la distancia desde la base del faro hasta el barco.

Cuando haces un dibujo, ves que el ángulo dado no\(\frac{\pi}{10}\) está directamente dentro del triángulo entre el faro, el barco y la base del faro. Es complementario al ángulo que necesitas.

\(\begin{aligned} \frac{\pi}{10}+\theta &=\frac{\pi}{2} \\ \theta &=\frac{2 \pi}{5} \end{aligned}\)

Ahora que tienes el ángulo, usa tangente para resolver\(x\).

\(\begin{aligned} \tan \frac{2 \pi}{5} &=\frac{x}{200} \\ x &=200 \tan \frac{2 \pi}{5} \approx 615.5 \mathrm{ft} \end{aligned}\)

Alternativamente, podrías haber notado que\(\frac{\pi}{10}\) es alternar ángulos interiores con el ángulo de elevación del faro desde la perspectiva de la embarcación. Esto produciría la misma distancia para\(x\).

Ejemplo 5

Desde el tercer piso de un edificio (50 pies) David observa un automóvil moviéndose hacia el edificio circulando por las calles de abajo. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de\(21^{\circ}\) a\(45^{\circ}\) mientras mira, ¿hasta dónde viajó el automóvil?

Dibuja una imagen muy cuidadosa:

En la esquina superior derecha de la imagen hay cuatro ángulos importantes que están marcados con ángulos. Las medidas de estos ángulos desde el exterior adentro son\(90^{\circ}, 45^{\circ}, 21^{\circ}, 69^{\circ}\). Hay un triángulo rectángulo 45-45-90 a la derecha, por lo que la base también debe ser\(50 .\) Por lo tanto se puede configurar y resolver una ecuación para\(x\)

\(\begin{aligned} \tan 69^{\circ} &=\frac{x+50}{50} \\ x &=50 \tan 69^{\circ}-50 \approx 80.25 \mathrm{ft} \end{aligned}\)

Revisar

El ángulo de depresión de una embarcación en la distancia desde la cima de un faro es\(\frac{\pi}{6}\). El faro mide 150 pies de altura. Se quiere encontrar la distancia desde la base del faro hasta el barco.

1. Dibuja una imagen de esta situación.

2. ¿Qué métodos o técnicas utilizarás?

3. Resolver el problema.

Desde el tercer piso de un edificio (60 pies) Jeff observa un automóvil moviéndose hacia el edificio conduciendo por las calles de abajo. El ángulo de depresión del auto cambia de\(34^{\circ}\) a\(62^{\circ}\) mientras observa. Quieres saber hasta dónde viajó el auto.

4. Dibuja una imagen de esta situación.

5. ¿Qué métodos o técnicas utilizarás?

6. Resolver el problema.

Un barco recorre 6 millas NW y luego 2 millas SW. Quieres saber qué tan lejos está el barco desde su punto de partida.

7. Dibuja una imagen de esta situación.

8. ¿Qué métodos o técnicas utilizarás?

9. Resolver el problema.

Se quiere averiguar la altura de un edificio. Desde el punto\(A\), se mide un ángulo de elevación a la parte superior del edificio a ser\(\alpha=10^{\circ}\). Te mueves 50 pies más cerca del edificio para apuntar\(B\) y encontrar que el ángulo hacia la parte superior del edificio es ahora\(\beta=60^{\circ}\).

10. Dibuja una imagen de esta situación.

11. ¿Qué métodos o técnicas utilizarás?

12. Resolver el problema.

13. Dado\(\Delta A B C\) con\(A=40^{\circ}, C=65^{\circ}\) y\(b=8\) en, ¿qué es\(a\)?

14. Dado\(\Delta A B C\) con\(A=\frac{\pi}{3}\) radianes,\(C=\frac{\pi}{8}\) radianes y\(b=12\) en que es\(a\)?

15. Dado\(\Delta A B C\) con\(A=\frac{\pi}{6}\) radianes,\(C=\frac{\pi}{4}\) radianes y\(b=20\) en que es\(a\)?