5.1: El Círculo de Unidades
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El círculo unitario es un círculo de radio uno, centrado en el origen, que resume todas las relaciones\(30-60-90\) y\(45-45-90\) triangulares que existen. Cuando se memoriza, es extremadamente útil para evaluar expresiones como\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) o\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\). También ayuda a producir las gráficas parentales de seno y coseno.
¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para evaluar\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) y\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right) ?\)
El círculo de unidades
Ya sabes traducir entre grados y radianes y las relaciones triangulares para triángulos 30-60-90 y 45-45-90 triángulos rectos. Para estar listo para rellenar completamente y memorizar un círculo unitario, es necesario elaborar dos triángulos. Comience por encontrar las longitudes laterales de un triángulo 30-60-90 y un triángulo 45-45-90 cada uno con hipotenusa igual a 1.
\ (
\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline 30^ {\ circ} & 60^ {\ circ} & 90^ {\ circ}\
\ hline x & x\ sqrt {3} & 2 x\
\ hline\ frac {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2} & 1\
\ hhlínea
\ end {array}
\)
\ (
\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline 45^ {\ circ} & 45^ {\ circ} & 90^ {\ circ}\
\ hline x & x & x\ sqrt {2}\\ hline
\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {2} &\ frac {\ sqrt {2}} {2} y 1\
\ hline
\ end {array}
\)
Esta es información suficiente para llenar los puntos importantes en el primer cuadrante del círculo unitario. A continuación se muestran los valores de\(y\) las coordenadas\(x\) y para cada uno de los puntos clave. Recuerde que las\(y\) coordenadas\(x\) y provienen de las longitudes de las patas de los triángulos rectos especiales, como se muestra específicamente para el\(30^{\circ}\) ángulo. Recuerde siempre medir el ángulo desde la porción positiva del\(x\) eje -eje.
Conocer bien el primer cuadrante es la clave para conocer todo el círculo unitario. Cada otro punto del círculo unitario se puede encontrar usando la lógica y este cuadrante, por lo que no hay necesidad de memorizar todo el círculo.
Para utilizar su conocimiento del primer cuadrante del círculo unitario para identificar los ángulos y puntos importantes del segundo cuadrante, observe que las alturas son reflejadas e iguales que corresponden a los\(y\) valores. Los\(x\) valores son todos negativos.
Hay un patrón en las alturas de los puntos en el primer cuadrante que puede ayudarte a recordar los puntos.
Observe que las alturas de los puntos en el primer cuadrante son las\(y\) -coordenadas:\(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)
Cuando se reescribe, el patrón se vuelve claro:\(\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
Los tres puntos en el medio son los más confundidos. Este patrón ilustra cómo aumentan de tamaño de pequeños\(\frac{1}{2},\) a medianos\(\frac{\sqrt{2}}{2},\) a grandes\(\frac{\sqrt{3}}{2} .\) Cuando rellenas el círculo unitario, busca las alturas que son pequeñas, medianas y grandes y esto te dirá donde cada valor debe ir. Observe que las alturas para estos cinco puntos en el segundo cuadrante también son\(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)
Esta técnica también funciona para los anchos. Esto puede hacer que la memorización de los 16 puntos del círculo unitario sea una cuestión de lógica y del patrón:\(\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
Un último elemento a tener en cuenta es que los ángulos coterminales son conjuntos de ángulos como\(90^{\circ}, 450^{\circ},\) y\(-270^{\circ}\) que comienzan en el eje x positivo y terminan en el mismo lado terminal. dado que los ángulos coterminales terminan en puntos idénticos a lo largo del círculo unitario, las expresiones trigonométricas que involucran ángulos coterminales son equivalentes: \(\sin (90)=\sin (450)=\sin (-270)\)
Ejemplos
Anteriormente, te preguntaron cómo puedes usar el círculo de unidades para evaluar\(\cos (135)\) y\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\). El\(x\) valor de un punto a lo largo del círculo unitario corresponde al coseno del ángulo. El\(y\) valor de un punto corresponde al seno del ángulo. Cuando se memorizan los ángulos y puntos, simplemente recuerde la\(y\) coordenada\(x\) o. Si se entiende la construcción del círculo unitario, resulta más fácil determinar las coordenadas.
A la hora de evaluar\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) su proceso de pensamiento debe ser algo como esto:
Ya sabes\(135^{\circ}\) va con el punto\(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) y el coseno es la\(x\) porción. Entonces,\(\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
A la hora de evaluar\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\) su proceso de pensamiento debe ser algo como esto:
Ya sabes\(-\frac{5 \pi}{3}\) va con el punto\(\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) y seno es la\(y\) porción. Entonces,\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Evaluar\(\cos 60^{\circ}\) usando el círculo unitario y la trigonometría del triángulo rectángulo. ¿Cuál es la conexión entre la\(x\) coordenada del punto y el coseno del ángulo?
El punto en el círculo unitario para\(60^{\circ}\) es\(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) y el punto es una unidad del origen. Esto se puede representar como un\(30-60-90\) triángulo.
Dado que el coseno es adyacente sobre la hipotenusa, el coseno resulta ser exactamente la\(x\) coordenada\(\frac{1}{2}\).
Utilizando el conocimiento del primer cuadrante del círculo unitario, identificar los ángulos y puntos importantes del tercer cuadrante.
Tanto los\(x\) valores como\(y\) los valores son negativos y sus respectivas coordenadas corresponden a las de los otros cuadrantes.
Para cada una de las seis funciones trigonométricas, identificar los cuadrantes donde son positivos y los cuadrantes donde son negativos.
En el cuadrante I, la hipotenusa, lado adyacente y lado opuesto son todas positivas. Así, las 6 funciones trigonométricas son positivas.
En el cuadrante II la hipotenusa y los lados opuestos son positivos y el lado adyacente negativo. Esto significa que cada expresión trigonométrica que involucra un lado adyacente es negativa. El seno y su cosecante recíproco son las dos únicas funciones trigonométricas que no hacen referencia al lado adyacente lo que las convierte en las únicas positivas.
En el cuadrante III sólo la hipotenusa es positiva. Así, las únicas funciones trigonométricas que son positivas son la tangente y su cotangente recíproca, ya que estas funciones se refieren tanto a lados adyacentes como opuestos, los cuales serán negativos.
En el cuadrante IV la hipotenusa y los lados adyacentes son positivos mientras que el lado opuesto es negativo. Esto quiere decir que sólo el coseno y su secante recíproco son positivos.
Un dispositivo mnemotécnico para recordar qué funciones trigonométricas son positivas y qué funciones trigonométricas son negativas es “Todas las S tudentes T ake C alculus”. Todo se refiere a que todas las funciones trigonométricas son positivas en el cuadrante I. La letra S se refiere al seno y a su cosecante recíproco que son positivas en el cuadrante II. La letra T hace referencia a la tangente y su cotangente recíproca que son positivas en el cuadrante III. La letra C hace referencia al coseno y su secante recíproco que son positivos en el cuadrante IV.
Evalúe las siguientes expresiones trigonométricas utilizando el círculo unitario.
1. \(\sin \frac{\pi}{2}\)
\(\sin \frac{\pi}{2}=1\)
2. \(\cos 210^{\circ}\)
\(\cos 210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(\tan 315^{\circ}\)
\(\tan 315^{\circ}=-1\)
4. \(\cot 270^{\circ}\)
\(\cot 270^{\circ}=0\)
5. \(\sec \frac{11 \pi}{6}\)
\(\sec \frac{11 \pi}{6}=\frac{1}{\cos \frac{11 \pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
6. \(\csc -\frac{5 \pi}{4}\)
\(\csc -\frac{5 \pi}{4}=\frac{1}{\sin -\frac{5 \pi}{4}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)
Revisar
Nombra el ángulo entre\(0^{\circ}\) y\(360^{\circ}\) que es coterminal con...
1. \(-20^{\circ}\)
2. \(475^{\circ}\)
3. \(-220^{\circ}\)
4. \(690^{\circ}\)
5. \(-45^{\circ}\)
Usa tus conocimientos del círculo unitario para ayudar a determinar si cada una de las siguientes expresiones trigonométricas es positiva o negativa.
6. \(\tan 143^{\circ}\)
7. \(\cos \frac{\pi}{3}\)
8. \(\sin 362^{\circ}\)
9. \(\csc \frac{3 \pi}{4}\)
Utilice sus conocimientos del círculo unitario para evaluar cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.
10. \(\cos 120^{\circ}\)
11. \(\sec \frac{\pi}{3}\)
12. \(\tan 225^{\circ}\)
13. \(\cot 120^{\circ}\)
14. \(\sin \frac{11 \pi}{6}\)
15. \(\csc 240^{\circ}\)
16. Encontrar\(\sin \theta\) y\(\tan \theta\) si\(\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) y\(\cot \theta>0\).
17. Encontrar\(\cos \theta\) y\(\tan \theta\) si\(\sin \theta=-\frac{1}{2}\) y\(\sec \theta<0\).
18. Dibuja el círculo unitario completo (los cuatro cuadrantes) y etiqueta los puntos importantes.