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7.2: Operaciones con Vectores

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Cuando dos o más fuerzas están actuando sobre un mismo objeto, se combinan para crear una nueva fuerza. Un ave que vuela hacia el sur a 10 millas por hora en un viento en contra de 2 millas por hora solo avanza a una velocidad de 8 millas por hora. Estas fuerzas se oponen directamente entre sí. En la vida real, la mayoría de las fuerzas no son paralelas. Qué pasará cuando el viento en contra tenga un ligero viento cruzado también, soplando NE a 2 millas por hora. ¿A qué distancia llega el ave en una hora?

    Operaciones Básicas de Vectores

    Multiplicación escalar significa multiplicar un vector por un número. Esto cambia la magnitud del vector, pero no su dirección. Si\(\vec{v}=<3,4>,\) entonces la multiplicación\(2 \vec{v}=<6,8>.\) escalar es bastante simple.

    Sumar y restar vectores es un poco más difícil. Al agregar vectores, coloque la cola de un vector a la cabeza del otro. A esto se le llama la regla de cola a cabeza. El vector que se forma al unir la cola del primer vector con la cabeza del segundo se denomina vector resultante.

    La resta vectorial invierte la dirección del segundo vector. \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)

    La adición de vectores se puede hacer en cualquier orden (al igual que con los números regulares). Los vectores restadores deben hacerse en un orden
    específico o de lo contrario el vector será negativo (al igual que con los números regulares).

    Para encontrar la longitud o magnitud de un vector resultante, se puede utilizar la ley de los cosenos. Para ello, también es necesario conocer el ángulo entre los dos vectores. Digamos que te dieron dos vectores\(\vec{a}\) y\(\vec{b}\), tienen magnitudes de 5 y 9 respectivamente y que el ángulo entre los vectores es\(53^{\circ}\). Para encontrar la magnitud de\(\vec{a}+\vec{b}\), que se escribe como\(|\vec{a}+\vec{b}|,\) aviso de que se tiene un paralelogramo.

    Para afinar la magnitud del vector resultante en rojo, tenga en cuenta que el triángulo en la parte inferior tiene lados 9 y 5 con ángulo incluido\(127^{\circ}\) debido a las propiedades de los paralelogramos. Y, así aplicando la Ley de cosenos, se obtiene:

    \(\begin{aligned} x^{2} &=9^{2}+5^{2}-2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos 127^{\circ} \\ x & \approx 12.66 \end{aligned}\)

    Para este video, concéntrese en la multiplicación escalar y sumar y restar vectores:

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Antes, te preguntaron qué tan rápido volaba un pájaro. Un ave que vuela hacia el sur a 10 millas por hora con un viento en contra cruzado de 2 mph con rumbo NE tendría un diagrama de fuerza que se ve así:

    El ángulo entre el vector del pájaro y el vector viento es\(45^{\circ}\) lo que significa que esta es una situación perfecta para la Ley
    de los cosenos. Deja que\(x=\) el vector rojo.

    \(\begin{aligned} x^{2} &=10^{2}+2^{2}-2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \cos 45^{\circ} \\ x & \approx 8.7 \end{aligned}\)

    El ave es volada ligeramente fuera de pista y viaja solo alrededor de 8.7 millas en una hora.

    Ejemplo 2

    Usando los vectores con magnitud 5 y 9 y ángulo de\(53^{\circ}\) desde la sección principal, cuál es el ángulo que\(\vec{a}+\vec{b}\) hace la suma con\(\vec{a} ?\)

    Empieza por dibujar un buen cuadro y etiquetar lo que sabes. \(|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=9,|\vec{a}+\vec{b}| \approx 12.66\). ya que conoces tres lados del triángulo y necesitas encontrar un ángulo, esta es la aplicación SSS de la Ley de cosenos.

    \(\begin{aligned} 9^{2} &=12.66^{2}+5^{2}-2 \cdot 12.66 \cdot 5 \cdot \cos \theta \\ \theta &=34.6^{\circ} \end{aligned}\)

    Ejemplo 3

    Elaine inició un negocio de pasear perros. Pasea dos perros a la vez llamados Elvis y Ruby. Cada uno la tira en diferentes direcciones en un\(45^{\circ}\) ángulo con diferentes fuerzas. Elvis tira de una fuerza de\(25 \mathrm{~N}\) y Ruby tira a una fuerza de\(49 N\). ¿Qué tan duro necesita tirar Elaine para que pueda mantenerse equilibrada? Tenga en cuenta que\(\mathrm{N}\) significa Newtons que es la unidad de fuerza estándar.

    A pesar de que los dos vectores están centrados en Elaine, se agregan las fuerzas, lo que significa que debe usar la regla cola a cabeza para sumar los vectores juntos. Encontrar el ángulo entre cada vector componente requiere el uso lógico de ángulos suplementarios.

    \(\begin{aligned} x^{2} &=49^{2}+25^{2}-2 \cdot 49 \cdot 25 \cdot \cos 135^{\circ} \\ x & \approx 68.98 \mathrm{~N} \end{aligned}\)

    Para que Elaine se mantenga equilibrada, necesitará contrarrestar esta fuerza con una fuerza equivalente propia en la dirección exacta opuesta.

    Ejemplo 4

    Considerar vector\(\vec{v}=<2,5>\) y vector\(\vec{u}=<-1,9>\). Determine la forma de componente de lo siguiente:\(3 \vec{v}-2 \vec{u}\)

    Haga la multiplicación primero para cada término, seguida de la resta vectorial.

    \(\begin{aligned} 3 \cdot \vec{v}-2 \cdot \vec{u} &=3 \cdot<2,5>-2 \cdot<-1,9>\\ &=<6,15>-<-2,18>\\ &=<8,-3>\end{aligned}\)

    Ejemplo 5

    Un avión está volando en un rumbo de\(270^{\circ}\) a\(400 \mathrm{mph}\). Un viento sopla hacia el sur a las\(30 \mathrm{mph}\). ¿Este viento cruzado afecta la velocidad del avión?

    Dado que el viento cruzado es perpendicular al plano, empuja el plano hacia el sur ya que el avión intenta ir directamente hacia el este. Como resultado, el avión todavía tiene una velocidad aérea de 400 mph pero es necesario calcular la velocidad sobre el suelo (velocidad verdadera).

    \(\begin{aligned} 400^{2}+30^{2} &=x^{2} \\ x & \approx 401 \end{aligned}\)

    Revisar

    Considerar vector\(\vec{v}=<1,3>\) y vector\(\vec{u}=<-2,4>\)

    1. Determinar la forma componente de\(5 \vec{v}-2 \vec{u}\).

    2. Determinar la forma componente de\(-2 \vec{v}+4 \vec{u}\).

    3. Determinar la forma componente de\(6 \vec{v}+\vec{u}\).

    4. Determinar la forma componente de\(3 \vec{v}-6 \vec{u}\).

    5. Encuentra la magnitud del vector resultante a partir de #1.

    6. Encuentra la magnitud del vector resultante a partir del # 2.

    7. Encuentra la magnitud del vector resultante de\(\# 3\).

    8. Encuentra la magnitud del vector resultante a partir de #4.

    9. El vector\(<3,4>\) comienza en el origen. ¿Cuál es la dirección del vector?

    10. El vector\(<-1,2>\) comienza en el origen. ¿Cuál es la dirección del vector?

    11. El vector\(<3,-4>\) comienza en el origen. ¿Cuál es la dirección del vector?

    12. Un pájaro vuela hacia el sur a 8 millas por hora con un viento cruzado en contra que sopla hacia el este a 15 millas por hora. ¿A qué distancia llega el ave en una hora?

    13. ¿En qué dirección se mueve realmente el pájaro en el problema anterior?

    14. Se lanza un balón de fútbol a 50 millas por hora con destino al norte. Hay un viento que sopla hacia el este a 8 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad real del balón?

    15. ¿En qué dirección se mueve realmente el balón en el problema anterior?


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