8.3 Matrices para representar datos
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¿Cómo podría usar una matriz para escribir la siguiente imagen como algo que una computadora podría reconocer y trabajar con ella?
Introducción a Matrices
Una matriz es un medio para almacenar información de manera efectiva y eficiente. Las filas y columnas significan cada una algo muy específico y la ubicación de un número es tan importante como su valor. Los siguientes son todos ejemplos de matrices:
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right]\)
Las entradas en una matriz se pueden escribir usando corchetes como [], pero también se pueden describir individualmente usando un conjunto de 2 índices de subíndices\(i\) y\(j\) que representan el número de fila y el número de columna. Alternativamente, la matriz se puede nombrar con solo una letra mayúscula como\(A\).
A=\(\left[a_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)
Las matrices cuadradas tienen el mismo número de filas que las columnas. El orden de una matriz describe el número de filas y el número de columnas en la matriz. Se dice que la siguiente matriz tiene orden\(2 \times 3\) porque tiene dos filas y tres columnas. Una\(1 \times 1\) matriz es sólo un número regular.
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]\)
Una matriz simétrica es un tipo especial de matriz cuadrada que tiene simetría de reflexión a través de la diagonal principal. La matriz de identidad es un ejemplo de una matriz simétrica.
La matriz de identidad de orden\(n \times n\) tiene ceros en todas partes excepto a lo largo de la diagonal principal donde tiene unos. Al igual que el número 1 tiene una propiedad importante con números, la matriz de identidad de cualquier orden también tiene propiedades especiales.
[1],\(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\)
Cuando conviertes las filas de una matriz en las columnas de una nueva matriz, las dos matrices son
transposiciones entre sí. El superíndice\(T\) significa transposición. A veces usando el
la transposición de una matriz es más útil que usar la propia matriz.
\(\begin{array}{l} A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right] \\ A^{T}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right] \end{array}\)
Una matriz triangular no es una matriz en forma de triángulo. Más bien, una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada donde cada entrada por debajo de la diagonal es cero. Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada donde cada entrada por encima de la diagonal es cero. La siguiente es una matriz triangular inferior. Cuando trabajes con la resolución de matrices, busca matrices triangulares porque son mucho más fáciles de resolver.
\(\left[\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right]\)
Una matriz diagonal es triangular superior e inferior, lo que significa que todas las entradas excepto las que están a lo largo de la diagonal son cero. La matriz de identidad es un caso especial de una matriz diagonal.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo podría usar una matriz para escribir la siguiente imagen como algo que una computadora podría reconocer y trabajar con.
Al escribir cada cuadrado hueco como un 0 y un cuadrado en blanco como un 1, una computadora podría leer la imagen:
Cuando usas computadoras para manipular imágenes, la computadora simplemente manipula los números. En este caso, si intercambias ceros y unos, obtienes la imagen negativa.
Las fotos reales y las imágenes de computadora tienen matrices que son mucho más grandes e incluyen más números que solo cero y uno para dar cuenta de más colores.
Kate dirige tres panaderías y cada panadería vende panecillos y magdalenas. Las filas representan las panaderías y las columnas representan bagels (izquierda) y magdalenas (derecha) vendidos. Responde las siguientes preguntas sobre las ventas de Kate.
K=\(\left[\begin{array}{cc} 144 & 192 \\ 115 & 127 \\ 27 & 34\end{array}\right]\)
1. ¿Qué representa 127?
a. 127 representa el número de muffins que Kate vendió en su segunda ubicación. Esto lo sabes porque está en la columna de muffins y en la segunda fila.
2. ¿Cuántos muffins vendió Kate en total?
a. El total de muffins vendidos es igual a la suma de la columna derecha. \(192+127+34=353\)
3. ¿Cuántos bagels vendió Kate en su primera ubicación?
a. Kate vendió 144 bagels en su primera ubicación.
4. ¿Qué ubicación le va mal?
a. A la tercera ubicación le va mucho peor que a las otras dos ubicaciones.
Identificar el orden de las siguientes matrices
\(A=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 4 & 7\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}21 & 45 & 1 \\ 34 & 1 & 5\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc}25 & 235 \\ 562 & 562 \\ 4 & 413 \\ 454 & 33 \\ 1 & 141\end{array}\right]\)
\(A\)es\(1 \times 4, B\) es\(2 \times 3, C\) es\(5 \times 2\). Tenga en cuenta que no\(4 \times 1,3 \times 2,2 \times 5\) son los mismos pedidos y serían incorrectos.
Escribe la\(5 \times 4\) matriz cuyas entradas son\(a_{i j}=\frac{i+j}{j}\)
\(\left[\begin{array}{ccccc} 2 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & \frac{5}{4} & \frac{6}{5} \\ 3 & 2 & \frac{5}{3} & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} \\ 4 & \frac{5}{2} & 2 & \frac{7}{4} & \frac{8}{5} \\ 5 & 3 & \frac{7}{3} & 2 & frac{9}{5} \end{array}\right]\)
Cree una\(3 \times 3\) matriz para cada uno de los siguientes:
a. Matriz diagonal
Posible respuesta:
\(\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]\)
b. Triangular Inferior
Posible respuesta:
\(\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]\)
c. Simétrico
Posible respuesta
\(\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 14 \\ 1 & 14 & 5\end{array}\right]\)
d. Identidad:
Respuesta:
\(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
Obsérvese que si bien la matriz de identidad sí funciona técnicamente para todas las partes de este problema, no resalta las diferencias entre cada definición.
Indicar el orden de cada una de las siguientes matrices:
1. \(A=\left[\begin{array}{llll}4 & 2 & 4 & 7 \\ 5 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]\)
2. \(B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 34 & 1\end{array}\right]\)
3. \(C=\left[\begin{array}{cc}2 & 62 \\ 14 & 3 \\ 4 & 3 \\ 1 & 11\end{array}\right]\)
4. \(D=\left[\begin{array}{ccc}12 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0\end{array}\right]\)
5. \(E=\left[\begin{array}{ll}1 & 11\end{array}\right]\)
6. Dar un ejemplo de una\(1 \times 1\) matriz.
7. Dar un ejemplo de una\(3 \times 2\) matriz.
8. Si una matriz simétrica también es triangular inferior, ¿qué tipo de matriz es?
9. Escriba la\(2 \times 3\) matriz cuyas entradas sean\(a_{i j}=i-j\).
Morgan trabajó durante tres semanas durante el verano ganando dinero los lunes, martes, miércoles, jueves y viernes. La siguiente matriz representa sus ganancias.
\(\left[\begin{array}{lll} 24 & 22 & 32 \\ 25 & 28 & 30 \\ 30 & 28 & 32 \\ 10 & 15 & 19 \\ 35 & 32 & 30 \end{array}\right]\)
10. ¿Qué representan las filas y columnas?
11. ¿Cuánto dinero ganó Morgan en la primera semana?
12. ¿Cuánto dinero ganó Morgan los martes?
13. ¿Qué día de la semana fue más rentable?
14. ¿Qué día de la semana fue menos rentable?
15. ¿Es lo siguiente una matriz? Explique.
\(\left[\begin{array}{cc} \text { dogs } & 0 \\ \text { cats } & 3 \\ \text { sheep } & 0 \\ \text { ducks } & 4 \end{array}\right]\)