7.3: Resolución de Vectores en Componentes
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
A veces trabajar con componentes horizontales y verticales de un vector puede ser significativamente más fácil que trabajar con solo un ángulo y una magnitud. Esto es especialmente cierto cuando se combinan varias fuerzas juntas.
Considera a cuatro hermanos peleando por un caramelo en un tira y tira y vuelta de cuatro vías. Lanie tira con 8 Ib de fuerza en un ángulo de41∘. Connie tira con 10 Ib de fuerza en un ángulo de100∘. Cynthia tira con 12 Ib de fuerza en un ángulo de200∘. ¿Cuánta fuerza y en qué dirección tiene el pobrecito Terry para sacar los dulces para que no se mueva?
El vector de unidad y la forma de componente
Un vector unitario es un vector de longitud uno. A veces es posible que desee escalar un vector que ya tiene para que tenga una longitud de uno. Si la longitud fuera cinco, escalarías el vector por un factor de15 para que el vector resultante tenga magnitud de1. Otra forma de decir esto es que un vector unitario en la dirección del vector→v es→v|→v|
Hay dos vectores de unidad estándar que componen todos los demás vectores en el plano de coordenadas. Son→i cuál es el vector<1,0> y→j cuál es el vector<0,1>. Estos dos vectores unitarios son perpendiculares entre sí. Una combinación lineal de→i y le→j permitirá describir de forma única cualquier otro vector en el plano de coordenadas en forma de componente. Por ejemplo, el vector<5,3> es el mismo que5→i+3→j.
A menudo, los vectores se describen inicialmente como un ángulo y una magnitud en lugar de en forma de componente. Trabajar con vectores escritos como ángulo y magnitud requiere un razonamiento geométrico extremadamente preciso y excelentes imágenes. Una ventaja de reescribir los vectores en forma de componentes es que gran parte de este trabajo se simplifica. Recuerde que la forma componente es la forma<x,y> y para traducir de magnitudr y direcciónθ a forma componente, utilice la relación<r⋅cosθ,r⋅sinθ>=<x,y>. En esta situaciónr está la magnitud yθ es la dirección.
Tomar un avión que tenga un rumbo de60∘ y va350mph. Para encontrar la forma componente de la velocidad del avión, tenga en cuenta que un rumbo de60∘ es lo mismo que un círculo30∘ en la unidad. Esto corresponde al punto(√32,12) que es el mismo que(cos30,sin30). Cuando se escribe como vector<√32,12> es un vector unitario
porque tiene magnitud 1. Ahora solo necesitas escalar por un factor de 350 y obtienes tu respuesta de<175√3,175>. Así, la velocidad del avión en forma de componente es<175√3,175>. Esto es lo mismo que usar la relación<r⋅cosθ,r⋅sinθ>=<x,y>.
Ejemplos
Anteriormente, se te pidió que consideraras a cuatro hermanos peleando por un caramelo en un tira y tira y tira y vuelta de cuatro vías. Lanie tira con 8 Ib de fuerza en un ángulo de41∘. Connie tira con 10 Ib de fuerza en un ángulo de100∘. Cynthia tira con 12 Ib de fuerza en un ángulo de200∘. ¿Cuánta fuerza y en qué dirección tiene el pobrecito Terry para sacar los dulces para que no se mueva?
Para sumar los tres vectores juntos requeriría varias iteraciones de la Ley de Cosinos. En su lugar, escriba cada vector en forma de componente y establezca igual a un vector cero indicando que el caramelo no se mueve.
→L+→CON+→CYN+→T=<0,0>
<8⋅cos41∘,8⋅sin41∘>+<10⋅cos100∘,10⋅sin100∘>+<12⋅cos200∘,12⋅sin200∘>+→T=<0,0>
Usa una calculadora para sumar todos losx componentes y llevarlos al otro lado y losy componentes y luego restar del lado lejano para obtener:
→T≈<6.98,−10.99>
Convertir este vector componente en un ángulo y magnitud da como resultado lo duro y en qué dirección tendría que tirar. Terry tendrá que tirar con cerca de 13 Ib de fuerza en un ángulo de302.4∘.
Considera el avión que tiene un rumbo de60∘ y va350mph. Si hay viento soplando con el rumbo de300∘ a45mph, ¿cuál es la forma componente de la velocidad total del avión?
Un rumbo de300∘ es el mismo que150∘ en el círculo unitario que corresponde al punto(−√32,12). Ahora puedes escribir y luego escalar el vector de viento.
45⋅<−√32,12>=<−45√32,452>
Dado que tanto el vector de viento como el vector de velocidad del avión están escritos en forma de componentes, simplemente puede sumarlos para encontrar el vector componente de la velocidad total del avión.
<175√3,175>+<−45√32,452>=<305√32,3952>
Considera el plano del Ejemplo 2 con el mismo viento y velocidad. Encuentre la velocidad real sobre el suelo y la dirección del plano (como un rodamiento).
Dado que ya conoces el vector componente de la velocidad total del avión, debes recordar que estos componentes representan unax distancia y unay distancia y la pregunta pregunta por la hipotenusa.
(305√32)2+(3952)2=c2329.8≈c
El avión viaja aproximadamente a 329.8 mph.
Ya que conoces losy componentesx y, puedes usar tangente para encontrar el ángulo. Luego convierte este ángulo en rodamiento.
tanθ=(3952)(305√32)θ≈36.8∘
Un ángulo de36.8∘ en el círculo unitario es equivalente a un rodamiento de53.2∘.
Tenga en cuenta que puede hacer todo el problema en el rodamiento simplemente cambiando el seno y el coseno, pero lo mejor es entender realmente lo que está haciendo en cada paso del camino y esto probablemente implicará volver siempre al círculo unitario.
Para los Ejemplos 4 y 5, utilice la siguiente información:
→v=<2,−5>,→u=<−3,2>,→t=<−4,−3>,→r=<5,y>
B=(4,−5),P=(−3,8)
Encuentra los vectores unitarios en la misma dirección que→u y→t.
Para encontrar un vector unitario, divida cada vector por su magnitud.
→u|→u|=<−3√13,2√13>,→t|→t|=<−45,−35>
Encuentra el punto a 10 unidades de distanciaB en dirección aP.
El vector→BP es<−7,13>. Primero toma el vector unitario y luego escalarlo para que tenga una magnitud de10.
BP|BP|=<−7√218,13√218>10⋅BP|BP|=<−70√218,130√218>
Terminas con un vector que mide diez unidades de largo en la dirección correcta. La pregunta pidió un punto a partir delB cual
significa que es necesario agregar este vector a puntoB.
(4,−5)+<−70√218,130√218>≈(−0.74,3.8)
Revisar
Utilice los siguientes vectores y puntos definidos para responder1−8.
→v=<1,−3>,→u=<2,5>,→t=<9,−1>,→r=<2,y>
A=(−3,2),B=(5,−2)
1. Resuelve paray en vector→r para hacer→r perpendicular a→t.
2. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección os→u.
3. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección como→t.
4. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección→v
5. Encuentra el vector de unidad en alguna dirección os→r.
6. Encuentra el punto exactamente 3 unidades owey desdeA en la dirección deB.
7. Encuentra el punto exoctamente 6 unidades owry desdeB en la dirección deA.
8. Encuentra el punto exoctamente 5 unidades owoy desdeA en la dirección deB.
9. Jock ond Jill subió una colina a buscar o poil de woter. Al llegar a lo alto del cerro, estaban muy sedientos por lo que cada uno tiró del cubo. Jill tiró de ot30∘ con 20 lbs de fuerza. Jock tiró de ot45∘ con 28 lbs de fuerza. ¿Cuál es el vector resultante para el cubo?
10. Un avión está volando sobre un rumbo de60∘ al400mph. Encuentra la forma componente de la velocidad del avión. ¿Qué te dice el formulario del componente?
11. Se lanza una pelota de béisbol en70∘ ángulo con la horizontal con una velocidad inicial de 30 mph. Encuentra la forma componente de la velocidad inicial.
12. Un avión está volando sobre un rumbo de200∘ al450mph. Encuentra la forma componente de la velocidad del avión.
13. Un avión está volando en un rumbo de260∘ a 430 mph. Al mismo tiempo, hay un viento soplando a un rumbo de30∘ al60mph. ¿Cuál es la forma componente de la velocidad del avión?
14. Utilice la información del problema anterior para encontrar la velocidad real sobre el suelo y la dirección del avión.
15. El viento sopla a una magnitud de 40 mph con un ángulo de25∘ con respecto al este. ¿Cuál es la velocidad del viento que sopla hacia el norte? ¿Cuál es la velocidad del viento que sopla hacia el este?