7.3: Resolución de Vectores en Componentes
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Considera a cuatro hermanos peleando por un caramelo en un tira y tira y vuelta de cuatro vías. Lanie tira con 8 Ib de fuerza en un ángulo de\(41^{\circ}\). Connie tira con 10 Ib de fuerza en un ángulo de\(100^{\circ}\). Cynthia tira con 12 Ib de fuerza en un ángulo de\(200^{\circ}\). ¿Cuánta fuerza y en qué dirección tiene el pobrecito Terry para sacar los dulces para que no se mueva?
El vector de unidad y la forma de componente
Un vector unitario es un vector de longitud uno. A veces es posible que desee escalar un vector que ya tiene para que tenga una longitud de uno. Si la longitud fuera cinco, escalarías el vector por un factor de\(\frac{1}{5}\) para que el vector resultante tenga magnitud de\(1 .\) Otra forma de decir esto es que un vector unitario en la dirección del vector\(\vec{v}\) es\(\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)
Hay dos vectores de unidad estándar que componen todos los demás vectores en el plano de coordenadas. Son\(\vec{i}\) cuál es el vector\(<1,0>\) y\(\vec{j}\) cuál es el vector\(<0,1>\). Estos dos vectores unitarios son perpendiculares entre sí. Una combinación lineal de\(\vec{i}\) y le\(\vec{j}\) permitirá describir de forma única cualquier otro vector en el plano de coordenadas en forma de componente. Por ejemplo, el vector\(<5,3>\) es el mismo que\(5 \vec{i}+3 \vec{j}\).
A menudo, los vectores se describen inicialmente como un ángulo y una magnitud en lugar de en forma de componente. Trabajar con vectores escritos como ángulo y magnitud requiere un razonamiento geométrico extremadamente preciso y excelentes imágenes. Una ventaja de reescribir los vectores en forma de componentes es que gran parte de este trabajo se simplifica. Recuerde que la forma componente es la forma\(<x, y>\) y para traducir de magnitud\(r\) y dirección\(\theta\) a forma componente, utilice la relación\(<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>\). En esta situación\(r\) está la magnitud y\(\theta\) es la dirección.
Tomar un avión que tenga un rumbo de\(60^{\circ}\) y va\(350 \mathrm{mph} .\) Para encontrar la forma componente de la velocidad del avión, tenga en cuenta que un rumbo de\(60^{\circ}\) es lo mismo que un círculo\(30^{\circ}\) en la unidad. Esto corresponde al punto\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\) que es el mismo que\((\cos 30, \sin 30)\). Cuando se escribe como vector\(<\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>\) es un vector unitario
porque tiene magnitud 1. Ahora solo necesitas escalar por un factor de 350 y obtienes tu respuesta de\(<175 \sqrt{3}, 175>\). Así, la velocidad del avión en forma de componente es\(<175 \sqrt{3}, 175>\). Esto es lo mismo que usar la relación\(<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>\).
Ejemplos
Anteriormente, se te pidió que consideraras a cuatro hermanos peleando por un caramelo en un tira y tira y tira y vuelta de cuatro vías. Lanie tira con 8 Ib de fuerza en un ángulo de\(41^{\circ}\). Connie tira con 10 Ib de fuerza en un ángulo de\(100^{\circ}\). Cynthia tira con 12 Ib de fuerza en un ángulo de\(200^{\circ}\). ¿Cuánta fuerza y en qué dirección tiene el pobrecito Terry para sacar los dulces para que no se mueva?
Para sumar los tres vectores juntos requeriría varias iteraciones de la Ley de Cosinos. En su lugar, escriba cada vector en forma de componente y establezca igual a un vector cero indicando que el caramelo no se mueve.
\(\vec{L}+\overrightarrow{C O N}+\overrightarrow{C Y N}+\vec{T}=<0,0>\)
\(\begin{aligned} &<8 \cdot \cos 41^{\circ}, 8 \cdot \sin 41^{\circ}>+<10 \cdot \cos 100^{\circ}, 10 \cdot \sin 100^{\circ}>\\+&<12 \cdot \cos 200^{\circ}, 12 \cdot \sin 200^{\circ}>+\vec{T}=<0,0>\end{aligned}\)
Usa una calculadora para sumar todos los\(x\) componentes y llevarlos al otro lado y los\(y\) componentes y luego restar del lado lejano para obtener:
\(\vec{T} \approx<6.98,-10.99>\)
Convertir este vector componente en un ángulo y magnitud da como resultado lo duro y en qué dirección tendría que tirar. Terry tendrá que tirar con cerca de 13 Ib de fuerza en un ángulo de\(302.4^{\circ}\).
Considera el avión que tiene un rumbo de\(60^{\circ}\) y va\(350 \mathrm{mph}\). Si hay viento soplando con el rumbo de\(300^{\circ}\) a\(45 \mathrm{mph},\) ¿cuál es la forma componente de la velocidad total del avión?
Un rumbo de\(300^{\circ}\) es el mismo que\(150^{\circ}\) en el círculo unitario que corresponde al punto\(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\). Ahora puedes escribir y luego escalar el vector de viento.
\(45 \cdot<-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>=<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>\)
Dado que tanto el vector de viento como el vector de velocidad del avión están escritos en forma de componentes, simplemente puede sumarlos para encontrar el vector componente de la velocidad total del avión.
\(<175 \sqrt{3}, 175>+<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>=<\frac{305 \sqrt{3}}{2}, \frac{395}{2}>\)
Considera el plano del Ejemplo 2 con el mismo viento y velocidad. Encuentre la velocidad real sobre el suelo y la dirección del plano (como un rodamiento).
Dado que ya conoces el vector componente de la velocidad total del avión, debes recordar que estos componentes representan una\(x\) distancia y una\(y\) distancia y la pregunta pregunta por la hipotenusa.
\(\begin{aligned}\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{395}{2}\right)^{2} &=c^{2} \\ 329.8 & \approx c \end{aligned}\)
El avión viaja aproximadamente a 329.8 mph.
Ya que conoces los\(y\) componentes\(x\) y, puedes usar tangente para encontrar el ángulo. Luego convierte este ángulo en rodamiento.
\(\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{\left(\frac{395}{2}\right)}{\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)} \\ \theta & \approx 36.8^{\circ} \end{aligned}\)
Un ángulo de\(36.8^{\circ}\) en el círculo unitario es equivalente a un rodamiento de\(53.2^{\circ}\).
Tenga en cuenta que puede hacer todo el problema en el rodamiento simplemente cambiando el seno y el coseno, pero lo mejor es entender realmente lo que está haciendo en cada paso del camino y esto probablemente implicará volver siempre al círculo unitario.
Para los Ejemplos 4 y 5, utilice la siguiente información:
\(\vec{v}=<2,-5>, \vec{u}=<-3,2>, \vec{t}=<-4,-3>, \vec{r}=<5, y>\)
\(B=(4,-5), P=(-3,8)\)
Encuentra los vectores unitarios en la misma dirección que\(\vec{u}\) y\(\vec{t}\).
Para encontrar un vector unitario, divida cada vector por su magnitud.
\(\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=<\frac{-3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}>, \frac{\vec{t}}{|\vec{t}|}=<\frac{-4}{5}, \frac{-3}{5}>\)
Encuentra el punto a 10 unidades de distancia\(B\) en dirección a\(P\).
El vector\(\overrightarrow{B P}\) es\(<-7,13>\). Primero toma el vector unitario y luego escalarlo para que tenga una magnitud de\(10 .\)
\(\begin{aligned} \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-7}{\sqrt{218}}, \frac{13}{\sqrt{218}}>\\ 10 \cdot \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\end{aligned}\)
Terminas con un vector que mide diez unidades de largo en la dirección correcta. La pregunta pidió un punto a partir del\(B\) cual
significa que es necesario agregar este vector a punto\(B\).
\((4,-5)+<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\approx(-0.74,3.8)\)
Revisar
Utilice los siguientes vectores y puntos definidos para responder\(1-8\).
\(\vec{v}=<1,-3>, \vec{u}=<2,5>, \vec{t}=<9,-1>, \vec{r}=<2, y>\)
\(A=(-3,2), B=(5,-2)\)
1. Resuelve para\(y\) en vector\(\vec{r}\) para hacer\(\vec{r}\) perpendicular a\(\vec{t}\).
2. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección os\(\vec{u}\).
3. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección como\(\vec{t}\).
4. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección\(\vec{v}\)
5. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección os\(\vec{r}\).
6. Encuentra el punto exactamente 3 unidades owey desde\(A\) en la dirección de\(B\).
7. Encuentra el punto exoctamente 6 unidades owry desde\(B\) en la dirección de\(A\).
8. Encuentra el punto exoctamente 5 unidades owoy desde\(A\) en la dirección de\(B\).
9. Jock ond Jill subió una colina a buscar o poil de woter. Al llegar a lo alto del cerro, estaban muy sedientos por lo que cada uno tiró del cubo. Jill tiró de ot\(30^{\circ}\) con 20 lbs de fuerza. Jock tiró de ot\(45^{\circ}\) con 28 lbs de fuerza. ¿Cuál es el vector resultante para el cubo?
10. Un avión está volando sobre un rumbo de\(60^{\circ}\) al\(400 \mathrm{mph}\). Encuentra la forma componente de la velocidad del avión. ¿Qué te dice el formulario del componente?
11. Se lanza una pelota de béisbol en\(70^{\circ}\) ángulo con la horizontal con una velocidad inicial de 30 mph. Encuentra la forma componente de la velocidad inicial.
12. Un avión está volando sobre un rumbo de\(200^{\circ}\) al\(450 \mathrm{mph}\). Encuentra la forma componente de la velocidad del avión.
13. Un avión está volando en un rumbo de\(260^{\circ}\) a 430 mph. Al mismo tiempo, hay un viento soplando a un rumbo de\(30^{\circ}\) al\(60 \mathrm{mph} .\) ¿Cuál es la forma componente de la velocidad del avión?
14. Utilice la información del problema anterior para encontrar la velocidad real sobre el suelo y la dirección del avión.
15. El viento sopla a una magnitud de 40 mph con un ángulo de\(25^{\circ}\) con respecto al este. ¿Cuál es la velocidad del viento que sopla hacia el norte? ¿Cuál es la velocidad del viento que sopla hacia el este?