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# 10.12: Proporción

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Objetivos de aprendizaje

• Estimar la proporción poblacional a partir de las proporciones
• Aplicar la corrección para la continuidad
• Calcular un intervalo de confianza

Un candidato en una elección de dos personas encarga una encuesta para determinar quién está por delante. El encuestador elige aleatoriamente a los votantes$$500$$ registrados y determina que$$260$$ por$$500$$ favor al candidato. Es decir,$$0.52$$ de la muestra favorece al candidato. Si bien esta estimación puntual de la proporción es informativa, es importante computar también un intervalo de confianza. El intervalo de confianza se calcula con base en la media y desviación estándar de la distribución muestral de una proporción. Las fórmulas para estos dos parámetros se muestran a continuación:

$\mu _p=\pi$

$\sigma _p=\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{N}}$

Como no conocemos el parámetro poblacional$$\pi$$, utilizamos la proporción muestral$$p$$ como estimación. El error estándar estimado de$$p$$ es por lo tanto

$s _p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$

Comenzamos tomando nuestra estadística ($$p$$) y creando un intervalo que varíe ($$Z_{0.95}$$) ($$s_p$$) en ambas direcciones, donde$$Z_{0.95}$$ está el número de desviaciones estándar que se extiende desde la media de una distribución normal requerida para contener$$0.95$$ del área (ver la sección sobre la confianza intervalo para la media). El valor de$$Z_{0.95}$$ se calcula con la calculadora normal y es igual a$$1.96$$. Luego hacemos un ligero ajuste para corregir el hecho de que la distribución es discreta más que continua.

$$s_p$$se calcula como se muestra a continuación:

$s _p=\sqrt{\frac{(0.52)(1-0.52)}{300}}=0.0223$

Para corregir el hecho de que estamos aproximando una distribución discreta con una distribución continua (la distribución normal), restamos$$0.5/N$$ del límite inferior y sumamos$$0.5/N$$ al límite superior del intervalo. Por lo tanto, el intervalo de confianza es

$p\pm Z_{0.95}\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}\pm \frac{0.5}{N}$

$\text{Lower limit}: 0.52 - (1.96)(0.0223) - 0.001 = 0.475$

$\text{Upper limit}: 0.52 + (1.96)(0.0223) + 0.001 = 0.565$

$0.475 \leq \pi \leq 0.565$

Dado que el intervalo se extiende$$0.045$$ en ambas direcciones, el margen de error es$$0.045$$. En términos de porcentaje, entre$$47.5\%$$ y$$56.5\%$$ de los votantes favorecen al candidato y el margen de error es$$4.5\%$$. Hay que tener en cuenta que el margen de error de$$4.5\%$$ es el margen de error para el porcentaje que favorece al candidato y no el margen de error para la diferencia entre el porcentaje que favorece al candidato y el porcentaje que favorece al oponente. El margen de error para la diferencia es$$9\%$$, el doble del margen de error para el porcentaje individual. Tenga esto en cuenta cuando escuche reportajes en los medios de comunicación; los medios a menudo se equivocan así.

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