2.2.4: Resolver triángulos rectos

Última actualización

30 oct 2022
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- 2.2.3: Triángulos rectos y rodamientos
- 2.2.5: Aplicaciones de las funciones trigonométricas inversas

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Usando las funciones trigonométricas inversas para resolver la falta de información sobre los triángulos rectos.

Ratios trigonométricos inversos

En matemáticas, la palabra inversa significa “deshacer”. Por ejemplo, la suma y la resta son inversas entre sí porque una deshace a la otra. Cuando utilizamos las relaciones trigonométricas inversas, podemos encontrar medidas de ángulo agudo siempre y cuando se nos den dos lados.

f-d_2a337f0fc303f5ead45b9c00ac0b99fc56d2875b59312a4bb58a17d7+image_tiny+imagen_tiny.png — Figura $\PageIndex{1}$

Tangente inversa: Etiquetado $\tan ^{-1}$ , el “-1” significa inverso.

$\tan ^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right)=m\angle B$ y $\tan ^{-1} \left(\dfrac{a}{b}\right)=m\angle A.$

Seno Inversa: Etiquetado $\sin ^{-1}$ .

$\sin ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle B$ y $\sin ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle A.$

Coseno inverso: Etiquetado $\cos ^{-1}$ .

$\cos ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle B$ y $\cos ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle A.$

En la mayoría de los problemas, para encontrar la medida de los ángulos necesitarás usar tu calculadora. En la mayoría de las calculadoras científicas y gráficas, los botones se ven como $[\sin ^{-1}]$ , $[\cos ^{-1}]$ , y $[\(\tan ^{-1}]$ . También es posible que tengas que presionar un botón de turno o segundo para acceder a estas funciones.

Ahora que conoces tanto las relaciones trigonométricas como las relaciones trigonométricas inversas puedes resolver un triángulo rectángulo. Para resolver un triángulo rectángulo, necesitas encontrar todos los lados y ángulos en él. Usualmente usarás seno, coseno o tangente; seno inverso, coseno inverso o tangente inversa; o el teorema de Pitágoras.

¿Y si te dijeran que la tangente de $\angle Z$ es 0.6494? ¿Cómo podrías encontrar la medida de $\angle Z$ ?

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Resuelve el triángulo rectángulo.

f-d_10bca2715a07f1262b6813aa589d900de2b47d6c004111556d98f31a+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{2}$

Solución

Los dos ángulos agudos son congruentes, haciéndolos ambos $45^{\circ}$ . Se trata de un triángulo 45-45-90. Se pueden utilizar las relaciones trigonométricas o las relaciones especiales de triángulo rectángulo.

Relaciones trigonométricas

\ (\ begin {array} {rlrl}
\ tan 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {B C} &\ sin 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {A C}\\
B C & =\ dfrac {15} {\ tan 45^ {\ circ}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ sin 45^ {\ circ}}\ aprox 21.21
\ fin {array}\)

Relaciones de triángulo 45-45-90

$BC=AB=15 \text{, } AC=15\sqrt{2} \approx 21.21$

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Usa los lados del triángulo y tu calculadora para encontrar el valor de $\angle A$ . Redondee su respuesta al décimo de grado más cercano.

F-D_8FCC14E5823880009831F118D39288B9A2221EE618779547BA775B6C+Image_Tiny+Image_Tiny+Image_Tiny.png — Figura $\PageIndex{3}$

Solución

En referencia a $\angle A$ , se nos da la pierna opuesta y la pierna adyacente. Esto significa que debemos usar la relación tangente.

$\tan A=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$ . Entonces, $\tan ^{-1} \dfrac{4}{5}=m\angle A$ . Ahora, usa tu calculadora.

Si estás usando un TI-83 o 84, las pulsaciones de teclas serían: [2nd] [TAN] ( $\dfrac{4}{5}$ ) [ENTER] y la pantalla se ve así:

f-d_6ca9c532b643217dcff944b67f6607a4993e4b951bf3a5ada594a838+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{4}$

$m\angle A \approx 38.7^{\circ}$

Ejemplo $\PageIndex{3}$

$\angle A$ es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Encontrar $m\angle A$ al décimo de grado más cercano para $\sin A=0.68$ , $\cos A=0.85$ , y $\tan A=0.34$ .

Solución

$\begin{aligned} m\angle A&=\sin ^{-1} 0.68\approx 42.8^{\circ} \\ m\angle A&=\cos ^{-1} 0.85\approx 31.8^{\circ} \\ m\angle A&=\tan ^{-1} 0.34\approx 18.8^{\circ} \end{aligned}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Resuelve el triángulo rectángulo.

f-d_c654250b07865e4ac9a3eef16b81c948eccfff7cff06da2504ec26d3+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{5}$

Solución

Para resolver este triángulo rectángulo, necesitamos encontrar $AB$ , $m\angle C$ y $m\angle B$ . Usa solo los valores que te den.

$\underline{AB}: \text{ Use the Pythagorean Theorem.}$

$\begin{aligned} 24^2+AB^2&=30^2 \\ 576+AB^2&=900 \\ AB^2&=324 \\ AB&=\sqrt{324}=18 \end{aligned}$

$\underline{m\angle B} : \text{ Use the inverse sine ratio.}$

$\begin{aligned} \sin B &=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \\ \sin ^{-1} (45) &\approx 53.1^{\circ} =m\angle B\end{aligned}$

$\underline{m\angle C} : \text{ Use the inverse cosine ratio.}$

$\cos C=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \rightarrow \cos ^{-1} (\dfrac{4}{5})\approx 36.9^{\circ} =m\angle C$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

¿Cuándo usarías el pecado y cuándo usarías $\sin ^{-1}$ ?

Solución

Usarías pecado cuando te dan un ángulo y estás resolviendo por un lado faltante. Lo usarías $\sin ^{-1}$ cuando te dan lados y estás resolviendo un ángulo faltante.

Revisar

Usa tu calculadora para encontrar $m\angle A$ al décimo de grado más cercano.

Figura $\PageIndex{6}$
Figura $\PageIndex{7}$
Figura $\PageIndex{8}$
Figura $\PageIndex{9}$
Figura $\PageIndex{10}$
Figura $\PageIndex{11}$

Dejar $\angle A$ ser un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Encuentra $m\angle A$ al décimo de grado más cercano.

$\sin A=0.5684$
$\cos A=0.1234$
$\tan A=2.78$
$\cos ^{-1} 0.9845$
$\tan ^{-1} 15.93$
$\sin ^{-1} 0.7851$

Resolviendo los siguientes triángulos rectos. Encuentra todos los lados y ángulos faltantes. Redondear cualquier respuesta decimal a la décima más cercana.