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Objetivos de aprendizaje

• Computar la trimedia
• Calcula la media geométrica directamente
• Calcula la media geométrica usando registros
• Utilice la geometría para calcular los rendimientos anuales de la cartera

Si bien la media, la mediana y el modo son, con mucho, las medidas de tendencia central más utilizadas, de ninguna manera son las únicas medidas. Esta sección define tres medidas adicionales de tendencia central: la trimedia, la media geométrica y la media recortada. Estas medidas serán discutidas nuevamente en la sección “Comparando Medidas de Tendencia Central”.

## Trimean

La trimedia es un promedio ponderado del$$25^{th}$$ percentil, el$$50^{th}$$ percentil y el$$75^{th}$$ percentil. Dejando$$P25$$ ser el$$25^{th}$$ percentil,$$P50$$ ser el$$50^{th}$$ y$$P75$$ ser el$$75^{th}$$ percentil, la fórmula para la trimedia es:

$Trimean = \dfrac{P25 + 2P50 + P75}{4}$

Como puede ver en la fórmula, la mediana se pondera dos veces más que los$$75^{th}$$ percentiles$$25^{th}$$ y. En la tabla se$$\PageIndex{1}$$ muestra el número de pases de touchdown (TD) lanzados por cada uno de los$$31$$ equipos en la Liga Nacional de Futbol en la$$2000$$ temporada. Los percentiles relevantes se muestran en la Tabla$$\PageIndex{2}$$.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Número de pases de touchdown

$\begin{matrix} 37 & 33 & 33 & 32 & 29 & 28 & 28 & 23\\ 22 & 22 & 22 & 21 & 21 & 21 & 20 & 20\\ 19 & 19 & 18 & 18 & 18 & 18 & 16 & 15\\ 14 & 14 & 14 & 12 & 12 & 9 & 6 & \end{matrix}$

Tabla$$\PageIndex{2}$$ : Percentiles
Percentil Valor
25 15
50 20
75 23

La trimedia es, por lo tanto

$\dfrac{15 + 2 \times 20 + 23}{4} = \dfrac{78}{4} = 19.5.$

## Media Geométrica

La media geométrica se calcula multiplicando todos los números juntos y luego tomando la$$n^{th}$$ raíz del producto. Por ejemplo, para los números$$1, 10$$ y$$100$$, el producto de todos los números es:

$1 \times 10 \times 100 = 1,000.$

Dado que hay tres números, tomamos la raíz en cubos del producto ($$1,000$$) que es igual a$$10$$. Por lo tanto, la fórmula para la media geométrica es

$\large\left(\Pi \, X \right)^{1/N}$

donde el símbolo$$Π$$ significa multiplicar. Por lo tanto, la ecuación dice multiplicar todos los valores de$$X$$ y luego elevar el resultado a la potencia$$1/N$$ th. Elevar un valor al$$\dfrac{1}{N}^{th}$$ poder es, por supuesto, lo mismo que echar la$$N^{th}$$ raíz del valor. En este caso,$$1000^{1/3}$$ es la raíz cúbica de$$1,000$$.

La media geométrica tiene una estrecha relación con los logaritmos. En la tabla se$$\PageIndex{3}$$ muestran los registros (base$$10$$) de estos tres números. La media aritmética de los tres registros es$$1$$. El anti-log de esta media aritmética de$$1$$ es la media geométrica. El anti-log de$$1$$ es$$10^1 = 10$$. Tenga en cuenta que la media geométrica solo tiene sentido si todos los números son positivos.

Tabla$$\PageIndex{3}$$ : Logaritmos
X $$\log _{10}(X)$$
1 \ (\ log _ {10} (X)\) ">0
10 \ (\ log _ {10} (X)\) ">1
100 \ (\ log _ {10} (X)\) ">2

La media geométrica es una medida apropiada para usar para promediar las tasas. Por ejemplo, considere una cartera de acciones que comenzó con un valor de$$\1,000$$ y tuvo rendimientos anuales de$${13\%, 22\%, 12\%, -5\%, and -13\%}$$. El cuadro$$\PageIndex{4}$$ muestra el valor después de cada uno de los cinco años.

Tabla$$\PageIndex{4}$$ : Rentabilidades de Portafolio
Año Regreso Valor
1 13% 1,130
2 22% 1,379
3 12% 1,544
4 -5% 1,467
5 -13% 1,276

La pregunta es cómo calcular la tasa media anual de rendimiento. La respuesta es calcular la media geométrica de los rendimientos. En lugar de usar los porcentajes, cada retorno se representa como un multiplicador que indica cuánto más alto es el valor después del año. Este multiplicador es$$1.13$$ para un$$13\%$$ retorno y$$0.95$$ para una$$5\%$$ pérdida. Los multiplicadores para este ejemplo son$${1.13, 1.22, 1.12, 0.95,\: and\; 0.87}$$. La media geométrica de estos multiplicadores es$$1.05$$. Por lo tanto, la tasa media anual de rendimiento es$$5\%$$. Tabla$$\PageIndex{5}$$ muestra cómo una cartera ganando$$5\%$$ un año terminaría con el mismo valor ($$\1,276$$) como se muestra en la Tabla$$\PageIndex{4}$$.

Tabla$$\PageIndex{5}$$ : Rentabilidades de Portafolio
Año Regreso Valor
1 5% 1,050
2 5% 1,103
3 5% 1,158
4 5% 1,216
5 5% 1,276

Para calcular una media recortada, se eliminan algunas de las puntuaciones más altas y más bajas y se calcula la media de las puntuaciones restantes. Una media recortada$$10\%$$ es una media calculada con$$10\%$$ las puntuaciones recortadas:$$5\%$$ desde abajo y$$5\%$$ desde arriba. Una media recortada$$50\%$$ se calcula recortando la parte superior$$25\%$$ de las puntuaciones y la inferior$$25\%$$ de las puntuaciones y calculando la media de las puntuaciones restantes. La media recortada es similar a la mediana que, en esencia, recorta la parte superior$$49\%$$ e inferior$$49\%$$ de las puntuaciones. Por lo tanto, la media recortada es un híbrido de la media y la mediana. Para calcular la media recortada$$20\%$$ para los datos de pase de touchdown que se muestran en la Tabla$$\PageIndex{1}$$, se quita la menor$$10\%$$ de las puntuaciones ($${6, 9,\: and\; 12}$$) así como la parte superior$$10\%$$ de las puntuaciones ($${33, 33,\: and\; 37}$$) y se calcula la media de las$$25$$ puntuaciones restantes. Esta media es$$20.16$$.