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$$P(k ; n, p)=P(X=k)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}$$

Esto se refiere a la probabilidad de k éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de éxito es p. Puede que no esté familiarizado con (nk), que se conoce como el coeficiente binomial. El coeficiente binomial también se conoce como “n-choose-k” porque describe el número de diferentes maneras en que uno puede elegir k ítems de n ítems totales. El coeficiente binomial se calcula como:

$$\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}$$

donde el punto de explicación (!) se refiere al factorial del número:

$$n !=\prod_{i=1}^{n} i=n *(n-1) * \ldots * 2 * 1$$

En el ejemplo de los tiros libres de Steph Curry:

$$P(2 ; 4,0.91)=\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right) 0.91^{2}(1-0.91)^{4-2}=0.040$$

Esto demuestra que dado el porcentaje general de tiros libres de Curry, es muy poco probable que golpeara solo 2 de 4 tiros libres. Lo cual solo demuestra que cosas improbables realmente suceden en el mundo real.

Muchas veces queremos saber no solo qué tan probable es un valor específico, sino qué tan probable es encontrar un valor que sea tan extremo o más que un valor particular; esto va a ser muy importante cuando discutamos las pruebas de hipótesis en un capítulo posterior. Para responder a esta pregunta, podemos usar una distribución de probabilidad acumulativa; mientras que una distribución de probabilidad estándar nos dice la probabilidad de algún valor específico, la distribución acumulativa nos dice la probabilidad de un valor tan grande o mayor (o tan pequeño o menor) que algunos valor específico.

En el ejemplo de tiro libre, podríamos querer saber: ¿Cuál es la probabilidad de que Steph Curry golpee 2 tiros libres o menos de cuatro, dada su probabilidad general de tiro libre de 0.91. Para determinar esto, simplemente podríamos usar la ecuación de probabilidad binomial y enchufar todos los valores posibles de k y sumarlos juntos:

P (k≤2) =P (k=2) +P (k=1) +P (k=0) =6e −5 +.002+.040=.043

En muchos casos el número de resultados posibles sería demasiado grande para que calculáramos la probabilidad acumulativa enumerando todos los valores posibles; afortunadamente, se puede calcular directamente. Para el binomio, podemos hacer esto en R usando la función pbinom ():

Cuadro 10.1: Distribución de probabilidad acumulada para el número de tiros libres exitosos de Steph Curry en 4 intentos.
0 0.00
1 0.00
2 0.04
3 0.31
4 1.00

En la tabla podemos ver que la probabilidad de que Curry aterne 2 o menos tiros libres de 4 intentos es de 0.043.

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