3.1: Los fundamentos de las pruebas de hipótesis
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En los dos capítulos anteriores se introdujeron métodos para organizar y resumir los datos de la muestra y utilizar estadísticas de muestra para estimar los parámetros de la población. Este capítulo introduce el siguiente tema importante de la estadística inferencial: la prueba de hipótesis.
Nota
Una hipótesis es una afirmación o afirmación sobre una propiedad de una población.
Los fundamentos de las pruebas de hipótesis
Al realizar investigaciones científicas, normalmente hay alguna información conocida, quizás de algún trabajo pasado o de una idea largamente aceptada. Queremos probar si esta afirmación es creíble. Esta es la idea básica detrás de una prueba de hipótesis:
- Declamos lo que creemos que es cierto.
- Cuantificar la confianza que tenemos sobre nuestro reclamo.
- Utilice estadísticas de muestra para hacer inferencias sobre parámetros poblacionales.
Por ejemplo, investigaciones pasadas nos dicen que el promedio de vida de un colibrí es de unos cuatro años. Has estado estudiando a los colibríes en el sureste de Estados Unidos y encuentras una vida media muestral de 4.8 años. ¿Debería rechazar la información conocida o aceptada a favor de sus resultados? ¿Qué tan seguro tienes en tu estimación? ¿En qué momento dirías que hay pruebas suficientes para rechazar la información conocida y apoyar tu reclamo alternativo? ¿Qué tan lejos de la media conocida de cuatro años puede estar la muestra antes de rechazar la idea de que la vida útil promedio de un colibrí es de cuatro años?
Definición: prueba de hipótesis
La prueba de hipótesis es un procedimiento, basado en evidencia y probabilidad de muestra, utilizado para probar afirmaciones sobre una característica de una población.
Una hipótesis es una afirmación o afirmación sobre una característica de una población de interés para nosotros. Una prueba de hipótesis es una forma de usar nuestras estadísticas de muestra para probar una afirmación específica.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\):
Se sabe que el peso promedio de la población es de 157 lb. Queremos probar la afirmación de que el peso medio ha aumentado.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\):
Hace dos años, la proporción de plantas infectadas era de 37%. Creemos que un tratamiento ha ayudado, y queremos probar la afirmación de que ha habido una reducción en la proporción de plantas infectadas.
Componentes de una Prueba de Hipótesis Formal
La hipótesis nula es una afirmación sobre el valor de un parámetro poblacional, como la media poblacional (µ) o la proporción poblacional (p). Contiene la condición de igualdad y se denota como H0 (H-nada).
H0: µ = 157 o H0: p = 0.37
La hipótesis alternativa es la afirmación a probar, lo contrario de la hipótesis nula. Contiene el valor del parámetro que consideramos plausible y se denota como H1.
H1: µ > 157 o H1: p ≠ 0.37
El estadístico de prueba es un valor calculado a partir de los datos de muestra que se utiliza para tomar una decisión sobre el rechazo de la hipótesis nula. El estadístico de prueba convierte la media muestral (x) o la proporción muestral (p) a una puntuación Z o t bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. Se utiliza para decidir si la diferencia entre el estadístico muestral y la afirmación hipotética es significativa.
El valor p es el área bajo la curva a la izquierda o derecha del estadístico de prueba. Se compara con el nivel de significancia (α).
El valor crítico es el valor que define la zona de rechazo (los valores estadísticos de prueba que conducirían al rechazo de la hipótesis nula). Se define por el nivel de significación.
El nivel de significancia (α) es la probabilidad de que el estadístico de prueba caiga en la región crítica cuando la hipótesis nula sea verdadera. Este nivel lo establece el investigador.
La conclusión es la decisión final de la prueba de hipótesis. La conclusión siempre debe ser claramente enunciada, comunicando la decisión con base en los componentes de la prueba. Es importante darse cuenta de que nunca probamos ni aceptamos la hipótesis nula. Nos limitamos a decir que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para garantizar el rechazo de la hipótesis nula. La conclusión se compone de dos partes:
1) Rechazar o no rechazar la hipótesis nula, y 2) hay o no hay pruebas suficientes para apoyar la afirmación alternativa.
Opción 1) Rechazar la hipótesis nula (H0). Esto significa que tienes suficiente evidencia estadística para apoyar el reclamo alternativo (H1).
Opción 2) No rechazar la hipótesis nula (H0). Esto significa que NO tienes pruebas suficientes para apoyar la reclamación alternativa (H1).
Otra forma de pensar sobre las pruebas de hipótesis es compararlo con el sistema de justicia estadounidense. Un acusado es inocente hasta que se demuestre su culpabilidad (hipótesis nula, inocente). El procurador trata de probar que el acusado es culpable (Hipótesis alternativa—culpable). Hay dos posibles conclusiones a las que puede llegar el jurado. En primer lugar, el acusado es culpable (Rechazar la hipótesis nula). Segundo, el demandado no es culpable (No rechazar la hipótesis nula). ¡Esto NO es lo mismo que decir que el acusado es inocente! En el primer caso, el fiscal contaba con pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula (inocente) y apoyar la demanda alternativa (culpable). En el segundo caso, el fiscal NO contaba con pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula (inocente) y apoyar la afirmación alternativa de culpabilidad.
Las hipótesis nulas y alternativas
Hay tres pares diferentes de hipótesis nulas y alternativas:
donde c es algún valor conocido.
Una prueba a doble cara
Esto prueba si el parámetro de población es igual a, versus no igual a, algún valor específico.
Ho: μ = 12 vs H1: μ ≠ 12
La región crítica se divide equitativamente en las dos colas y los valores críticos son ± valores que definen las zonas de rechazo.
Figura 1. La zona de rechazo para una prueba de hipótesis bilateral.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\):
Un silvicultor que estudia el crecimiento del diámetro del pino rojo cree que el crecimiento del diámetro medio será diferente si se aplica un tratamiento de fertilización al rodal.
- Ho: μ = 1.2 pulgadas./ año
- H1: μ ≠ 1.2 in./ año
Esta es una pregunta de dos caras, ya que el silvicultor no indica si el crecimiento del diámetro medio poblacional aumentará o disminuirá.
Una prueba del lado derecho
Esto prueba si el parámetro de población es igual a, versus mayor que, algún valor específico.
Ho: μ = 12 vs. H1: μ > 12
La región crítica se encuentra en la cola derecha y el valor crítico es un valor positivo que define la zona de rechazo.
Figura 2. La zona de rechazo para una prueba de hipótesis del lado derecho.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\):
Un biólogo considera que ha habido un incremento en el número medio de lagos infectados con milenilo, una especie invasora, desde el último estudio hace cinco años.
- Ho: μ = 15 lagos
- H1: μ >15 lagos
Esta es una pregunta del lado derecho, ya que el biólogo considera que ha habido un incremento en la población media del número de lagos infectados.
Una prueba del lado izquierdo
Esto prueba si el parámetro de población es igual a, versus menor que, algún valor específico.
Ho: μ = 12 vs H1: μ < 12
La región crítica se encuentra en la cola izquierda y el valor crítico es un valor negativo que define la zona de rechazo.
Figura 3. La zona de rechazo para una prueba de hipótesis del lado izquierdo.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\):
La investigación de un científico indica que ha habido un cambio en la proporción de personas que apoyan ciertas políticas ambientales. Quiere poner a prueba la afirmación de que ha habido una reducción en la proporción de personas que apoyan estas políticas.
- Ho: p = 0.57
- H1: p < 0.57
Esta es una pregunta del lado izquierdo, ya que el científico considera que ha habido una reducción en la verdadera proporción poblacional.
Estadísticamente Significativo
Cuando los resultados observados (la estadística muestral) son improbables (una probabilidad baja) bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera, decimos que el resultado es estadísticamente significativo, y rechazamos la hipótesis nula. Este resultado depende del nivel de significancia, el estadístico muestral, el tamaño de la muestra y si se trata de una hipótesis alternativa de uno o dos lados.
Tipos de Errores
Al probar, llegamos a la conclusión de rechazar la hipótesis nula o no rechazar la hipótesis nula. Tales conclusiones son a veces correctas y a veces incorrectas (incluso cuando hemos seguido todos los procedimientos correctos). Utilizamos datos de muestra incompletos para llegar a una conclusión y siempre existe la posibilidad de llegar a una conclusión equivocada. Hay cuatro conclusiones posibles a alcanzar a partir de las pruebas de hipótesis. De los cuatro resultados posibles, dos son correctos y dos NO son correctos.
Cuadro 1. Posibles resultados de una prueba de hipótesis.
Un error de Tipo I es cuando rechazamos la hipótesis nula cuando es verdadera. El símbolo α (alfa) se utiliza para representar los errores de Tipo I. Este es el mismo alfa que usamos como nivel de significancia. Al establecer alfa lo más bajo razonablemente posible, tratamos de controlar el error Tipo I a través del nivel de significancia.
Un error de Tipo II es cuando fallamos en rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. El símbolo β (beta) se utiliza para representar los errores de Tipo II.
En general, los errores de Tipo I se consideran más graves. Un paso en el procedimiento de prueba de hipótesis implica seleccionar el nivel de significancia (α), que es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es correcta. Para que el investigador pueda seleccionar el nivel de significancia que minimice los errores de Tipo I. Sin embargo, existe una relación matemática entre α, β y n (tamaño muestral).
- A medida que α aumenta, β disminuye
- A medida que α disminuye, β aumenta
- A medida que aumenta el tamaño de la muestra (n), tanto α como β disminuyen
La inclinación natural es seleccionar el valor más pequeño posible para α, pensando en minimizar la posibilidad de causar un error Tipo I. Desafortunadamente, esto obliga a aumentar los errores de Tipo II. Al hacer que la zona de rechazo sea demasiado pequeña, es posible que no se rechace la hipótesis nula, cuando, de hecho, es falsa. Por lo general, seleccionamos el mejor tamaño de muestra y nivel de significancia, ajustando automáticamente β.
Figura 4. Error tipo 1.
Poder de la prueba
Un error tipo II (β) es la probabilidad de no rechazar una hipótesis nula falsa. De ello se deduce que 1-β es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa. Esta probabilidad se identifica como el poder de la prueba, y a menudo se usa para medir la efectividad de la prueba al reconocer que una hipótesis nula es falsa.
Definición: potencia de la prueba
La probabilidad de que a un nivel fijo α prueba de significancia rechace H0, cuando un valor alternativo particular del parámetro es verdadero se llama la potencia de la prueba.
La potencia también está directamente relacionada con el tamaño de la muestra. Por ejemplo, supongamos que la hipótesis nula es que el peso medio del pescado es 8.7 lb. Dados los datos de la muestra, un nivel de significancia del 5%, y un peso alternativo de 9.2 lb., podemos calcular la potencia de la prueba para rechazar μ = 8.7 lb. Si tenemos un tamaño de muestra pequeño, la potencia será baja. Sin embargo, al aumentar el tamaño de la muestra se incrementará la potencia de la prueba. Aumentar el nivel de significación también aumentará el poder. Una prueba de significancia del 5% tendrá una mayor probabilidad de rechazar la hipótesis nula que una prueba de 1% porque la fuerza de evidencia requerida para el rechazo es menor. Disminuir la desviación estándar tiene el mismo efecto que aumentar el tamaño de la muestra: hay más información sobre μ.