3.2: Prueba de hipótesis sobre la media poblacional cuando se conoce la desviación estándar de la población

Prueba de Hipótesis sobre la Media de Población (μ) cuando se conoce la Desviación Estándar de la Población (σ)

Vamos a examinar dos formas equivalentes de realizar una prueba de hipótesis: el enfoque clásico y el enfoque del valor p. El enfoque clásico se basa en desviaciones estándar. Este método compara el estadístico de prueba (Z-score) con un valor crítico (Z-score) de la tabla normal estándar. Si el estadístico de prueba cae en la zona de rechazo, se rechaza la hipótesis nula. El enfoque del valor p se basa en el área bajo la curva normal. Este método compara el área asociada con el estadístico de prueba con alfa (α), el nivel de significancia (que también es el área bajo la curva normal). Si el valor p es menor que alfa, rechazaría la hipótesis nula.

Como dijo poéticamente un alumno anterior: Si el valor p es un valor pequeño, Rechazar Ho

Ambos métodos deben tener:

• Datos de una muestra aleatoria.
• Verificación del supuesto de normalidad.
• Una hipótesis nula y alternativa.
• Un criterio que determina si rechazamos o no rechazamos la hipótesis nula.
• Una conclusión que responde a la pregunta.

Se requieren cuatro pasos para una prueba de hipótesis:

1. Indicar las hipótesis nulas y alternativas.
2. Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.
3. Calentar el estadístico de prueba.
4. Exponer una conclusión.

El método clásico para probar una afirmación sobre la media poblacional (μ) cuando se conoce la desviación estándar de la población (σ)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Two-sided Test

Un silvicultor que estudia el crecimiento del diámetro del pino rojo cree que el crecimiento del diámetro medio será diferente del crecimiento medio conocido de 1.35 pulgadas/año si se aplica un tratamiento de fertilización al rodal. Realiza su experimento, recoge datos de una muestra de 32 parcelas y obtiene un crecimiento de diámetro medio muestral de 1.6 pulgadas. /año. Se sabe que la desviación estándar poblacional para este rodal es de 0.46 pulg. /año. ¿Tiene pruebas suficientes para apoyar su afirmación?

Solución

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 1.35 pulg. /año
• H1: μ ≠ 1.35 pulg. /año

Paso 2) Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.

• Escogeremos un nivel de significancia del 5% (α = 0.05).
• Para una pregunta de dos caras, necesitamos un valor crítico de dos caras: Z α/2 y + Z α/2.
• El nivel de significancia se divide por 2 (ya que solo estamos probando “no iguales”). Debemos tener dos zonas de rechazo que puedan lidiar ya sea con un resultado mayor o menor que (a la derecha (+) o a la izquierda (-)).
• Necesitamos encontrar la puntuación Z asociada con el área de 0.025. Las áreas rojas son iguales a α/2 = 0.05/2 = 0.025 o 2.5% del área bajo la curva normal.
• Entra en el cuerpo de valores y encuentra la puntuación Z negativa asociada con el área 0.025.

Figura 1. La zona de rechazo para una prueba bilateral.

• El valor crítico negativo es -1.96. Dado que la curva es simétrica, sabemos que el valor crítico positivo es 1.96.
• ±1.96 son los valores críticos. Estos valores configuran la zona de rechazo. Si el estadístico de prueba cae dentro de estas zonas rojas de rechazo, rechazamos la hipótesis nula.

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es el número de desviaciones estándar que la media muestra es de la media conocida. También es una puntuación Z, al igual que el valor crítico.
• $$z =\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

$$z =\ frac {1.6-1.35} {\ frac {0.46} {\ sqrt {32}}} =3.07\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba cae en las zonas de rechazo, rechace la hipótesis nula. Es decir, si el estadístico de prueba es mayor que +1.96 o menor que -1.96, rechace la hipótesis nula.

Figura 2. Los valores críticos para una prueba bilateral cuando α = 0.05.

En este problema, el estadístico de prueba cae en la zona roja de rechazo. El estadístico de prueba de 3.07 es mayor que el valor crítico de 1.96.Rechazaremos la hipótesis nula. Tenemos evidencia suficiente para sustentar la afirmación de que el crecimiento del diámetro medio es diferente de (no igual a) 1.35 in. /año.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A Right-sided Test

Un investigador considera que ha habido un incremento en el tamaño promedio de la finca en su estado desde el último estudio hace cinco años. El estudio anterior reportó un tamaño medio de 450 acres con una desviación estándar poblacional (σ) de 167 acres. Muestrea 45 granjas y obtiene una media muestral de 485.8 acres. ¿Hay suficiente información para apoyar su afirmación?

Solución

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 450 acres
• H1: μ >450 acres

Paso 2) Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.

• Escogeremos un nivel de significancia del 5% (α = 0.05).
• Para una pregunta unilateral, necesitamos un valor crítico positivo unilateral Zα.
• El nivel de significación está todo en el lado derecho (la zona de rechazo está justo en el lado derecho).
• Necesitamos encontrar la puntuación Z asociada con el área del 5% en la cola derecha.

Figura 3. Zona de rechazo para una prueba de hipótesis del lado derecho.

• Entra en el cuerpo de valores en la tabla normal estándar y encuentra la puntuación Z que separa el 95% inferior del 5% superior.
• El valor crítico es 1.645. Este valor configura la zona de rechazo.

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es el número de desviaciones estándar que la media muestra es de la media conocida. También es una puntuación Z, al igual que el valor crítico.
• $$z =\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

$$z =\ frac {485.8-450} {\ frac {167} {\ sqrt {45}}} =1.44\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 4. El valor crítico para una prueba del lado derecho cuando α = 0.05.

• El estadístico de prueba no cae en la zona de rechazo. Es menor que el valor crítico.

No podemos rechazar la hipótesis nula. No contamos con pruebas suficientes que respalden la afirmación de que el tamaño medio de la granja ha aumentado de 450 acres.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):A Left-sided Test

Un investigador considera que ha habido una reducción en el número medio de horas que los estudiantes universitarios pasan preparándose para los exámenes finales. Un estudio nacional afirmó que los estudiantes de una universidad de 4 años pasan un promedio de 23 horas preparándose para 5 exámenes finales cada semestre con una desviación estándar poblacional de 7.3 horas. El investigador muestreó 227 estudiantes y encontró una muestra de tiempo medio de estudio de 19.6 horas. ¿Esto indica que el tiempo promedio de estudio para los exámenes finales ha disminuido? Utilizar un nivel de significancia del 1% para probar esta afirmación.

Solución

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 23 horas
• H1: μ < 23 horas

Paso 2) Indicar el nivel de significancia y el valor crítico.

• Esta es una prueba del lado izquierdo así que alfa (0.01) está todo en la cola izquierda.

Figura 9. La zona de rechazo para una prueba de hipótesis del lado izquierdo.

• Entra en el cuerpo de valores en la tabla normal estándar y encuentra la puntuación Z que define el 1% inferior del área.
• El valor crítico es -2.33. Este valor configura la zona de rechazo.

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• El estadístico de prueba es el número de desviaciones estándar que la media muestra es de la media conocida. También es una puntuación Z, al igual que el valor crítico.
• $$z =\ frac {\ bar {x} -\ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}}\]

• Para este problema, el estadístico de prueba es

$$z=\ frac {19.6-23} {\ frac {7.3} {\ sqrt {277}}}\]

Paso 4) Exponer una conclusión.

• Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico.

Figura 10. El valor crítico para una prueba del lado izquierdo cuando α = 0.01.

• El estadístico de prueba cae en la zona de rechazo. El estadístico de prueba de -7.02 es menor que el valor crítico de -2.33.

Rechazamos la hipótesis nula. Contamos con pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el tiempo medio de estudio del examen final ha disminuido por debajo de las 23 horas.

Prueba de una hipótesis usando valores P

El valor p es la probabilidad de observar nuestra media muestral dado que la hipótesis nula es verdadera. Es el área bajo la curva a la izquierda o derecha del estadístico de prueba. Si la probabilidad de observar tal media muestral es muy pequeña (menor que el nivel de significancia), rechazaríamos la hipótesis nula. Los cálculos para el valor p dependen de si se trata de una prueba de una o dos caras.

Pasos para una prueba de hipótesis usando valores p:

• Indicar las hipótesis nulas y alternativas.
• Determinar el nivel de significación.
• Calcular el estadístico de prueba y encontrar el área asociada a ella (este es el valor p).
• Compara el valor p con alfa (α) y establece una conclusión.

En lugar de comparar el estadístico de la prueba de puntaje Z con el valor crítico de la puntuación Z, como en el método clásico, comparamos el área del estadístico de prueba con el área del nivel de significancia.

Nota:La Regla de Decisión

Si el valor p es menor que alfa, rechazamos la hipótesis nula.

Cálculo de valores P

Si se trata de una prueba a dos caras (la reivindicación alternativa es ≠), el valor p es igual a dos veces la probabilidad del valor absoluto del estadístico de prueba. Si la prueba es una prueba del lado izquierdo (la reivindicación alternativa es “<”), entonces el valor p es igual al área a la izquierda del estadístico de prueba. Si la prueba es una prueba del lado derecho (la reivindicación alternativa es “>”), entonces el valor p es igual al área a la derecha del estadístico de prueba.

Veamos de nuevo el Ejemplo 6.

Un silvicultor que estudia el crecimiento del diámetro del pino rojo cree que el crecimiento del diámetro medio será diferente del crecimiento medio conocido de 1.35 pulg. /año si se aplica un tratamiento de fertilización al rodal. Realiza su experimento, recoge datos de una muestra de 32 parcelas y obtiene un crecimiento de diámetro medio muestral de 1.6 pulgadas. /año. Se sabe que la desviación estándar poblacional para este rodal es de 0.46 pulg. /año. ¿Tiene pruebas suficientes para apoyar su afirmación?

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 1.35 pulg. /año
• H1: μ ≠ 1.35 pulg. /año

Paso 2) Indicar el nivel de significación.

• Escogeremos un nivel de significancia del 5% (α = 0.05).

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• Para este problema, el estadístico de prueba es:

$$z=\ frac {1.6-1.35} {\ frac {0.46} {\ sqrt {32}}} =3.07\]

El valor p es dos veces el área del valor absoluto del estadístico de prueba (porque la reivindicación alternativa es “no igual”).

Figura 11. El valor p comparado con el nivel de significancia.

• Busque el área para obtener el puntaje Z de 3.07 en la tabla normal estándar. El área (probabilidad) es igual a 1 — 0.9989 = 0.0011.
• Multiplica esto por 2 para obtener el valor p = 2 * 0.0011 = 0.0022.

Paso 4) Comparar el valor p con alfa y declarar una conclusión.

• Utilice la Regla de Decisión (si el valor p es menor que α, rechace H0).
• En este problema, el valor p (0.0022) es menor que alfa (0.05).
• Rechazamos el H0. Tenemos evidencia suficiente para apoyar la afirmación de que el crecimiento del diámetro medio es diferente de 1.35 pulgadas/año.

Veamos de nuevo el Ejemplo 7.

Un investigador considera que ha habido un incremento en el tamaño promedio de la finca en su estado desde el último estudio hace cinco años. El estudio anterior reportó un tamaño medio de 450 acres con una desviación estándar poblacional (σ) de 167 acres. Muestrea 45 granjas y obtiene una media muestral de 485.8 acres. ¿Hay suficiente información para apoyar su afirmación?

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• Ho: μ = 450 acres
• H1: μ >450 acres

Paso 2) Indicar el nivel de significación.

• Escogeremos un nivel de significancia del 5% (α = 0.05).

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• Para este problema, el estadístico de prueba es

$$z=\ frac {485.8-450} {\ frac {167} {\ sqrt {45}}} =1.44\]

El valor p es el área a la derecha de la puntuación Z 1.44 (el área rayada).

• Esto es igual a 1 — 0.9251 = 0.0749.
• El valor p es 0.0749.

Figura 12. El valor p comparado con el nivel de significancia para una prueba del lado derecho.

Paso 4) Comparar el valor p con alfa y declarar una conclusión.

• Utilice la Regla de Decisión.
• En este problema, el valor p (0.0749) es mayor que alfa (0.05), por lo que fallamos al Rechazar el H0.
• El área del estadístico de prueba es mayor que el área de alfa (α).

No podemos rechazar la hipótesis nula. No contamos con pruebas suficientes que respalden la afirmación de que el tamaño medio de la finca ha aumentado.

Veamos de nuevo el Ejemplo 8.

Un investigador considera que ha habido una reducción en el número medio de horas que los estudiantes universitarios pasan preparándose para los exámenes finales. Un estudio nacional afirmó que los estudiantes de una universidad de 4 años pasan un promedio de 23 horas preparándose para 5 exámenes finales cada semestre con una desviación estándar poblacional de 7.3 horas. El investigador muestreó 227 estudiantes y encontró una muestra de tiempo medio de estudio de 19.6 horas. ¿Esto indica que el tiempo promedio de estudio para los exámenes finales ha disminuido? Utilizar un nivel de significancia del 1% para probar esta afirmación.

Paso 1) Indicar las hipótesis nulas y alternativas.

• H0: μ = 23 horas
• H1: μ < 23 horas

Paso 2) Indicar el nivel de significación.

• Esta es una prueba del lado izquierdo así que alfa (0.01) está todo en la cola izquierda.

Paso 3) Calentar el estadístico de prueba.

• Para este problema, el estadístico de prueba es

$$z=\ frac {19.6-23} {\ frac {7.3} {\ sqrt {227}}} =-7.02\]

El valor p es el área a la izquierda del estadístico de prueba (la pequeña área negra a la izquierda de -7.02). El puntaje Z de -7.02 no está en la tabla normal estándar. La probabilidad más pequeña en la tabla es 0.0002. Sabemos que el área para el puntaje Z -7.02 es menor que esta área (probabilidad). Por lo tanto, el valor p es <0.0002.

Figura 13. El valor p comparado con el nivel de significancia para una prueba del lado izquierdo.

Paso 4) Comparar el valor p con alfa y declarar una conclusión.

• Utilice la Regla de Decisión.
• En este problema, el valor p (p<0.0002) es menor que alfa (0.01), por lo que Rechazamos el H0.
• El área del estadístico de prueba es mucho menor que el área de alfa (α).

Rechazamos la hipótesis nula. Contamos con pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el tiempo medio de estudio del examen final ha disminuido por debajo de las 23 horas.

Tanto el método clásico como el método del valor p para probar una hipótesis llegarán a la misma conclusión. En el método clásico, la puntuación Z crítica es el número en el eje z que define el nivel de significancia (α). El estadístico de prueba convierte la media de la muestra en unidades de desviación estándar (una puntuación Z). Si el estadístico de prueba cae en la zona de rechazo definida por el valor crítico, rechazaremos la hipótesis nula. En este enfoque, se comparan dos puntuaciones Z, que son números en el eje z. En el enfoque del valor p, el valor p es el área asociada al estadístico de prueba. En este método, comparamos α (que también es área bajo la curva) con el valor p. Si el valor p es menor que α, rechazamos la hipótesis nula. El valor p es la probabilidad de observar tal media muestral cuando la hipótesis nula es verdadera. Si la probabilidad es demasiado pequeña (menor que el nivel de significancia), entonces creemos que tenemos suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula y apoyar la afirmación alternativa.

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Minitab

(refiriéndose al Ej. 8)

Z de una muestra

Prueba de mu = 23 vs. < 23

La desviación estándar asumida = 7.3

99% Superior
N	Media	SE Media	encuadernado	Z	P
227	19.600	0.485	20.727	-7.02	0.000

Excel

Excel no ofrece pruebas de hipótesis de 1 muestra.