Comparación de fracciones, decimales y porcentajes
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Resultados de aprendizaje
- Compara dos fracciones
- Comparar dos números dados en diferentes formas
En esta sección, repasaremos técnicas para comparar dos números. Estos números podrían presentarse como fracciones, decimales o porcentajes y pueden no estar en la misma forma. Por ejemplo, cuando miramos un histograma, podemos calcular la fracción del grupo que ocurre con mayor frecuencia. Nos podría interesar si esa fracción es mayor al 25% de la población. Al final de esta sección sabremos cómo hacer esta comparación.
Comparando Dos Fracciones
Te gusten las fracciones o no, aparecen frecuentemente en las estadísticas. Por ejemplo, una probabilidad se define como el número de formas en que un evento buscado puede ocurrir sobre el número total de resultados posibles. Comúnmente se pide comparar dos de esas probabilidades para ver si son iguales, y si no, cuál es mayor. Existen dos enfoques principales para comparar fracciones.
Enfoque 1: Cambiar las fracciones a fracciones equivalentes con un denominador común y luego comparar los numeradores
El procedimiento del enfoque 1 consiste en encontrar primero el denominador común y luego multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero para hacer comunes los denominadores.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Comparar:\(\frac{2}{3}\) y\(\frac{5}{7}\)
Solución
Un denominador común es el producto de los dos:\(3\:\times7\:=\:21\). Convertimos:
\[\frac{2}{3}\:\frac{7}{7}\:=\frac{14}{21}\nonumber \]
y
\[\frac{5}{7}\:\frac{3}{3}=\frac{15}{21}\nonumber \]
A continuación comparamos los numeradores y vemos que\(14\:<\:15\), de ahí
\(\frac{2}{3}<\:\frac{5}{7}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
En estadística, decimos que dos eventos son independientes si la probabilidad de que ocurra el segundo es igual a la probabilidad de que ocurra el segundo dado que ocurre el primero. La probabilidad de rodar dos dados y tener la suma igual a 7 es\(\frac{6}{36}\). Si sabes que el primer dado aterriza en un 4, entonces la probabilidad de que la suma de los dos dados sea un 7 es\(\frac{1}{6}\). ¿Estos eventos son independientes?
Solución
Tenemos que comparar\(\frac{6}{36}\) y\(\frac{1}{6}\). El denominador común es 36. Convertimos la segunda fracción a
\[\frac{1}{6}\frac{6}{6}=\frac{6}{36}\nonumber \]
Ahora podemos ver que las dos fracciones son iguales, por lo que los eventos son independientes.
Enfoque 2: Usar una calculadora o computadora para convertir las fracciones a decimales y luego comparar los decimales
Si es fácil construir las fracciones para que tengamos un denominador común, entonces el Enfoque 1 funciona bien, pero muchas veces las fracciones no son simples, por lo que es más fácil hacer uso de la calculadora o computadora.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
En el cálculo de probabilidades para una distribución uniforme, surgen fracciones. Dado que el número de onzas en una bebida de tamaño mediano se distribuye uniformemente entre 15 y 26 onzas, la probabilidad de que una bebida de tamaño mediano seleccionada al azar sea menor de 22 onzas es\(\frac{7}{11}\). Dado que el peso de en un americano de tamaño mediano se distribuye uniformemente entre 155 y 212 libras, la probabilidad de que un americano de tamaño mediano seleccionado al azar sea menor de 195 libras es\(\frac{40}{57}\). ¿Es más probable que se seleccione una bebida de tamaño mediano que sea inferior a 22 onzas o que se seleccione una estadounidense de tamaño mediano que sea menor de 195 libras?
Solución
Podríamos obtener un denominador común y construir las fracciones, pero es mucho más fácil simplemente convertir ambas fracciones en números decimales y luego comparar. Contamos con:
\[\frac{7}{11}\approx0.6364\nonumber \]
y
\[\frac{40}{57}\approx0.7018\nonumber \]
Observe que
\[0.6364\:<\:0.7018 \nonumber \]
De ahí que podamos concluir que es menos probable que escoja la bebida mediana de 22 onzas o menos que escoger a la persona de 195 libras o de tamaño mediano más ligero.
Ejercicio
Si adivinas sobre 10 preguntas verdaderas o falsas, la probabilidad de obtener al menos 9 correctas es\(\frac{11}{1024}\). Si adivina en seis preguntas de opción múltiple con tres opciones cada una, entonces la probabilidad de obtener al menos cinco de las seis correctas es\(\frac{7}{729}\). ¿Cuál de estos es más probable?
Comparación de fracciones, decimales y porcentajes
Cuando se quiere comparar una fracción con un decimal o un porcentaje, suele ser más fácil convertir primero a un número decimal, y luego comparar los números decimales.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Compara 0.52 y\(\frac{7}{13}\).
Solución
Primero convertimos\(\frac{7}{13}\) a un decimal dividiendo para obtener 0.5385. Ahora fíjate que
\[0.52 < 0.5385\nonumber \]
Así
\[0.52\:<\frac{\:7}{13}\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Cuando preformamos una prueba de hipótesis en estadística, tenemos que comparar un número llamado el valor p con otro número llamado el nivel de significancia. Supongamos que el valor p se calcula como 0.0641 y el nivel de significancia es 5%. Compara estos dos números.
Solución
Primero convertimos el nivel de significancia, 5%, a un número decimal. Recordemos que para convertir un porcentaje a un decimal, movemos el decimal sobre dos lugares hacia la derecha. Esto nos da 0.05. Ahora podemos comparar los dos decimales:
\[0.0641 > 0.05\nonumber \]
Por lo tanto, el valor p es mayor que el nivel de significancia.
Esta es una aplicación de comparar fracciones con probabilidad.