10.6: Distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad describe la probabilidad de todos los resultados posibles en un experimento. Por ejemplo, el 20 de enero de 2018, el basquetbolista Steph Curry bateó solo 2 de 4 tiros libres en un juego contra los Houston Rockets. Sabemos que la probabilidad general de Curry de golpear tiros libres a lo largo de toda la temporada fue de 0.91, por lo que parece bastante improbable que golpeara solo el 50% de sus tiros libres en un juego, pero ¿qué tan improbable es exactamente? Podemos determinarlo usando una distribución teórica de probabilidad; durante este curso encontraremos una serie de estas distribuciones de probabilidad, cada una de las cuales es apropiada para describir diferentes tipos de datos. En este caso, utilizamos la distribución binomial, que proporciona una manera de calcular la probabilidad de cierto número de éxitos a partir de una serie de ensayos en los que hay éxito o fracaso y nada intermedio (conocidos como “ensayos de Bernoulli”) dada alguna probabilidad conocida de éxito en cada juicio. Esta distribución se define como:

\(P(k ; n, p)=P(X=k)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}\)

Esto se refiere a la probabilidad de k éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de éxito es p. Puede que no esté familiarizado con (nk), que se conoce como el coeficiente binomial. El coeficiente binomial también se conoce como “n-choose-k” porque describe el número de diferentes maneras en que uno puede elegir k ítems de n ítems totales. El coeficiente binomial se calcula como:

\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}\)

donde el punto de explicación (!) se refiere al factorial del número:

\(n !=\prod_{i=1}^{n} i=n *(n-1) * \ldots * 2 * 1\)

En el ejemplo de los tiros libres de Steph Curry:

\(P(2 ; 4,0.91)=\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right) 0.91^{2}(1-0.91)^{4-2}=0.040\)

Esto demuestra que dado el porcentaje general de tiros libres de Curry, es muy poco probable que golpeara solo 2 de 4 tiros libres. Lo cual solo demuestra que cosas improbables realmente suceden en el mundo real.

10.3.1 Distribuciones de probabilidad acumuladas

Muchas veces queremos saber no solo qué tan probable es un valor específico, sino qué tan probable es encontrar un valor que sea tan extremo o más que un valor particular; esto va a ser muy importante cuando discutamos las pruebas de hipótesis en un capítulo posterior. Para responder a esta pregunta, podemos usar una distribución de probabilidad acumulativa; mientras que una distribución de probabilidad estándar nos dice la probabilidad de algún valor específico, la distribución acumulativa nos dice la probabilidad de un valor tan grande o mayor (o tan pequeño o menor) que algunos valor específico.

En el ejemplo de tiro libre, podríamos querer saber: ¿Cuál es la probabilidad de que Steph Curry golpee 2 tiros libres o menos de cuatro, dada su probabilidad general de tiro libre de 0.91. Para determinar esto, simplemente podríamos usar la ecuación de probabilidad binomial y enchufar todos los valores posibles de k y sumarlos juntos:

P (k≤2) =P (k=2) +P (k=1) +P (k=0) =6e ⁻⁵ +.002+.040=.043

En muchos casos el número de resultados posibles sería demasiado grande para que calculáramos la probabilidad acumulativa enumerando todos los valores posibles; afortunadamente, se puede calcular directamente. Para el binomio, podemos hacer esto en R usando la función pbinom ():

Cuadro 10.1: Distribución de probabilidad acumulada para el número de tiros libres exitosos de Steph Curry en 4 intentos.

NumÉxitos	probabilidad
0	0.00
1	0.00
2	0.04
3	0.31
4	1.00

En la tabla podemos ver que la probabilidad de que Curry aterne 2 o menos tiros libres de 4 intentos es de 0.043.