6.2: Comparaciones múltiples

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El siguiente paso es examinar las múltiples comparaciones para cada efecto principal para determinar las diferencias. Procederemos como hicimos con las comparaciones múltiples de ANOVA unidireccionales examinando la Agrupación de Tukey para cada efecto principal. Para el factor A, se presentan la variedad, las medias de la muestra y las letras de agrupación para identificar aquellas variedades que son significativamente diferentes de otras variedades. Las variedades 1 y 2 no son significativamente diferentes entre sí, ambas produciendo rendimientos similares. La variedad 3 produjo rendimientos significativamente mayores que ambas variedades 1 y 2.

Agrupación de información mediante el método Tukey y 95.0% de confianza
variedad	N	Media	Agrupación
3	12	18.117	A
2	12	12.208		B
1	12	11.317		B
Los medios que no comparten una letra son significativamente diferentes.

Algunas de las densidades también son significativamente diferentes. Seguiremos el mismo procedimiento para determinar las diferencias.

Agrupación de información mediante el método Tukey y 95.0% de confianza
densidad	N	Media	Agrupación
15	9	15.756	A
10	9	14.389	A	B
20	9	13.922		B
5	9	11.456			C
Los medios que no comparten una letra son significativamente diferentes.

La Información de Agrupación nos muestra que una densidad de siembra de 15,000 plantas/parcela da como resultado el mayor rendimiento. Sin embargo, no hay diferencia significativa en el rendimiento entre 10,000 y 15,000 plantas/parcela o entre 10,000 y 20,000 plantas/parcela. Las parcelas con 5,000 plantas/parcela dan como resultado los rendimientos más bajos y estos rendimientos son significativamente menores que todas las demás densidades probadas.

Las parcelas de efectos principales también ilustran las diferencias en el rendimiento entre las tres variedades y las cuatro densidades.

Figura 2. Parcelas de efectos principales.

Pero, ¿qué pasa si hay una interacción significativa entre los efectos principales? Este siguiente ejemplo demostrará cómo una interacción significativa altera la interpretación de un ANOVA de 2 vías.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Un investigador se interesó por los efectos de cuatro niveles de fertilización (testigo, 100 lb., 150 lb., y 200 lb.) y cuatro niveles de riego (A, B, C y D) sobre el rendimiento de biomasa. Las dieciséis posibles combinaciones de tratamiento se asignaron aleatoriamente a 80 parcelas (5 parcelas por cada tratamiento). A continuación se enumeran los rendimientos totales de biomasa para cada tratamiento.

		Fertilizante
Riego	Control	100 lb.	150 lb.	200 lb.
A	2700,2801,2720, 2390, 2890	3250, 3151, 3170, 3300, 3290	3300, 3235, 3025, 3165, 3120	3500, 3455, 3100, 3600, 3250
B	3101, 3035, 3205, 3007, 3100	2700, 2935, 2250, 2495, 2850	3050, 3110, 3033, 3195, 4250	3100, 3235, 3005, 3095, 3050
C	101, 97, 106, 142, 99	400, 302, 296, 315, 390	630, 624, 595, 675, 595	400, 325, 200, 375, 390
D	121, 174, 88, 100, 76	100, 125, 91, 222, 219	60, 28, 112, 89, 67	201, 223, 195, 120, 180

Cuadro 6. Datos observados para cuatro niveles de riego y cuatro niveles de fertilizante.

El factor A (nivel de riego) tiene k = 4 niveles y el factor B (fertilizante) tiene l = 4 niveles. Hay m = 5 repeticiones y 80 observaciones totales. Este es un diseño equilibrado ya que el número de réplicas es igual. A continuación se presenta la tabla ANOVA.

Fuente	DF	SS	MSS	F	P
fertilizante	3	1128272	376091	12.76	<0.001
riego	3	161776127	53925376	1830.16	<0.001
fert*riego	9	2088667	232074	7.88	<0.001
error	64	1885746	29465
total	79	166878812

Cuadro 7. Tabla ANOVA bidireccional.

Nuevamente comenzamos con probar el término de interacción. Recuerde, si el término de interacción es significativo, ignoramos los efectos principales.

\(H_0\): No hay interacción entre factores

\(H_1\): Hay una interacción significativa entre factores

El estadístico F:

\[F_{AB} = \dfrac {MSAB}{MSE} = \dfrac {232074}{29465} = 7.88\]

El valor p para la prueba para una interacción significativa entre factores es <0.001. Este valor p es inferior al 5%, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula. Existe evidencia de una interacción significativa entre el fertilizante y el riego. Dado que el término de interacción es significativo, no investigamos la presencia de los efectos principales. Ahora debemos examinar múltiples comparaciones para los 16 tratamientos (cada combinación de fertilizante y nivel de riego) para determinar las diferencias en el rendimiento, ayudadas por la parcela factorial.

Agrupación de información mediante el método Tukey y 95.0% de confianza
fert	riego	N	Media	Agrupación
200	A	5	3381.00	A
150	B	5	3327.60	A
100	A	5	3232.20	A
150	A	5	3169.00	A
200	B	5	3097.00	A
C	B	5	3089.60	A
C	A	5	2700.20		B
100	B	5	2646.00		B
150	C	5	623.80			C
100	C	5	340.60			C	D
200	C	5	338.00			C	D
200	D	5	183.80				D
100	D	5	151.40				D
C	D	5	111.80				D
C	C	5	109.00				D
150	D	5	71.20				D
Los medios que no comparten una letra son significativamente diferentes.

La gráfica factorial permite visualizar las diferencias entre los 16 tratamientos. Las gráficas factoriales pueden presentar la información de dos maneras, cada una con un factor diferente en el eje x. En la primera parcela, el nivel de fertilizante está en el eje x. Existe una clara distinción en los rendimientos promedio para los diferentes tratamientos. Los niveles de riego A y B parecen estar produciendo mayores rendimientos en todos los niveles de fertilizantes en comparación con los niveles de riego C y D. En la segunda parcela, el nivel de riego está en el eje x. Todos los niveles de fertilizante parecen dar como resultado mayores rendimientos para los niveles de riego A y B en comparación con C y D.

Figura 3. Parcelas de interacción.

El siguiente paso es usar la salida de comparación múltiple para determinar dónde hay diferencias SIGNATIVAS. Centrémonos en la trama del primer factor para hacer esto.

Figura 4. Trama de interacción.

La Información de Agrupación nos dice que si bien los niveles de riego A y B son similares en todos los niveles de fertilizante, solo los tratamientos A-100, A-150, A-200, B-control, B-150 y B-200 son estadísticamente similares (círculo superior). El tratamiento B-100 y el control A también dan como resultado rendimientos similares (círculo medio) y ambos tienen rendimientos significativamente menores que el primer grupo.

Los niveles de riego C y D dan como resultado los rendimientos más bajos en todos los niveles de fertilizante. Nuevamente nos referimos a la Información de Agrupación para identificar las diferencias. No hay diferencia significativa en el rendimiento para el nivel de riego D sobre ningún nivel de fertilizante. Los rendimientos para D también son similares a los rendimientos para el nivel de riego C a 100, 200 y los niveles de control para fertilizantes (círculo más bajo). El nivel de riego C a nivel 150 del fertilizante da como resultado rendimientos significativamente mayores que cualquier rendimiento del nivel de riego D para cualquier nivel de fertilizante, sin embargo, este rendimiento aún es significativamente menor que el del primer grupo que utiliza los niveles de riego A y B.

Interpretación de gráficas de factores

Cuando el término de interacción es significativo, el análisis se centra únicamente en los tratamientos, no en los efectos principales. La gráfica factorial y la información de agrupación permiten al investigador identificar similitudes y diferencias, junto con cualquier tendencia o patrón. Las siguientes series de gráficos factoriales ilustran algunas respuestas promedio reales en términos de interacciones y efectos principales.

Esta primera gráfica muestra claramente una interacción significativa entre los factores. El cambio en la respuesta cuando cambia el nivel B, depende del nivel A.