5.1.2: Distancia entre dos coordenadas polares

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Aplicación de la ley de cosenos.

Distancia entre dos coordenadas polares

Al jugar un juego de dardos con tu amigo, los dardos que lanzas aterrizan en un patrón como este

F-d_e5e01d522d81ffd982973e52b6a9eb75a38c2be85d65081a7e112689+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{1}\)

Tú y tu amigo deciden averiguar qué tan lejos está entre los dos dardos que lanzaste. Si conoces las posiciones de cada uno de los dardos en coordenadas polares, ¿de alguna manera puedes encontrar una fórmula que te permita determinar la distancia entre los dos dardos?

Encontrar la distancia entre dos coordenadas polares

Al igual que la Fórmula de Distancia para las coordenadas x e y, hay una manera de encontrar la distancia entre dos coordenadas polares. Una forma en la que sabemos encontrar distancia, o longitud, es la Ley de Cosinos,\(a^2=b^2+c^2−2bc\cos A\) o\(a=\sqrt{b^2+c^2−2bc\cos A}\). Si tenemos dos puntos\((r_1,\theta _1)\) y\((r_2,\theta _2)\), podemos sustituir fácilmente r1 por b y r2 por c. En cuanto a A, tiene que ser el ángulo entre los dos radios, o\((\theta _2−\theta _1)\). Por último, a es ahora distancia y tienes\(d=r^2_1+r^2_2−2r_1r_2 \cos(\theta _2−\theta _1)\).

Encontrar la distancia

1. Encuentra la distancia entre\((3,60^{\circ} )\) y\((5,145^{\circ} )\).

Después de graficar estos dos puntos, tenemos un triángulo. Usando la nueva Fórmula de Distancia Polar, tenemos\(d=\sqrt{3^2+5^2−2(3)(5)\cos 85^{\circ} }\approx 5.6\).

F-d_34828ac0e7603918a759d3f5823379519d986b3f54a995047f80e362+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{2}\)

2. Encuentra la distancia entre\((9,−45^{\circ} )\) y (\(−4,70^{\circ} \)).

Este es un poco más difícil que el último #1 porque tenemos negativos. El primer punto se trazaría en el cuarto cuadrante y es equivalente a\((9,315^{\circ} )\). El segundo punto se\((4,70^{\circ} )\) reflejaría a través del polo, o\((4,250^{\circ} )\). Utilice estos dos valores de\ theta para la fórmula. Además, los radios siempre deben ser positivos cuando se ponen en la fórmula. Dicho esto, la distancia es\(d=9^2+4^2−2(9)(4)\cos (315−250)^{\circ} \approx 8.16\).

3. Encuentra la distancia entre\((2,10^{\circ} )\) y\((7,10^{\circ} )\).

Este problema es sencillo de mirar la relación entre los puntos. Los dos puntos se encuentran en el mismo ángulo, por lo que la distancia en línea recta entre ellos es 7−2=5. Sin embargo, podemos confirmarlo usando la fórmula de distancia:

\(d=\sqrt{2^2+7^2−2(2)(7)\cos 0^{\circ} }=\sqrt{4+49−28}=\sqrt{25}=5\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que encontrara la distancia entre los dos dardos.

Usando la Fórmula de Distancia para puntos en una parcela polar, es posible determinar la distancia entre los 2 dardos:

Solución

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{3^2+6^2−2(4)(6)\cos 45^{\circ} } \\ d&=\sqrt{9+36−48(.707)} \\ d&=\sqrt{45−33.936} \\ d&\approx 11.064 \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dados P1 y P2, calcular la distancia entre los puntos.

\(P_1(1,30^{\circ} )\)y\(P_2(6,135^{\circ} )\)

Solución

Uso\(P_1P_2=\sqrt{r^2_1+r^2_2−2r_1r_2\cos (\theta _2−\theta _1)}\).

\(\begin{aligned} P_1P_2&=1^2+6^2−2(1)(6)\cos (135^{\circ} −30^{\circ} ) \\ P_1P_2 &\approx 6.33 \text{ units}\end{aligned} \)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dado\(P_1\) y\(P_2\), calcular la distancia entre los puntos.

\(P_1(2,−65^{\circ} )\)y\(P_2(9,85^{\circ} )\)

Solución

Uso\(P_1P_2=\sqrt{r^2_1+r^2_2−2r_1r_2\cos (\theta _2−\theta _1)}\).

\(P_1P_2=\sqrt{2^2+9^2−2(2)(9)\cos 150^{\circ} }=10.78\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Dado\((P_1\) y\(P_2\), calcular la distancia entre los puntos.

\(P_1(−3,142^{\circ} )\)y\(P_2(10,−88^{\circ} )\)

Solución

3. Uso\(P_1P_2=\sqrt{r^2_1+r^2_2−2r_1r_2\cos (\theta _2−\theta _1)}\).

\(\begin{aligned} P_1P_2&=\sqrt{3^2+10^2−2(3)(10) \cos(322−272)^{\circ} } \\ &=8.39 \end{aligned}\)

Revisar

Encuentra la distancia entre cada conjunto de puntos.

\((1,150^{\circ} )\)y\((2,130^{\circ} )\)
\((4,90^{\circ} )\)y\((5,210^{\circ} )\)
\((6,60^{\circ} )\)y\((2,90^{\circ} )\)
\((2,120^{\circ} )\)y\((1,150^{\circ} )\)
\((7,210^{\circ} )\)y\((4,300^{\circ} )\)
\((−4,120^{\circ} )\)y\((2,100^{\circ} )\)
\((3,−90^{\circ} )\)y\((5,150^{\circ} )\)
\((−4,−30^{\circ} )\)y\((3,250^{\circ} )\)
\((7,−150^{\circ} )\)y\((4,130^{\circ} )\)
\((−2,300^{\circ} )\)y\((2,10^{\circ} )\)
Encuentra la longitud del arco entre los puntos\((3,40^{\circ} )\) y\((3,150^{\circ} )\).
Encuentra la longitud del arco entre los puntos\((1,10^{\circ} )\) y\((1,70^{\circ} )\).
Encuentra la zona del sector creada por el origen y los puntos\((4,20^{\circ} )\) y\((4,110^{\circ} )\).
Encuentra la zona del sector creada por el origen y los puntos\((2,100^{\circ} )\) y\((2,180^{\circ} )\).
Encuentra la zona del sector creada por el origen y los puntos\((5,110^{\circ} )\) y\((5,160^{\circ} )\).

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.2.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Práctica: Distancia entre dos coordenadas polares