2.4.1: Funciones trigonométricas inversas

Última actualización

30 oct 2022
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- 2.4: Funciones trigonométricas inversas
- 2.4.2: Inversa por Mapeo

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Resolviendo para un ángulo dado una relación trigonométrica.

Funciones de trigonometría inversa y resolución de triángulos rectos

Un triángulo rectángulo tiene patas que miden 2 unidades y $2 \sqrt{3}$ unidades. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos agudos del triángulo?

Inversa de funciones trigonométricas

Hemos utilizado las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para encontrar la relación de lados particulares en un triángulo rectángulo dado un ángulo. En este concepto usaremos las inversas de estas funciones, $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ y $\tan^{-1}$ , para encontrar la medida del ángulo cuando se conozca la relación de las longitudes laterales. Cuando escribimos $\sin 30^{\circ}$ en nuestra calculadora, la calculadora va a una tabla y encuentra la relación trigonométrica asociada con $30^{\circ}$ , que es 12. Cuando usamos una función inversa le decimos a la calculadora que busque la relación y nos dé la medida del ángulo. Por ejemplo: $\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=30^{\circ}$ . En tu calculadora presionarías $2^{ND} SIN$ para obtener $\sin^{-1}$ y luego escribir $\dfrac{1}{2}$ , cerrar el paréntesis y presionar ENTRAR. La pantalla de tu calculadora debe leerse $\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ al presionar ENTRAR.

Encontremos la medida de ángulo $A$ asociada con las siguientes proporciones y respuestas redondeadas al grado más cercano.

$\sin A=0.8336$
$\tan A=1.3527$
$\cos A=0.2785$

Usando la calculadora obtenemos lo siguiente:

$\sin^{-1}(0.8336)\approx 56^{\circ}$
$\tan^{-1} (1.3527)\approx 54^{\circ}$
$\cos^{-1} (0.2785)\approx 74^{\circ}$

Ahora, encontremos las medidas de los ángulos desconocidos en el triángulo mostrado y las respuestas redondeadas al grado más cercano.

f-d_528c1aef0fd0a9f85fa10f8e9c1eb6fd2fc9547d472f26d3cb0442af+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{1}$

Podemos resolver por cualquiera $x$ o por $y$ primera vez. Si optamos por resolver por $x$ primera vez, el 23 es opuesto y 31 es adyacente por lo que usaremos la relación tangente.

$x=\tan^{-1} \left (\dfrac{23}{31}\right)\approx 37^{\circ}$ .

Recordemos que en un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son siempre complementarios, entonces $90^{\circ} −37^{\circ} =53^{\circ}$ , así $y=53^{\circ}$ . También podemos usar las longitudes de los lados y una relación trig para resolver para y:

$y=\tan^{-1} \left(\dfrac{31}{23}\right)\approx 53^{\circ}$ .

Por último, resolvamos el triángulo rectángulo que se muestra a continuación y redondeemos todas las respuestas a la décima más cercana.

f-d_a004fcf339903be425f23716f7c553fb1f24f7af1d0bf5a10e8c5c4d+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{2}$

Podemos resolver $B$ primero el ángulo $A$ o el ángulo. Si elegimos resolver $B$ primero para el ángulo, entonces 8 es la hipotenusa y 5 es la longitud del lado opuesto por lo que usaremos la relación sinusoidal.

$\begin{aligned}\sin B&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle B&=\sin^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 38.7^{\circ}\end{aligned}$

Ahora podemos encontrar A de dos maneras distintas.

Método 1: Podemos usar trigonometría y la relación coseno:

$\begin{aligned}\cos A&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle A&=\cos^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 51.3^{\circ}\end{aligned}$

Método 2: Podemos restar $m\angle B$ de $90^{\circ}$ : $90^{\circ} −38.7^{\circ} =51.3^{\circ}$ ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

Cualquiera de los dos métodos es válido, pero ten cuidado con el Método 2 porque un error de cálculo del ángulo B haría que la medida que obtienes para el ángulo sea $A$ incorrecta también.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Anteriormente, se le pidió que encontrara las medidas de los ángulos agudos del triángulo.

Solución

Primero, encontremos la hipotenusa, luego podemos resolver para cualquiera de los dos ángulos.

$\begin{aligned} 2^2+(2\sqrt{3})^2 &=c^2 \\ 4+12&=c^2 \\ 16&=c^2 \\ c&=4\end{aligned}$

Uno de los ángulos agudos tendrá un seno de $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ .

$\begin{aligned} \sin A&=\dfrac{1}{2}\\ m\angle A&=\sin^{-1} \dfrac{1}{2}=30^{\circ}\end{aligned}$

Ahora podemos encontrar B restando $m\angle A$ de $90^{\circ}$ : $90^{\circ} −30^{\circ} =60^{\circ}$ ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Encuentra la medida del ángulo $A$ .

Solución

$\begin{aligned} \sin A&=0.2894 \\ \sin^{-1}(0.2894) &\approx 17^{\circ} \end{aligned}$

\) Ejemplo $\PageIndex{3}$

Encuentra la medida del ángulo $A$ .

Solución

$\begin{aligned} \tan A&=2.1432 \\ \tan^{-1} (2.1432)&\approx 65^{\circ} \end{aligned}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Encuentra la medida del ángulo $A$ .

Solución

$\begin{aligned} \cos A&=0.8911 \\ \cos^{-1} (0.8911) &\approx 27^{\circ}\end{aligned}$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos en el triángulo mostrado. Respuestas redondas al grado más cercano.

f-d_91e8fcaaec93c6d4e36761c2f2cd518be17f2b4a2c035d67901c3cf2+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{3}$

Solución

$x=\cos^{-1} \left(\dfrac{13}{20}\right)\approx 49^{\circ} ; \quad y=\sin^{-1}(\dfrac{13}{20})\approx 41^{\circ}$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Resuelve el triángulo. Redondear longitudes laterales a la décima más cercana y ángulos al grado más cercano.

f-d_3b2496bad70271a2e9df8998fa4131ad139e5757807b15d2c72fbe50+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{4}$

Solución

$m\angle A=\cos^{-1} (\dfrac{17}{38})\approx 63^{\circ} ; m\angle B=\sin^{-1}(\dfrac{17}{38})\approx 27^{\circ} ; a=\sqrt{38^2−17^2} \approx 34.0$

Revisar

Usa tu calculadora para encontrar la medida de $\angle B$ . Respuestas redondas al grado más cercano.

$\tan B=0.9523$
$\sin B=0.8659$
$\cos B=0.1568$
$\sin B=0.2234$
$\cos B=0.4855$
$\tan B=0.3649$

Encuentra las medidas de los ángulos agudos desconocidos. Medidas redondas al grado más cercano.

Figura $\PageIndex{5}$
Figura $\PageIndex{6}$
Figura $\PageIndex{7}$
Figura $\PageIndex{8}$
Figura $\PageIndex{9}$
Figura $\PageIndex{10}$

Resuelve los siguientes triángulos rectos. El ángulo redondo mide al grado más cercano y las longitudes laterales al décimo más cercano.

Figura $\PageIndex{11}$
Figura $\PageIndex{12}$
Figura $\PageIndex{13}$

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 13.3.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Evaluación de funciones trigonométricas inversas sin usar la calculadora - Descripción general

Práctica: Funciones trigonométricas inversas